湖南省怀化市2020-2021学年高二上学期10月联考数学试题
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C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离分别为3 km，5 km，灯塔A在观察站C的北偏东 方向上，灯塔B在观察站C的南偏东 方向上，则灯塔A与B的距离为( )
A．6 kmB． C．7 kmD．
4．已知椭圆 的两个焦点分别为 ， ， 是椭圆 上的动点， ， 的最小值为1，则 的焦距为（）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若椭圆 的一个焦点坐标为 ，则下列结论中正确的是（）
A． B． 的长轴长为
C． 的短轴长为 D． 的离心率为
10．当 时，下列函数最小值为2的是（）
A． B．
C． D．
11．已知 ， ， 分别为 内角 ， ， 的对边， ，且 ，则下列结论中正确的是（）
A． B．
C． 面积的最大值为 D． 面积的最大值为
12．已知 是等差数列 的前 项和， ，设 ，则数列 的前 项和为 ，则下列结论中正确的是（）
A． B．
C． D． 时， 取得最大值
三、填空题
13．已知 ， ， 分别为 内角 ， ， 的对边， ， ， ，则 ______.
14．若命题“ ， ”是假命题，则实数 的取值范围是______.
15．已知数列 的各项均为正数，其前 项和为 ， ， ，则 ______.
则 ，∴ ， ，∴ ，
，即 ，
化简得 .
故选：C.
【点睛】
考查等差数列有关性质及计算，基础题.
8．C
【分析】
由已知结合余弦定理得 ，再边角互化并整理得 ，故 ， .
【详解】
由余弦定理得 ，
∴ ，
由正弦定理得 ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， .
故选：C.
【点睛】
本题考查余弦定理，正弦定理边角互化，考查化归转化思想，运算能力，是中档题.
22．已知椭圆E： ( )的左焦点为 ，过F的直线交E于A、C两点， 的中点坐标为 .
（1）求椭圆E的方程；
（2）过原点O的直线 和 相交且交E于B、D两点，求四边形 面积的最大值.
参考答案
1．D
【分析】
由集合描述得 、 ，利用集合的基本运算即可知正确选项.
【详解】
由已知得： ， ，即 ， ；
故选：D.
由二次函数的性质，可得判定A不正确；根据基本不等式和对勾函数的性质，可判定B正确，C不正确，于D正确.
【详解】
对于A中，函数 ，此时函数在 上无最小值，所以A不正确；
对于B中，由 ，可得 ，当且仅当 时取等号，所以B正确；对于C中，令 ，则 ，
由对勾函数图像可得其最小值为 ，C不正确；
对于D中，函数 ，
① ；② ；③ .
请从以上三个条件中任选两个，求 的大小和 的面积.
19．已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）求不等式 的解集.
20．已知 分别为 内角 ， ， 的对边， ， 成等差数列.
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的值.
21．在数列 中， ， .
（1）设 ，求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
【点睛】
本题考查了集合基本运算，结合一元二次不等式的解法、指数函数的性质，属于简单题.
2．B
【分析】
先根据曲线表示椭圆得 ，再根据集合关系判断必要不充分条件即可得答案.
【详解】
解：由曲线 表示椭圆得： ，
解得： ，
由于 ，
”是“曲线 表示椭圆”的必要不充分条件，
故选：B.
【点睛】
本题考查根据椭圆的方程求参数范围，必要不充分条件，是基础题.
A．10B．8C．6D．4
5．已知数列 满足 ，则 （）
A． B． C． D．
6．已知二次函数 的值域为 ，则 的最小值为（）
A．3B．6C．9D．12
7．已知 是等差数列 的前 项和， ， ，则使得 的 的最大值为（）
A．12B．13C．14D．15
8．已知 ， ， 分别为 内角 ， ， 的对边， ， ，则 （）
3．C
【分析】
根据题意作出示意图，然后利用余弦定理可求解 的长度即为灯塔A与B的距离.
【详解】
由题意作出示意图如下：
由题意可得 ，
由余弦定理可知： ，所以 ．
故选C.
【点睛】
本题考查解三角形的实际应用，难度较易.处理解三角形实际问题中的角度问题，可先作出示意图，根据示意图选用合适的正、余弦定理求解相关值.
湖南省怀化市2020-2021学年高二上学期10月联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， ，则（）
A． B． C． D．
2．“ ”是“曲线 表示椭圆”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
16．已知 ， 为椭圆 的两个焦点，若 上存在点 满足 ，则实数 的取值范围是______.
四、解答题
17．已知等差数列 的公差 不为0， ， 是 与 的等比中项.
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 ，求数列 的前 项和 .
18．已知 ， ， 分别为 内角 ， ， 的对边， ， 为线段 上一点， ，有下列条件：
4．B
【分析】
由椭圆定义及性质，布列方程组，即可得到结果.
【详解】
由已知得 ，解得 ，
∴焦距为8.
故选：B
【点睛】
本题考查椭圆的定义及基本性质，考查计算能力，属于基础题.
5．A
【分析】
由数列通项公式可得 ，应用等比数列前n项和公式求和即可.
【详解】
由题意知： ，
∴ .
故选：A
【点睛】
本题考查了由已知数列通项公式求新数列通项，应用等比数列前n项和公式，属于简单题.
6．D
【分析】
根据题意得 ， ，再根据基本不等式即可得答案.
【详解】
解：由题意知 ， ， ， ，
∴ ，当且仅当 ，即 ， 时取等号.
故选：D.
【点睛】
本题考查根据二次函数值域求参数，基本不等式求最值，是中档题.
7．C
【分析】
由 找到 的关系，再百度文库入 ，解不等式即可.
【详解】
解：设等差数列 的公差为 ，
当且仅当 ，即 时取等号，D正确.
故选：BD.
【点睛】
本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式求最值时的条件“一正、二定、三相等”，合理构造求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
9．ACD
【分析】
首先根据条件列式 ，得到椭圆方程，再判断选项.
【详解】
由已知可得 ，解得 或 (舍去)，
椭圆 的方程为
∴ ， ，即 ， ，
长轴长为 ，短轴长 ，离心率 .
故选ACD.
【点睛】
本题考查椭圆方程和椭圆的简单几何性质，重点熟记椭圆方程和椭圆的简单几何性质，属于基础题型.
10．BD
【分析】
3．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离分别为3 km，5 km，灯塔A在观察站C的北偏东 方向上，灯塔B在观察站C的南偏东 方向上，则灯塔A与B的距离为( )
A．6 kmB． C．7 kmD．
4．已知椭圆 的两个焦点分别为 ， ， 是椭圆 上的动点， ， 的最小值为1，则 的焦距为（）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若椭圆 的一个焦点坐标为 ，则下列结论中正确的是（）
A． B． 的长轴长为
C． 的短轴长为 D． 的离心率为
10．当 时，下列函数最小值为2的是（）
A． B．
C． D．
11．已知 ， ， 分别为 内角 ， ， 的对边， ，且 ，则下列结论中正确的是（）
A． B．
C． 面积的最大值为 D． 面积的最大值为
12．已知 是等差数列 的前 项和， ，设 ，则数列 的前 项和为 ，则下列结论中正确的是（）
A． B．
C． D． 时， 取得最大值
三、填空题
13．已知 ， ， 分别为 内角 ， ， 的对边， ， ， ，则 ______.
14．若命题“ ， ”是假命题，则实数 的取值范围是______.
15．已知数列 的各项均为正数，其前 项和为 ， ， ，则 ______.
则 ，∴ ， ，∴ ，
，即 ，
化简得 .
故选：C.
【点睛】
考查等差数列有关性质及计算，基础题.
8．C
【分析】
由已知结合余弦定理得 ，再边角互化并整理得 ，故 ， .
【详解】
由余弦定理得 ，
∴ ，
由正弦定理得 ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， .
故选：C.
【点睛】
本题考查余弦定理，正弦定理边角互化，考查化归转化思想，运算能力，是中档题.
22．已知椭圆E： ( )的左焦点为 ，过F的直线交E于A、C两点， 的中点坐标为 .
（1）求椭圆E的方程；
（2）过原点O的直线 和 相交且交E于B、D两点，求四边形 面积的最大值.
参考答案
1．D
【分析】
由集合描述得 、 ，利用集合的基本运算即可知正确选项.
【详解】
由已知得： ， ，即 ， ；
故选：D.
由二次函数的性质，可得判定A不正确；根据基本不等式和对勾函数的性质，可判定B正确，C不正确，于D正确.
【详解】
对于A中，函数 ，此时函数在 上无最小值，所以A不正确；
对于B中，由 ，可得 ，当且仅当 时取等号，所以B正确；对于C中，令 ，则 ，
由对勾函数图像可得其最小值为 ，C不正确；
对于D中，函数 ，
① ；② ；③ .
请从以上三个条件中任选两个，求 的大小和 的面积.
19．已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）求不等式 的解集.
20．已知 分别为 内角 ， ， 的对边， ， 成等差数列.
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的值.
21．在数列 中， ， .
（1）设 ，求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
【点睛】
本题考查了集合基本运算，结合一元二次不等式的解法、指数函数的性质，属于简单题.
2．B
【分析】
先根据曲线表示椭圆得 ，再根据集合关系判断必要不充分条件即可得答案.
【详解】
解：由曲线 表示椭圆得： ，
解得： ，
由于 ，
”是“曲线 表示椭圆”的必要不充分条件，
故选：B.
【点睛】
本题考查根据椭圆的方程求参数范围，必要不充分条件，是基础题.
A．10B．8C．6D．4
5．已知数列 满足 ，则 （）
A． B． C． D．
6．已知二次函数 的值域为 ，则 的最小值为（）
A．3B．6C．9D．12
7．已知 是等差数列 的前 项和， ， ，则使得 的 的最大值为（）
A．12B．13C．14D．15
8．已知 ， ， 分别为 内角 ， ， 的对边， ， ，则 （）
3．C
【分析】
根据题意作出示意图，然后利用余弦定理可求解 的长度即为灯塔A与B的距离.
【详解】
由题意作出示意图如下：
由题意可得 ，
由余弦定理可知： ，所以 ．
故选C.
【点睛】
本题考查解三角形的实际应用，难度较易.处理解三角形实际问题中的角度问题，可先作出示意图，根据示意图选用合适的正、余弦定理求解相关值.
湖南省怀化市2020-2021学年高二上学期10月联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， ，则（）
A． B． C． D．
2．“ ”是“曲线 表示椭圆”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
16．已知 ， 为椭圆 的两个焦点，若 上存在点 满足 ，则实数 的取值范围是______.
四、解答题
17．已知等差数列 的公差 不为0， ， 是 与 的等比中项.
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 ，求数列 的前 项和 .
18．已知 ， ， 分别为 内角 ， ， 的对边， ， 为线段 上一点， ，有下列条件：
4．B
【分析】
由椭圆定义及性质，布列方程组，即可得到结果.
【详解】
由已知得 ，解得 ，
∴焦距为8.
故选：B
【点睛】
本题考查椭圆的定义及基本性质，考查计算能力，属于基础题.
5．A
【分析】
由数列通项公式可得 ，应用等比数列前n项和公式求和即可.
【详解】
由题意知： ，
∴ .
故选：A
【点睛】
本题考查了由已知数列通项公式求新数列通项，应用等比数列前n项和公式，属于简单题.
6．D
【分析】
根据题意得 ， ，再根据基本不等式即可得答案.
【详解】
解：由题意知 ， ， ， ，
∴ ，当且仅当 ，即 ， 时取等号.
故选：D.
【点睛】
本题考查根据二次函数值域求参数，基本不等式求最值，是中档题.
7．C
【分析】
由 找到 的关系，再百度文库入 ，解不等式即可.
【详解】
解：设等差数列 的公差为 ，
当且仅当 ，即 时取等号，D正确.
故选：BD.
【点睛】
本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式求最值时的条件“一正、二定、三相等”，合理构造求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
9．ACD
【分析】
首先根据条件列式 ，得到椭圆方程，再判断选项.
【详解】
由已知可得 ，解得 或 (舍去)，
椭圆 的方程为
∴ ， ，即 ， ，
长轴长为 ，短轴长 ，离心率 .
故选ACD.
【点睛】
本题考查椭圆方程和椭圆的简单几何性质，重点熟记椭圆方程和椭圆的简单几何性质，属于基础题型.
10．BD
【分析】