流体机械的相似理论

第三章 流体机械的相似理论
由于其内流动复杂，常常难以用数学方法得到实用结果，为了认识其内规律，必实验，但用真机试验，费用大，测量也困难。

①能否用一个小的模型来试验。

（模型和真机相似），测量其内流场，分析其内流动规律，来完善设计方法。

但依什么来设计次模型。

②用模型试验可测得性能及内部流场，它和真机性能之间有何关系，小的模型符合什么条件才能 叫做真机相似？
§3.1 流体机械的流动相似准则
一、流动相似条件
由于流体机械内最复杂流动是粘性可压缩流动，由流体力学相似理论知：两个流动相似，则它们所涉及的 所有物理量：几何尺寸、时间、速度、力、温度、密度，粘度都必须对应成比例。

即几何、运动、时间、动力相似，热力相似，和物性相似。

1．几何相似
指流动空间几何相似，即形成此空间任意相应两段线夹角相同，长度保持一定比例。

2．时间相似：
指两个相似流动中各种参数对于时间的变
化过程相似，并完成一个特定的流动过程所用的时间成比例。

3．运动相似：
两流动的相应流线几何相似，或两种两流动相应点的速度大小成比例方向相同
c m p m p m p k w w u u C C ===///
对于两个几何相似的流体机械叶轮，运动相似意味着对应点的速度三角形相似（绝对流动角和相对流动角相等）。

由于运动和几何相等不难证明加速度也相似
c l t k k k /= 加速度：l c t c a k k k k k 2=
=
4．动力相似：
指作用于流体质点上的同名力大小成比例方向相同
f Em
Ep Ip Gm
Gp pm
pp vm
vp k F F F F F F F F F F ==
=
=
=
Im
v ，p ，G ， I ，E 分别代表粘性力、压力、重力、惯性力、弹性力 5．热力相似：
指两个流动过程内部的热功转化过程和热量传递过程相似（即温度场相似和热流相似）。

在流体机械中常忽略热传导，所以热力相似主要指温度场相似（对应点的温度成比例）
t m p k T T =/ 6．物性相似
指两个流动对应点上介质的物性参数，如密度ρ、粘性系数μ、比容p C 成比例
cp pm pp m p m p k C C k k ===/,/,/μρμμρρ
理论上，要两个流动相似，必保证以上六个参数相似。

才可能进行换算，但一般难以知道各点的v 、p 、T 。

故要建立新的准则，避开这些量 二．流体机械的相似准则
由流体力学知：在满足几何相似和物性相似的条件下，只要是两个流动的若干个无量纲数对应相等，即可保证两者相似。

这些无量纲数称为相似准则。

（1） 斯特努哈尔数：表示在非定常流动中当地加速度和位移加速度的比值。

00
t C l S r =
（2） 欧拉数E u 压差力和惯性力的比值
2
00C p E u ρ=
又因为 音速0002
0/ρp k C a = 故得：20202
0111a
a u M k C C k E == kRT C a = RT p =ρ 可见：①Ma 除了表明流速和声速的比值（表示介质的可压缩性）以外，也表示了惯性力和压差力的比值。

②对可压流体：为保证压差力相似（或欧拉数相似），必保证模型和原形的绝热指数k 0和Ma 相等
③弗劳德数Fr ：惯性力和重力之比000l g C Fr = ④雷诺数Re 惯性力和粘性力之比0
00Re u l c ρ=
综上所述：两个流体机械相似必保证
①S RP =S RM ②Map=Ma ③Frp=Frm ④Rep=Rem
Eum=Eup (k o )p =(k 0)m
另外，一般同一种绝热指数一般为常数。

故绝热指数相等条件也可理解两种不同介质 三．不完全相似
现实中要同时满足上述几个准则几乎不可能。

有时甚至一个相似准则都难以实现。

例①
10=m
p l l ，二者介质相同，为使得Rep=Rem ; m p C C /=1/10；
而为了使得Frp=Frm ，m p C C /=10，显然，这两个条件不可能同时满足。

②三峡转轮10米，水头约100米，目前国内最大模型直径0.5米。

为保证雷诺数相等。

模型流速应是原形的20倍，由于流速和水头平方成正比，故模型水头需4万米才能保证雷诺数相等，这几乎不可能。

但在实际中并不需要，严格相识，由这些相似准则的物理意义知：除k 外，这些都表示某一力和惯性力之比，如果这种力在某种特殊流动中起的作用不大，就无需满足，下面分析之：
1．Sr 表示非定常流动的当地加速度和迁移加速度之比在稳定工况下，流体机械相对运动时定常的。

但由于叶片数有限，叶片工作面和背面的速度不同。

故绝对速度不是定常的而是成周期性变化，故Sr 数必须相等。

2．Ma 数和Eu 数，是压差力和惯性力之比，而压差力是流体机械重要的作用力，故在不可压介质要满足Eu 数相等。

可压中要满足Ma 数相等。

3．Re 数，是惯性力和粘性力之比。

一般流体机械内介质是由粘性的，应保证Rep=Rem ，但从上面例中可见：当l p 和l m 相差大小难以保证Rep=Rem 但粘性力造成的是能量损失，故粘性力对流体机械的影响表现在η上，以前分析，当Re>Recr 一般对η无影响。

故一般情况下，无需 Rep=Rem ，但当Rem 和Rep 相差较大时，可予以修正。

4．Fr 数，重力和惯性力之比，由于流体机械无自由表面，在过流部件流动有压力、重力对速度分布。

影响很小。

故一般不要求Frp=Frm ，但在特殊情况下要求： a)泵进水池内流速分布与泥沙沉降研究。

b)水轮机尾水管与下游河道的相互作用研究时用。

5．绝热指数：决定介质的内热和功的转换，需用。

综之，对流体机械的实、模换算，必须满足
①rp rm S S =
可压介质： ②am ap M M = 尽可能使p m Re Re =，若相差 ③m p K K = 太多，换算时予以修正，特殊
①rp rm S S = 场合要求rp rm F F =
不可压：
②um up E E =
§3.2 相似理论在流体机械中的应用
问题：Sr, Ma, Eu 由特征量组合，而选择有很多，为了工程上实用还需和常用量q v ,n,D,H(h,P th ) 结合，得到工程实用的公式。

一、不可压介质：包括泵、风机、水轮机，由于习惯不同分开讨论。

（一）泵、风机单位参数及相似换算
由前面分析知：泵、风机介质是可看作不可压的，要满足Sr, Eu 数相等。

<1>. 流量系数：在Sr 数中，取叶轮直径D 为特征长度，以叶轮旋转一周的时间
n
1
为特征时间，以叶轮出口轴面速度2m C 为特征速度，又因为2m C 与q v 成正比，与D 2
成反比，故得
v v q n D n
D q D t C l Sr 320001=== 定义：流量系数n D q v 3=ϕ
又因Dn u ∝ 2
2D q C v
m ∝ 泵行业用
故2
2
u C m =
ϕ 风机行业用 2
24
u D q v
π
ϕ=
(2). 压力系数：2
00
C p E u ρ=
取D 全压P u 2为特征值故2
2
u P Eu ρ= a)风机行业：将此记为压力系数 全压系数： 2
2
u p tF
t ρφ=
静压系数：2
2
u p sF
s ρφ=
b)泵行业：用扬程作特征压力：gh p tF ρ= Dn u ∝2 于是有： 2
222n D h
n D gh ==
φ 因 h 是能量头，故也叫能量头系数。

由于g 是常数，也可以写为：2
2n D H
=φ 也可以写为： 22
2
2u h u gh ==φ 也可以写为：22
2222u gh u h ==
φ 原则上 ϕ 和 φ 应是无量纲的，但 2
2n
D H
=
φ 却有：原因在消失了g 。

这样当P 和 M
不在同一重力场中，这样计算的φ将不同。

（3） 功率系数：将ϕ, φ 经过相乘运算， 可得：
泵行业：3
5n D p
=λ 风机：η
ρλ32
2
4
1000u D p
=
(式中，P 单位kw)
2．泵和风机的相似换算：
当两台泵和风机相似，它的ϕ, φ 分别相等，据此可得出两机各参数之间的关系。

按理，当完全相似是效率是一个无量纲系数，真机和模型的效率应该相等。

（但工程上不能完全相似，仍稍有差别，以后讨论。

）
① 流量关系：由两机流量系数相等，可得出两机的流量满足：
m
m p
p m
v p v n D n D q q 3
3..=
② 压力或扬程关系：由压力系数相等可得出压力（静压、全压）扬程之间关系。

2222,,m
m m p p p m tF p tF n D n D P P ρρ=
，
222
2m
m p p m
p n D n D H H =
③ 功率之间：
22
2
2,,m
m m p
p p m
tF p tF n D n D P P ρρ=
上述三个相似换算也等于两台相似机器之间性能参数换算，也可用同一机器在转
速变化时的相似换算：这样由于D 及ρ不变，有
B
A
B v A v n n q q =
,, 22
,,B A B tF A tF B A n n p p H H == 22B A B A n n p p = 右图表示不同转速之间的性能曲线。

由相似定律知：
2
v kq H =
此线即为：相似抛物线。

k 对不同工况q v 不同。

如果
满足完全相似，相似抛物线上效率相同，流量系数
ϕ，压力系数φ相等。

故2
v kq H =又叫等效抛物线。

但当转速变化较大时由于雷诺数不等，更重要的是外部机械损失不遵循流动相似定律，实际效率不等。

例如在坐标原点附近。

由于 2n
b
a m -
=η, 当离坐标原点远，可认为 m η占的份额少，认为m η等于常数。

（即机械效率不变）， 当在坐标原点附近，机械损失占的份额大，（小流量高扬程），而m η和 q v 及H(P tF )几乎无关。

（二）水轮机的相似参数与单位换算 1．水轮机的单位参数：
对水轮机 φϕ, 作为不可压介质流动的相似准则，对水轮机是有效的。

由此导 出的流量关系，压力关系（扬程关系）功率关系也能用。

但泵、风机通常以n,D 作为已知量，而水轮机，已知的是水头，直径，为了应用方便将上述参数φϕ, 作 一变换。

（1） 单位转速：n 11 定义为压力系数的平方根的倒数：
2
2n D H =
φ H
Dn
n =11 单位转速：可以理解为转轮直径为D 1=1m 时，在水头1m 条件的工作时水轮机的转速。

有量纲：m 1/2/s, 工程上习惯用r/min 作为其代表性的单位。

（2） 单位流量。

Q 11 将ϕ与n 11相乘即得，其积的相似判别数 n
D q v
3=
ϕ H
D q H Dn n D q Q v
v 2
311==
11Q 可理解为转轮直径D 1=1m 时，在水头1m 下工作时，通过该转轮的流量。

有单位m 1/2/s ，工程上习惯用m 3/s.
n 11及11Q 是从Sr 和Eu 数演变而成的相似准则，当两个几何相似的水轮机n 11和
11Q 相等，它们的流动是相似的。

(三)单元功率：
ηρηρ2/3211H D gQ H gq p v == 显然得：
11112
/32p gQ H D p
==ηρ
对于相似工况 ηρ11gQ 显然为常数，定义为 P 。

P ：此表示了水轮机转轮直径为1m 时，在水头为1m 下工作时，水轮机转轮能够转换的功率。

仍有单位，工程上用kw. 2.相似换算：
满足相似条件的模型及实型水轮机的Q 11,n 11, P 相等，故可换算 ①流量：
m m
p
p m
v p v H D
H D q q 22,,=
②转换关系：m
p p
m m
p H H D D n n = （由H
D n n =
11 得 ）
③功率关系:
2/322/32m
m p p m
p H D H D p p = 依此关系很容易由模型参数求得原型参数.
三 相似换算对效率的影响
前边的讨论都认为p m ηη= .但实际上由于难以达到完全相似,二者效率有差别. 原因: ①由于换算不能保证Re 相等,即使Re 都大于Recr 即在阻力平方区.由于
加工方法相同难以保证 m
m
p
p
d
d
∆
=∆
.因相同加工方法m p ∆=∆ 故大的流体
机械 m
m
p
p
d d ∆
<∆
,即相对粗糙度不相似. ②由于结构要求,两台机器的容积
泄漏不能保证相似.一般说小的相对间隙大. 如10m 转轮(间0.5mm),模型 0.5m 只能[0.5/20=0.025mm]几乎不可能. ③机械效率不相等,(机械效率在转速高的情况下近似认为相等,但当转速很低时不等) 有人研究过机械效率和转速的关系为:2n
b
a m -
-=η 式中a,b 为常数,转速高时02→n
b
, 近似为常数,转速低时m η为常数 以上原因引起相似换算对效率的影响叫尺寸效应(比例效应)。

目前还不能从理论上完全解决此问题.但由于这几个损失中,水力损失占的份额最大.故工程实践中用对水力效率修正,并用水力效率修正值来修正模型与实型的总效率。

以泵为例讨论: h j 1.水力效率: t
t h H h
H H -
==
1η h 设计工况下h j 很小,近似认为只有h f h f
g
c d l h f 22
λ
= )/(Re,d f ∆=λ 一般λ和Re 无关,故)/(d f ∆=λ
依马宁公式有: n d
c 1
)(∆
=λ 一般相同,加工方法p m ∆=∆,故认为λ只是原型泵和
实型泵尺寸的函数,得n
d
k 1=
λ
即 t n
h gH c d l d k 212
1-=η
对原型和实型泵有：
p
t
p p n
m
t m m
n p h m h gH c d l d k gH c d l d k
)
2()()()
2()()()1()1(2121=--ηη 由于几何相似
p m d l d l )()(= 工况相似p
t
m t gH c gH c )2()2(22=
于是得： n
m p p h m h d
d 1
)(11=--ηη，近似认为h η为η
即得：
n m p p
m d d 1
)(11=--ηη（n=4-5），一般d p >d m
,即m p d
d 〉1 ，故m p ηη> 水力效率增加，扬程增加否，肯定增加，工程上用： 令2
p
m p
ηηη
+=
保证
则近似认为扬程增加量 2
)(m
p p
m p p
H
H H ηηηη
-=-=∆保证
，
此扬程增加H ∆ ，不增加功率，只是水力损失提高了。

同样，流量也比换算得大。

因为小泵叶片厚度设计此时是为了满足最小铸造厚度，如果按几何相似来做，大泵的叶片，就非常厚，而大泵叶片厚按强度考虑。

这样
排挤小了，流量增加了。

增加到：m p
p
Q φ
φ
对水轮机分析方法相同。

同样可得：当然指按沿程损失的计算公式推导得到：
n m n m m p H
H
D D 21
1
)()()1()1(ηη-=-
上述公式误差较大：因水轮机损失多种多样，推导中只考虑了沿程损失，实际很多损失和水轮机尺寸无关，如吸水管（尾水管中）的漩涡损失，出口损失等。

故国际电工委员会（IEC ） 规定：
]Re Re )1[()1()1(n m p p
m
εεηη+--=-
ε—型摩擦损失占总的损失的比例。

在最优工况时：ε=0.7，即可得轴流式水
轮机换算的Hutton 公式 ，ε=0.7（最优工况时）
]Re Re 7.03.0[)1()1(n m p p
m
+-=-ηη 式中
n p
m n p m n
H H D D p m
211Re Re ⋅= 式中n 为指数：依实验定：最优工况下n=5。

当偏离最优工况：ε值发生变化，对转浆式一般在整个工况区用ε=0.5。

国际电工委员会规定：对混流式水轮机采用Moody 公式，
])1()1(1
1n
m
m p D D ηη-=- n 为指数，最优工况下n=5 我国规定：当H ≤150m ，采用
])1()1(1
1n
m
m p D D ηη-=- （书上写：当H ≤150m,用：]Re Re )1[()1()1(n m p p
m
εεηη+--=- ） 当 H ≥150m 采用
20
/15/111)()(
)1()1(H
H D D m m m p ηη-=- 同样：对水轮机，效率对相似换算关系也有影响。

对于水轮机，由于模型和原型的效率的差别，模型和原型的单位参数也有差别，这就应对它们依相似换算得到的公式进行修正。

如果考虑到效率不等，那么模型及原型的单元转速就不等。

即
p
p p m
m m H D n H D n ≠
（H
Dn n =
11）
但如果用H th 代替 H ，则它们应该相等，即
p
h p p p p
th p p m
h m m m m
th m m H D n H D n H D n H D n ,,,,ηη=
=
依单位转速的定义有：m
h p
h m
p n n ,,,11,11ηη= 同理可得： p
v m
v m h p h m
p Q Q ,,,,,11,11ηηηη=
m
m p m m h p h m
p P P ,,3,,,11,11)(ηηηη= 但上三式中，m v h ηηη,,难以测量到，模型试验时，只能测得总效率η ，所以上述三式难以应用。

但考虑到m v ηη, 远小于h η，认为模型机和实型机总效率的比值等于水力效率的比值。

这样得到的实用换算公式为：
m
p
m
p ηηηη,11,11= m p m
p Q ηηη,11,11= 3
,11,11)(m
p m p P P ηη= 原型机的其它参数依单位参数计算：
p p p p D H n n /,11=
p p p p v H D Q q 2
,11,=
32,11p p p p H D P P =
二、可压介质
当为可压介质时，流体力学的基本方程还包括能量方程及状态方程。

前面已知，对可压介质应满足Sr,Ma ,k 相等，Re 数尽可能相等。

(一)、压缩机的相似参数： （1） 流量系数：
和泵及通风机一样，在压缩机中流量系数是斯特驽哈尔的体现：
已知： 2Au q v =
ϕ (,2
2u C
m =ϕ A q C v m =2)
由于压缩机各处体积流量不同，过流面积不同。

而对压缩机级的模拟，常用叶轮进口的参数计算。

故有：2
11u A q v
=
ϕ （2）特征马赫数： 已知Ma=
Ca
C
,C 为当地速度 Ca 为当地音速 若取圆周速度为特征速度，机器进口处的音速为特征音速，则此地的 马赫数记为特征马赫数Mazu ，或叫机器马赫数。

in
kRT u in Ca u Mazu 2
2,=
=
依相似原理：两机器相似，在相似工况下对应的流量系数ϕ及特征马赫数Mazu 相等。

（二）满足相似条件时的性能换算
依相似原理，当两级相似时，其k, 1ϕ,Mazu,ε(压缩比)，能量头系数pvl ad ηηφ,, 和多变指数m 等无量纲都应保持相等。

1. 转速关系：
依两级的特征马赫数和绝热指数相等：
m Mazu p Mazu ,,= ;K p =K m
m
in m m m p
in p p p T R n D T R n D ,,=
;
故转速关系为：p
in p m in m m
p p
q m T R T R D D n n n ,,==ρ ①
式中eq n 称为当量转速，也就是模型试验转速。

从上式可以看到，对于不可压介质
①模型试验转速不仅和尺寸比例有关，还和试验时所采用的气体常数，进口温度有关。

②当用产品本身试验时 m p D D = ，一般介质种类及温度也会和设计时不同，试验转速与 设计转速也不一样。

故压缩机试验台一般用可变速的装置来调速，以大到所要求的转速。

（2） 流量关系：用流量系数1ϕ相等，Mazu 相等可得：
p
in p m in m p m p
p m m m v m v T R T R D D D n D n q q ,,2
2
33,,=⋅⋅= ②
因依马赫数相等可得：p
in p m in m p
p m m T R T R n D n
D ,,=
此式即适用叶轮进口，也适用于机器进口。

对于质量流量则有：
p
in m in m in m p in p p
m p in m in p in p m in m p
m p in v p in m in v m in p
m m m T R T R D D T R T R D D q q q q ,,,,2
2,,,,2
2
,,,,,,,,ρρρρρρ===
又RT pv = 即RT p ρ= （3）能量头关系
由于能量头系数相等，再考虑到转速关系，可得能量头关系为：
2
22
2n D h
u h ==
φ p in p m
in m p
p m m p m T R T R n D n D h h ,,222
2== ③ （此式对绝热、多变和总能量头都适用） （4）功率关系
依质量流量和能量头的关系得：
m hq P =
p
in m in p in p m in m p
m p in m in m in m p in p p
m
p in p m in m p m T R T R D D P P T R T R D D T R T R P P ,,,,2
2,,,,22,,ρρ== ④
由①~④式可见：①当希望模型的功率小时，在进口条件一定时，希望模型直径愈小，愈好。

但模型尺寸小，为了保证特性马赫数相等（Mazu 相等）应使得试
验转速提高。

{由特征马赫数相等得：p
in p m in m p
p m m T R T R n D n
D ,,=
}
②从上还可得：当希望Pm 小时，应使得Pin,m 小。

在试验时，为了节省功耗，可采用进口节流，以降低机器进口处压力Pin,m ，但进口节流法，会使得机器进口处流场发生变化，影响了机器试验的性能。

在这种情况下，最好在机器进口前安装稳流箱，以保证进口流场均匀。

(三)近似相似时的性能换算
Sr 数相等
1.理论上，对压缩气体应保证 : Eu 数相等 （Ma 相等，k 相等） Re 尽量相等
①目前对实型和模型压缩机“表面相对粗糙度不等”，相对间隙不等引起对换算结果影响，还无办法。

②但有时，机器k 相等，Ma 不等，或Ma 相等， k 不等其性能如何换算。

a)k 相等， Ma 不等
此在产品试验时遇到.①一般使用 进行产品试验时， 采用设计转速来进行。

这时即使气体相同，但进口条件和真实运行时不同，这时试验转速不符合试验进口条件算得的当量转速。

不能保证Ma 相等。

②用空气来代替真正介质试验 。

虽然这些介质的k 和空气的k 相同，但R 不同，当进口条件不同时，这时用设计转速当作试验转速即当量转速就偏差更大。

因此需换算。

换算的方法很多。

下面介绍一种： ①压比换算法：
当Ma 相差很小，且Ma 数绝对值相差不大，可近似认为Ma 数不对流道中的参数变化和阻力系数的影响很小，那么在相似条件中，可不考虑 数相等的条件，这时如果认为进口、出口的相似： 即由 ：m m 1,1ϕϕ=，得 p
p p in v m
m m
in v n D q n D q 3,,3
,,=
由三角形相似知：
p
p m m m m u C u C ,2,2,2,2=
；
p
p u m
m u u C u C ,2,2,2,2=
假设阻力系数相同，轮阻损失系数r β 和泄露损失系数 v β值也相同，则效率相
同
p h m h ,,ηη=， p pol m pol ,,ηη=， m p m m =
依基本方程式可得多变能量头的关系为：
222
22,22
,2,,p
p m m p
m p
pol m pol n D n D u u h h ==
又)1(1
1--=-m
m in pol
RT m m h ε
可得真机压比 p ε和模型压比m ε 的关系（当用同一台机时
1=p
m
D D ） 22,,p
m
p
pol m pol n n h h =代入 pol h 关系得：
1
1
,,2)]
1()(1[---+=m m p
p m m m
m p m
in m p
in p p m m T R T R n n εε
上式即为压比换算法。

当然还有其它多种。

目前应用情况不好。

（四）通用特性曲线（只适用一定k 值） 级：),(11Mazu f ϕφ= ),(22M a z u f ϕη= 或 ),(22
11,1in
v RT u u f q g =φ
),
(
22
11,2in
v RT u u f q g =η
§3.3 流体机械的综合判别数—比转数
一、比转数的定义
水轮机 n 11 ,Q 11
叶轮机械相似判别数 风机、泵 ϕφ, 含有叶轮特征尺寸D,当还
压缩机 1ϕ ,u a M 2
设计时，D 未知，应用不方便，无法应用，想法将相似判别数组合，将D 消除。

可得：
对水轮机 4
/51111H
p n p n n s =
=
注意： ①n s 有量纲，也是一个相似判别数
②n s 可以理解为水轮机在相似工况下工作时，当水头为1m ，功率为 1kw 时水轮机所具有的转数
③从上式可见，H 为一定， n s 高，意味着n 及 p 大，对水轮机有很大的经济意义。

因此提高水轮机的性能，其方法之一就是在一定水头条件下，提高水轮机的比转数。

④n s 是工况的函数，不同工况下有不同的n s 值，但指一个水轮机的n s 是指在限制工况（最优单位转速时的最大功率工况）的参数。

⑤有量纲，和其他计算不同（n ，r/min,p.kw,H,m ） 每个国家单位不同，而我们说是不用单位. 对泵：4
/365.3H
q n n v
s =
其他说明和泵相同，但有不同的地方。

①n s 指最高效率时泵的参数，但一般设计前不知，大多用设计工况下的代
替。

②对双吸
多级：泵每一级扬程相同，H=H 总/i
③单位：n ，r/min,p.kw,H,m 风机 4/3tF
v s p
q n n = P tF (Pa) 压缩机4
/3h
q n n v
s =
单位 h(m 2/s 2)
由于以上判别数n s 有量纲，主要原因是原型和模型相同的ρ及g 被免除。

为了应用方便，引入型式数k
4
/34
/34
/34
/3)
()(
)
(gh p p q gh q h
q k tF
v
v
v
ρωρ
ωωω=
==
=
二、比转数与过流部件几何形状及性能的关系
用比转数表示一系列相似的流体机械的综合特性，因此n s 和过流部件的形状与性能相关，又由于过流部件的形状与性能相关，故 n s 与性能有关。

工作常用高、中比转数对机器的几何形状、效率特性曲线的形状及应用范围进行分类。

（一）n s 和过流部件性状的关系 P 代表高压边, S 代表低压边 水轮机: D p =D 1, D S =D 2 泵，风机，压缩机 D S =D 1 D p =D 2, 对流体机械:
p
s p s D D
u u = 应用欧拉方程:p us p up u c u c h -=, 假定 C us =0 又因为：p m p p up ctg c u c β-=
p
p v
mp b D q c π=
① 在低压边速度三角形中，有：
s s ms tg u c β= ② 同时，由于s s s s v tg u b D q βπ= ③ 将①②③代入p m p p up ctg c u c β-=中得：
p
p p
s s s s p up b D tg u b D u c πββπcot -
= ④
将④代入欧拉方程得：
])(1[22p s p s p s p tg tg b b D D u h ββ-= ⑤ 此中用了p s p s D D u u = 即p p
s s u D D
u = 将：4
/3h
q n n v s =
及s s s s v tg u b D q βπ=代入上式⑤得：
4
/3222
/1]})(1[{)(p s p s p s p
s s s s tg tg b b D D u tg u D n n βββπ-=
若s s p p b D b D =得：
4
/32
/1]
1[][60p s p s s p
p p s s tg tg D D tg D b D D n ββπβ-=
从上式可得; 1） 对于水轮机
1
2D D D D s =
，当 12D D
增大，n s 增大，这样n s 增大，流道短，n s 减小，流道长。

显然n s 减小，h 增大，即叶轮做功能力强。

对泵，风机 ：
p
s
D D D D =
21，12D D 增大，n s 增大，这样n s 增大，流道短，n s 减小，流道长，同样n s 减小，h 增大。

2） 对水轮机：高压边高（宽）比直径：
1
D b D b p
p =
，当10D b 增大，n s 增大，因此
n s 大，流道宽（b 0大）；n s 小，流道窄。

对于泵：
2
2
D b D b p
p =
，22D b 增大，n s
增大；因此n s 大，流道宽；n s 小，流道窄。

随n s 大，b 0大（水轮机），流量大，低压边Cs 大，水流进入水轮机尾管动能大，故要求尾水管恢复系数高，故：高比转数水轮，尾水管损失大。

3） p β大，n s 小，即：p β随n s 减小增大。

对流体机械，s β一般确定，故低比转
数叶片扭得小，高比转数扭得大。

4） 对水轮机，n s 减小，
1
2
D D 减小，10D b 减小，故流道窄长，低压边可压缩倒流道
的径向部位，每条流线的s β接近相等，叶片呈圆柱形，随n s 增大，
1
2
D D 增大，1
D b 增大，即转轮的出口直径大，这时流道变短。

为保证流道长度，低压边向尾水管方向延伸，低压边上各条流线直径相差大，液流角不等，叶片扭曲。

当n s 再高，为避免流线长相差太大，叶片高压边做成斜的，当n s 再高，即1
2
D D 增大到1时，就变成轴流式。

对工作机： n s 减小，2
221D b
D D 减小，减小，流道窄长，当n s 增大，减小21D D ，2
2D b
增大，当n s 大到一定程度
12
1
=D D ，变成轴流式。

l 是叶轮流道长，d 断面水力半径 l/d 代表流道长、宽比。

n s 增大，流道短，损失小。

而c 2/2g 代表速度，n s 增大, 尾水管c 大；叶轮内n s 增大 ，
ω增大，故总的f h ∆是n s 的函数，有极小值。

(二) n s 和损失及效率关系 1. 水力效率和n s 关系
磨擦：g
c d l h f 22
λ=∆
水力
冲击：)(v v j q q h -∆α设计
2. 冲击损失出现在非设计工况下，不同n s 的机器对偏离工况的敏感程度不同。

n s 增大，流道短，进出口半径相差大，变工况时，各流线工况不同，从而产生二次流。

引起损失，对水轮机尾水管，n s 增大，叶轮出口动能占水头比例高，故偏离时下降多。

（当然转浆式好
一些）
3. 机械效率和n s 关系：
f p ∆ 和n s 无关
m p ∆
d p ∆ d p ∆正比与3
5
n D ，显然n s 减小，D 增大，b 减小，损失多，故n s 小的 d p ∆大。

总之，n s 减小，m η减小。

综之：η和s n 的关系曲线是一条有极大值的曲线，对泵s n =200时，η最高。

（看图3-9）
（三）不同比转数流体机械的使用范围：
s n 减小,h 增大,v q 减小, s n 增大, h 减小, v q 增大
在相同的h 和v q 下，若n 高，s n 高，这使得机器尺寸小，制造成本小，水轮机（泵）建设成本小。

有很大的经济效益，但也有制约。

1）强度、刚度
2）马赫数限制： n 增大使Ma 增大,当Ma=Macr 时, 机器性能下降，当Ma=Mamax ，机器不能正常工作，但当Ma>Mamax ，又能用，即有超音速机器，这方面已有较多成果。

是研究热点。

空化限制:后面讲。