九年级上册圆的最值题型整理与寻找隐圆和动点路径长方法归纳

授课类型 T 能力( 圆最值 )
授课日期及时段
2019年
教学内容
（比一比！）
动点运动轨迹——圆或圆弧型
动点轨迹为定圆，利用三点共线
方法指导：1．当动点的轨迹是定圆时，可利用“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径和，最小值为定点到圆心的距离与半径差”性质求解．2．试着观察“动点与其他定点连结的线段长是否为‘定值’或动点与两定点构成的角是否为直角”，这是常见判断动点轨迹是圆的条件。

Ⅰ 动点到定点的距离不变．．．．．．．．．．
，则点的轨迹是圆或圆弧； 1.如图 1，在正方形 ABCD 中，边长为 2,点 E 是 AB 的中点，点 F 是 BC 边上任意一点，将△BEF 沿 EF 所在直线折叠得到△PEF ，连接 AP ，则 CP 的最小值________，AP 的最小值是_________.
【变式 1】在矩形 ABCD 中，已知 AB ＝2cm ，BC ＝3cm ，现有一根长为 2cm 的木棒 EF 紧贴着矩形的边（即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则木棒 EF 的中点 P 在运动过程中所围成的图形的面积_______cm 2.
T 能力——圆最值
检测定位
【变式2】如图，一根木棒AB 长为2a，斜靠在与地面OM 垂直的墙壁ON 上，与地面的倾斜角∠ABO＝60°，若木棒沿直线NO 下滑，且 B 端沿直线OM 向右滑行，则木棒中点P 也随之运动，已知 A 端下滑到A′时，AA′
)a，则木棒中点P 随之运动到P′所经过的路线长_______________．
＝(32
3．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，P 是AB 边上的动点（不与点B 重合），将△BCP 沿CP 所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A 长度的最小值是________．
4．如图，在□ABCD 中，∠BCD＝30°，BC＝4，CD＝3 3，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C 长度的最小值是________．
5．如图，在四边形ABCD 中，AB＝AC＝AD，若∠BAC＝25°，∠CAD＝75°，
则∠BDC＝_________°，∠DBC＝____________°．
定边对定角模型
定弦定角
当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的轨迹是圆弧．
见．直角→找．斜边（定长）→想．直径→定．外心→现．“圆”形；
见．定角→找．对边（定长）→想．周角→转．心角→现．“圆”形；
【一般解题步骤】
①让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨迹是一段弧。

②寻找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角，这个补角一般为45°、60°或者一个确定的三角函数的对角等）
③找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆。

④确定圆心位置，计算隐形圆半径。

⑤求出隐形圆圆心至所求线段定点的距离。

⑥计算最值：在此基础上，根据点到圆的距离求最值（最大值或最小值）。

1．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP 长的最小值为_____．
2.如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线OF绕O点旋转时，CD的最小值为________.
3.如图∠BAC=60°，半径长1的⊙O与∠BAC的两边相切，P为⊙O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的⊙P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为（）
A．3 B． 6 C．
23
3
D．3
3
4.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是______．
5.如图，在等腰Rt△ABC 中，AC＝BC＝22P 在以斜边AB 为直径的半圆上，M 为PC 的中点．当点P 沿半圆从点A 运动至点B 时，点M 运动的路径长是________．
6.如图，⊙O 的半径为1，弦AB＝1，点P 为优弧AB 上一动点，AC⊥AP 交直线PB 于点C，则△ABC 的最大面积是____________.
7.直线y＝x＋4 分别与x 轴、y 轴相交与点M、N，边长为2 的正方形OABC 一个顶点O 在坐标系的原点，直线AN 与MC 相交与点P，若正方形绕着点O 旋转一周，则点P 到点(0，2)长度的最小值是__________．
8.E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AEDF，连结CF交BD于点G，连结BE交AG于点H。

若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是。

9.如图，边长为3 的正方形ABCD，两顶点A、B 分别在平面直角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上滑动，点C 点
D 在第一象限，点
E 为正方形ABCD 的对称中心，连结OE，则OE 的长的最大值是____________．
10、AB是半圆O的直径，AB=10，弦AC长为8，点D是弧BC上一个动点，连接AD，作CP⊥AD，垂足为P，连接BP，则BP的最小值是_____。

11.已知以AB为直径的圆O，C为AB弧的中点，P为BC弧上任意一点CD⊥CP交AP于D，连结BD，若AB=6，则BD的最小值为_________
12.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上的一个动点（不与B、D重合），连结AP，过点B作直线AP的垂线，垂足为H，连结DH，若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是．
13.如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在CD，AD上，CE=DF，BE，CF相交于点G，连接DG .点E从点C运动到点D 的过程中，DG的最小值为。

动点轨迹为其他曲线，构造三角形
方法指导：1．当动点轨迹不是“定线”或“定圆”时，不妨将此线段转化为一个三角形中，其中在该三角形中其他两条边位置不定但长度确定，则所求线段的最大值为其他两线段长之和，最小值为其他两线段长之差．2．在转化较难进行时需要借助于三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线。

1、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动．在运动过程中，点B到原点的最大距离是( )
A．9 B．26C．35D．32＋3
2.如图，∠MON=90°，线段AB 两端点分别在边OM，ON 上，当A 在边OM 上运动时，B 随之在边ON 上运动，AB=2 保持不变，以AB 为边向外作等边△ABC，在运动过程中，四边形AOBC 的面积的最大值是___________.
3、如图，平面直角坐标系中，将含 30°的三角尺的直角顶点 C 落在第二象限．其斜边两端点 A 、B 分别落在 x 轴、y 轴上，且 AB=12cm.
（1）若 OB=6cm ．
①求点 C 的坐标；
②若点 A 向右滑动的距离与点 B 向上滑动的距离相等，求滑动的距离；
（2）点 C 与点 O 的距离的最大值=___________cm ．
4.如图，定长弦CD 在以AB 为直径的⊙O 上滑动（点C 、D 与点A 、B 不重合），M 是CD 的中点，过点C 作CP ⊥AB 于点P ，若CD =3，AB =8，PM =l ，则l 的最大值
5.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D 是平面内的一个动点，且AD=2，M 为BD 的中点，在D 点运动过程中，线段CM 长度的取值范围是 .
6.如图，△ABC 中，CA=CB ，AB=6，CD=4，E 是高线CD 的中点，以CE 为半径作⊙C ，G 是⊙C 上一个动点，P 是AG 中点，则DP 的最大值为 ．
B
A C M D
2 双动点型
解决双动点问题的常用方法是转化为单动点问题，接着再用单动点的方法解决线段最值问题。

有这样一类双动点，它是由某一动点所产生的，同样就可用“源动点”和“从动点”的分析方法来处理，现总结思考前三个步骤：(一)分析“源动点”的不变量．(二)分析“双动点”与“源动点”间关系．(三)转化为单动点问题。

显然确定“双动点”与“源动点”间关系是实现转化的关键。

例1、△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC:BC =3:4，过AB边上一点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，EF是垂足，则EF的最小值等于_____________。

2．如图,在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE=3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（）
A．
9
10
B．
6
5
C．
8
5
D．
12
5
3.如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（）
A．6 B．213+1 C．9 D．
2
32
利用勾股定理实现转化
1、如图，1.如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则
PQ的最小值为【】
A．13B．5C．3 D．2
2.如右图，在Rt△AOB中，OA=OB=32，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ （点Q为切点），则切线PQ的最小值为。

3.如图，AB为⊙O的直径，C为半圆的中点，⊙C的半径为2，AB＝8，点P是直径AB上的一动点，PM与⊙C切于点M，则PM的取值范围为________________．
利用三角形边角关系转化
AB ，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，1.△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，22
AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为.
2.如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O 与∠BAC 的两边相切，P 为圆O 上一动点，以P 为圆心，PA 长为半径的圆P 交射线AB 、AC 于D 、E 两点，连接DE ，则线段DE 长度的最大值为( ).
A ．3
B ．6
C ．332
D ．33
（化腐朽为神奇）
1．如图，在ABC 中， 90ACB ∠=︒． AC BC =， 4cm AB =． CD 是中线，点E 、F 同时从点D 出发，以相同的速度分别沿DC 、DB 方向移动，当点E 到达点C 时，运动停止，直线AE 分别与CF 、BC 相交于G 、H ，则在点E 、F 移动过程中，点G 移动路线的长度为（ ）．
A ． 2
B ． π
C ． 2π
D ． 2π2
路径最值
2．如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（）
A． B． C． D．
3．如图，⊙O的半径为2，AB、CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点（P与A、B、C、D不重合），经过P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周转过45°时，点Q走过的路径长为（）
A． B． C． D．
4．如图，在等腰Rt△ABC中，斜边AB=8，点P在以AC为直径的半圆上，M为PB的中点，当点P沿半圆从点A运动至点C时，点M运动的路径长是（）
A．2 B．2π C． 2π D．2
5.如图1，点P从扇形AOB的O点出发，沿O→A→B→0以1cm/s的速度匀速运动，图2是点P运动时，线段OP的长度y随时间x变化的关系图象，则扇形AOB中弦AB的长度为______cm．
6.如图，AB为⊙O的直径，且AB=4，点C在半圆上，OC⊥AB，垂足为点O，P为半圆上任意一点，过P点作PE⊥OC 于点E，设△OPE的内心为M，连接OM、PM．
（1）求∠OMP的度数；
（2）当点P在半圆上从点B运动到点A时，求内心M所经过的路径长．
当堂检测
（真金不怕火炼）
1.如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（）
A．3 B．4 C．6 D．8
2.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB=4，∠AOC=120°，P为⊙O上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为（）
A.3 B．1+6C．1+32D．1+7
3.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=43，F是线段AC上一点，过点A的⊙F交AB于点D，E是线段BC上一点，且ED=EB，则EF的最小值为（）
A． 33 B． 23 C．3 D． 2
4.如图，点C是半圆AB上一动点，以BC为边作正方形BCDE使弧BC在正方形内，连OE，若AB=4cm，则OD 的最大值为______cm．。