10(7.8)傅里叶级数,正弦,余弦级数

三角函数系
orthogonality
1, cos x, sin x, cos 2x, sin2x, cos nx, sinnx,
的正交性是指: 其中任何两个不同的函数的乘积
在一个周期长的区间[ , ]上的积分为零，而任
一个函数的自乘(平方)在[ , ]上的积分为或
为2 . 即有
12dx 2 1cos nxdx 1sin nxdx 0
f ( x)sin nxdx a0
sin nxdx
2
0
[ak
cos kx sin nxdx bk
sin kxsin nxdx]
k 1
0
kn
bn
bn
1
f ( x)sin nxdx(n 1,2,3,)
18
傅里叶(Fourier)级数
设f ( x)是以2为周期的函数, 且在[ , ]或 [0,2 ]上可积,则
设函数f ( x)是周期为2的周期函数,它在 区间[ , ]上满足条件:
(1) 除有限个第一类间断点外,处处连续;
(2) 逐段单调. 则由f (x)产生的傅里叶级数在任 一点x都收敛,
且在[ , ]上它的和函数为
a0
2
n1
(an
cos nx
bn
sin
nx)
s(x)
23
傅里叶(Fourier)级数
即在使端有点间x 断点处,函,收 数也敛有到傅左氏端级点数的,右 只不极过限在
间和断右点端上点级的数左不极收限敛到的函算术数平值均, 而值是收敛到 间断点处左右极限的算术平均值
24
傅里叶(Fourier)级数
常说把 f (x)在 [ , ]上展开成傅氏级数.
注 (1)函数展开成傅里叶级数的条件比展开成
27
傅里叶(Fourier)级数
例1
函数f ( x)以2为周期,且 f
将 f (x) 展开为傅里叶级数.
(x)
x,
0,
x 0, 0 x,
解 f (x) 的图象
y
3 2
O
计算傅里叶系数
2 3
a0
1
f ( x)dx 1
0 xdx
2
x
28
傅里叶(Fourier)级数
an
bn
1
f ( x)sin nxdx,
(n 1,2,)
an
1
2 0
f ( x)cos nxdx,
(n 0,1,2,)
bn
1
2 0
f ( x)sin nxdx,
(n 1,2,)
由这些系数作成的三角级数
a0 2
(an
n1
cos nx
bn
sin nx)
20
傅里叶(Fourier)级数
称为函数 f(x)(诱导出)的傅里叶级数, 记为
2
3
30
傅里叶(Fourier)级数
由于f (x)满足狄利克雷充分条件, 由收敛定理得
在点x (2k 1) (k 0,1,2,)处不连续,
收敛于 f ( 0) f ( 0) 0
2
2
2
在连续点x( x (2k 1) )处收敛于f ( x).
u 4 (sin t 1 sin 3t 1 sin 5t)
3
5
u
1
2 3
2
2
O
3
2
2
2
t
1
9
傅里叶(Fourier)级数
u 4 (sin t 1 sin 3t 1 sin 5t 1 sin 7t)
3
5
7
u
1
2 3
2
2
O
3
2
2
2
t
1
10
傅里叶(Fourier)级数
若有
f (x)
a0 2
(ak
k 1
cos kx bk
sin kx)
(1) 求a0 . 两边积分 利用三角函数系的正交性
f (x)dx
a0dx
2
(ak cos kx bk sin kx)dx k 1
a0 dx
2 a0 2
2
k 1
a0
ak 1
coskxdx
幂级数的条件低得多;
(2) 周期函数的三角级数展开是唯一的,就是
其傅里叶级数,它 的 常 数 项a0 , 就是函数
在一个周期内的平均值;
2
a0
1
f ( x)dx
(3) 要注明傅氏级数的和函数与函数f (x)相等
的区域.
25
傅里叶(Fourier)级数
设函数f(x)以 2为周期,且
f
(x)
1, 当
an
1
1
f ( x)cos nxdx
2 f ( x)cos nxdx
0
(n 0,1,2,)
bn
1
f ( x)sin nxdx 1
2
f ( x)sin nxdx
0
希望自己证明
(n 1,2,)
19
傅里叶(Fourier)级数
傅里叶系数
an
1
f ( x)cos nxdx,
(n 0,1,2,)
谐函数
简谐波 简谐振动
Asin( t )
振幅
时间
初相
周期 2
5
傅里叶(Fourier)级数
除了正弦函数外, 常遇到的是非正弦周期函数,
如矩形波
u(t
)
1,
1,
当 t 0 当0 t
u
1
较复杂的 周期现象
O
t
1
分解 不同频率正弦波 逐个叠加
sint, 4
1 sin3t,
43
4
1
f ( x)cos nxdx 1
0
x cos nxdx
0
1
x sinnx n
cos nx n2
1
n2
(1
cos n
)
1
n2
[1 (1)n ]
2
n2
,
0,
n 1,3,5,,
n 2,4,6,;
bn
1
f ( x)sin nxdx 1
0
x sin nxdx
0
1
x cos nx n
f ( 0) f ( 0) 2
2
2
26
傅里叶(Fourier)级数
周期函数的傅里叶级数解题程序:
(1) 画出 f (x)的图形,并验证是否满足狄氏条件 (画图目的: 验证狄氏条件;由图形写出收敛域; 易看出奇偶性可减少求系数的工作量); (2) 求出傅氏系数; (3) 写出傅氏级数, 并注明它在何处收敛于f (x).
傅里叶(Fourier,1768-1830) 法国数学家和 物理学家.
法国科学院院士,英国皇家学会会员.
2
傅里叶(Fourier)级数
历史朔源
1757年,法国数学家克莱罗在研究太阳引起
的摄动时, 大胆地采用了三角级数表示函数:
f ( x) A0 2 An cosnx
其中 An
1
2
n1 2
f ( x)cos nxdx
sin nx n2
cos n
n
(1)n1 . n
29
傅里叶(Fourier)级数
故 f (x)的傅里叶级数
~ f ( x)
4
n1
1
n2
[1
(1)n ]cos nx
(1)n1 n
sinnx
4
2
cos
x
1 32
cos
3x
1 52
cos
5x
sin x 1 sin2x 1 sin3x .
第七~八节 傅里叶(Fourier)级数
(傅氏级数Fourier series)
问题的提出
三角函数系的正交性 函数展开成傅里叶级数 正弦级数或余弦级数 小结 思考题 作业
第十一章 无穷级数
1
傅里叶(Fourier)级数
上一节详细研究了一种重要的函数项级数: 幂级数.
下面研究另一种重要的函数项级数: 傅里叶 级数. 这种级数是由于研究周期现象的需要而 产生的. 它在电工、力学和许多学科中都有很 重要的应用.
傅氏级数的和函数与函数f(x)的关系
a0
2
(an cos nx bn sin nx)
n1
f (x)
f ( x),
当x是f (x)的连续点时
S(x)
f (x
0)
f
(x
0) ,
当x是f (x)的间断点时
f (
2
0)
f (
0
),当 x
时
2
由定理可知: 在 f(x)的连续点处, 都收敛到 f(x)自身
14
傅里叶(Fourier)级数
cos
mx
cos
nxdx
0,
,
mn
mn
sin
mx
sin
nxdx
0,
,
mn
mn
sin mx cos nxdx 0
(其中m,n 1,2,)
cos2nxdx
sin2nxdx
15
傅里叶(Fourier)级数
三、函数展开成傅里叶级数
1.傅里叶系数 (Fourier coefficient)
0
1759年,拉格朗日在对声学的研究中也使用
了三角级数.1777年,欧拉在研究天文学的时候,
用三角函数的正交性得到了将函数表示成三角
级数时的系数,也就是现今教科书中傅里叶级数
的系数.
3
傅里叶(Fourier)级数
在历史上,三角级数的出现和发展 与求解 微分方程是分不开的.
1753年,丹贝努利首先提出将弦振动方程 的解表示为三角级数的形式,这为函数的傅里叶 展开这个纯数学问题奠定了物理基础,促进了分 析学的发展.
狄利克雷(德)1805-1859
2. 狄利克雷(Dirichlet)充分条件 (收敛定理)
定义 若 f (x)在区间a,b上 只有有限个单调区间, 则称 f (x)在区间a,b上 逐段单调.
即,只有有限个极值点.
22
傅里叶(Fourier)级数
2. 狄利克雷(Dirichlet)充分条件 (收敛定理)
bn
sin nx)
三角级数
函数 f (t) 满足什么条件, 才能展为三角级数?
系数a0 , an , bn如何确定?
1
为简便计,先来讨论以2为周期的函数 f(x),
解决上述问题起着关键作用的是:
三角函数系的正交性(orthogonality).
13
傅里叶(Fourier)级数
二、三角函数系的正交性
0
f ( x)dx
bk
sin kxdx
0
16
傅里叶(Fourier)级数
(2) 求an .
f
(x)
a0 2
(ak
k 1
cos
kx
bk
sinkx)
两边同利乘用co三s n角x,函再数从系的到正交逐性项积分
f ( x)cos nxdx a0
cos nxdx
2
0
[ak
cos kx cos nxdx bk
sin kxcosnxdx]
k 1
kn
0
an
cos2
nxdx
an
an
1
f ( x)cos nxdx
(n 1,2,3,)
17
傅里叶(Fourier)级数
(3) 求bn .
f
(x)
a0 2
(ak
k 1
cos
kx
bk
sinkx)
两边同乘利s用in三nx角, 再函数从系的到正交逐性项积分
1822年,傅里叶在《热的解析理论》一书中 对于欧拉和贝努利等人就一些孤立的，特殊的情 形所采用的三角级数方法进行加工处理,发展成 一般理论.
4
傅里叶(Fourier)级数
一、问题的提出
在自然界和人类的生产实践中, 周而复始 的现象, 周期运动是常见的.
如行星的飞转,飞轮的旋转, 蒸气机活塞的 往复运动,物体的振动, 声、光、电的波动等. 数学上,用周期函数来描述它们. 最简单最基本 的周期函数是正弦型函数 角频率
11
傅里叶(Fourier)级数
设想 一个较复杂的周期运动(如矩形波)分解
为简谐振动的迭加. 会给分析问题带来方便.
反映在数学上,是把一个复杂的周期函数 f(t)
表示为各类正弦函数 Ansin(nt n )的迭加, 即
A0 An sin(nt n ) n1
谐波分析
或再利用三角恒等式, 变形为
f(x)
a0 2
(an
n1
cos
nx
bn
sin nx)
注 f(x)的傅里叶级数不见得收敛；即使收敛，
级数的和也不一定是 f(x).所以, 不能无条件的 它把“的符”傅号里叶级换 “数为=”收. 敛，当并收f(x敛)满于足f(什x)么本条身件. 时，
下面的傅里叶级数收敛定理回答了我们.
21
傅里叶(Fourier)级数
1 5
sin
5t
,
4
1 7
sin7t
,
4
1 9
sin
9t
,
6
傅里叶(Fourier)级数
u 4 sin t
u
1
2 3
O 3 2
t
2
2 1
2
2
7
傅里叶(Fourier)级数
u 4 (sin t 1 sin 3t)
3
u
1
2
3
2
2
O
3
2
2
2
t
1
8
傅里叶(Fourier)级数
A0 ( An sinn cos nt An cos n sinnt ) n1
12
傅里叶(Fourier)级数
A0 ( An sin n cos nt AAnn ccoossnnsinnt)
n1
令

sinn ,
bn
An
cosn , t
x.
a0 2
(an
n1
cos nx
1 x2 , 当0
x x
0时,
时.
其傅氏级数在 x 处收敛于( ).
解 由于f ( x)在区间[ , ]上满足狄利克雷条件，
可以将f (x)展开为傅氏级数. 因为
f ( 0) lim (1 x2 ) 1 2 , x
f ( 0) lim (1) 1, x
所以, f ( x)的傅氏级数在点x 收敛于
u 4 (sin t 1 sin 3t 1 sin 5t 1 sin 7t 1 sin 9t)
3
5
7
9
u
1
2 3
2
2
O
3
2
2
2
t
1
u(t) 4 (sin t 1 sin 3t 1 sin 5t 1 sin 7t 1 sin 9t )
3
5
7
9
( t ,t 0)