空间向量练习及答案解析
&
空间向量练习
一、选择题(共15小题，每小题分,共60分)
1.已知平面α的一个法向量是(2，－1,1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的
是( )
A． (4,2，－2) B． (2,0,4) C． (2，－1，－5) D． (4，－2,2)
2.如图，过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA⊥平面AC，若EA＝1，
则平面ADE与平面BCE所成的二面角的大小是( )
A．120° B．45° C．150° D．60°
3.已知＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，
则当·取得最小值时，点Q的坐标为( )
A． B． C． D．
》
4.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：
①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD所成的角为60°；④AB与CD所成的角为
60°.其中错误的结论是( )
A．① B．② C．③ D．④
5.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点
E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1的夹角是( )
A．45° B．60° C．90° D．120°
6.已知在空间四面体O－ABC中，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC中点，设
＝a，＝b，＝c，则等于( )
A．a＋b－ c B．－a＋b＋ c C．a－b＋ c D．a＋b－c
7.已知在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DC的中点，建立如图所示的空间
直角坐标系，则AB 1与D 1E 所成角的余弦值为( )
/
A ．
B ．
C ． －
D ． －
8.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是棱CC 1，BC ，A 1B 1上的点，若∠B 1MN ＝90°，则∠PMN 的大小( )
A ． 等于90°
B ． 小于90°
C ． 大于90°
D ． 不确定
9.如图，S 是正三角形ABC 所在平面外一点，M ，N 分别是AB 和SC 的中点，SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝90°，则异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为( ) A ． －
B ．
C ． －
D ．
10.已知平面α内两向量a ＝(1,1,1)，b ＝(0,2，－1)且c ＝ma ＋nb ＋(4，－4,1)．若c 为平面α的法向量，则m ，n 的值分别为( )
A ． －1,2
B ． 1，－2
C ． 1,2
D ． －1，－2
11.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，侧棱AA 1＝2，D ，E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G ，则A 1B 与平面ABD 所成角的正弦值为( )
|
A ．√23
B ．√73
C ．√32
D ．√
37
12.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，2AC ＝AA 1＝BC ＝2，若二面角B 1－DC －C 1的大小为60°，则AD 的长为( )
A ．√2
B ．√3
C ． 2
D ．√2
2
13.三棱锥A －BCD 中，平面ABD 与平面BCD 的法向量分别为n 1，n 2，若〈n 1，n 2〉＝π
3，则二面角A －BD －C 的大小为( ) A ．π
3 B ．
2π
3 C ．π3或2π3
D ．π3或－π3 14.已知AA
????????? ＝(1,5，－2)，AA ????????? ＝ (3,1，z )，若AA ????????? ⊥AA ????????? ，AA ????????? ＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥
平面ABC ，则AA ????????? 等于( ) A ．(407,
157,?3) B ．(337,157,?3) C ．(?407,?157,?3) D ．(337,?157
,?3) 15.如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M ，P ，Q 分别为棱AB ，CD ，BC 的中点，平行六面体的各棱长均相等．给出下列结论：①A 1M ∥D 1P ；②A 1M ∥B 1Q ；③A 1M ∥平面DCC 1D 1；④A 1M ∥平面D 1PQB 1.这四个结论中正确的个数为( )
{
A ． 1
B ． 2
C ． 3
D ． 4 二、填空题(共6小题，每小题分,共24分)
16.如图所示，已知正四面体A-BCD 中，AE ＝AB ，CF ＝CD ，则直线DE 和BF 所成角的余弦值为________．
17.已知a ＝(3，－2，－3)，b ＝(－1，x －1,1)，且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是________．
18.如图，平面PAD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，∠PAD ＝90°，且PA ＝AD ＝2，E ，F 分别是线段PA ，CD 的中点，则异面直线EF 与BD 所成角的余弦值为________．
19.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则点B 1到平面
ABC 1的距离为________．
20.如下图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB 的中点，cos 〈AA ????????? ，AA ????????? 〉＝√33，若以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为________．
21.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AA
????????? ＝(2，－1，－4)，AA ????????? ＝(4,2,0)，AA
????????? ＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AA ????????? 是平面ABCD 的法向量；④AA
????????? ∥AA ????????? .其中正确的是____________． -
三、解答题(共6小题，每小题分,共66分) 22.如图所示，已知四棱锥P －ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，∠DAB ＝90°，PA ⊥底面ABCD ，
AB＝1，M是PB的中点．
且PA＝AD＝DC＝1
2
(1)证明：面PAD⊥面PCD；(2)求AC与PB所成角的余弦值；
(3)求面AMC与面BMC所成二面角的余弦值．
"
23.如下图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA
＝90°，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC.
(1)求证：BC⊥平面PAC；
(2)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；
(3)是否存在点E，使得二面角A－DE－P为直二面角并说明理由．
;
24.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F是棱BC，CD的中点，求：(1)直线DF与
B1F所成角的余弦值；(2)二面角C1－EF－A的余弦值．
~
25.如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，侧棱SB⊥平面ABCD，且SB＝AB＝AD＝1，BC＝2.
(1)求SA与CD所成的角；(2)求平面SCD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值．
…
26.如下图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA 1的中点．
(1)证明B1C1⊥CE；(2)求二面角B1－CE－C1的正弦值．
,
&
27.如下图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，E为BC的中点，F为CC1的中点．(1)求EF与平面ABCD所成的角的余弦值；(2)求二面角F－DE－C的余弦值．
(
空间向量练习答案解析
1.【答案】D
【解析】∵α∥β，∴β的法向量与α的法向量平行，又∵(4，－2,2)＝2(2，－1,1)，故选D.
2.【答案】B
【解析】以A为坐标原点，分别以AB，AD，AE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
则E(0,0,1)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，
￥
＝(1,0，－1)，＝(1,1，－1)．
设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
可取n＝(1,0,1)．又平面EAD的法向量为＝(1,0,0)，所以cos〈n，〉＝＝，
故平面ADE与平面BCE所成的二面角为45°.
3.【答案】C【解析】设Q(x，y，z)，因Q在上，故有∥，
设＝λ(λ∈R)，可得x＝λ，y＝λ，z＝2λ，
则Q(λ，λ，2λ)，＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，
、
＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以·＝6λ2－16λ＋10＝62－，
故当λ＝时，·取最小值，此时Q.
4.【答案】C
【解析】如图所示，取BD的中点O，以点O为坐标原点，OD，OA，OC所在直线分别为x轴，y 轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，设正方形ABCD边长为，则D(1,0,0)，
B(－1,0,0)，C(0,0,1)，A(0,1,0)，所以＝(0，－1,1)，＝(2,0,0)，·＝0，
故AC⊥BD.①正确．
又||＝，||＝，||＝，所以△ACD为等边三角形．②正
确．
对于③，为面BCD的一个法向量，
?
cos〈，〉＝＝＝＝－.
所以AB与OA所在直线所成的角为45°，
所以AB与平面BCD所成角为45°.故③错误．
又cos〈，〉＝＝＝－.
因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以AB与CD所成角为60°.故④正确．
5.【答案】B
【解析】不妨设AB＝BC＝AA1＝1，
则＝－＝(－)，＝＋，∴||＝|－|＝，||＝，—
·＝(－)·(＋)＝，∴cos〈，〉＝＝＝，
∴〈，〉＝60°，即异面直线EF与BC1的夹角是60°.
6.【答案】B
【解析】＝－＝(＋)－＝b＋c－a.
7.【答案】A
【解析】∵A(2,2,0)，B1(2,0,2)，E(0,1,0)，D1(0,2,2)，
∴＝(0，－2,2)，＝(0,1,2)，∴||＝2，||＝，·＝0－2＋4＝2，∴cos〈，〉＝＝＝，又异面直线所成角的范围是，
|
∴AB1与ED1所成角的余弦值为.
8.【答案】A
【解析】A1B1⊥平面BCC1B1，故A1B1⊥MN，
·＝(＋)·＝·＋·＝0，∴MP⊥MN，即∠PMN＝90°.
9.【答案】B
【解析】不妨设SA＝SB＝SC＝1，以S为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z 轴，建立空间直角坐标系Sxyz，则相关各点坐标为A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，S(0,0,0)，
M，N.
因为＝，＝，
&
所以||＝，||＝，·＝－，
cos〈，〉＝＝－，
因为异面直线所成的角为锐角或直角，
所以异面直线SM与BN所成角的余弦值为.
10.【答案】A
【解析】c＝ma＋nb＋(4，－4,1)＝(m，m，m)＋(0,2n，－n)＋(4，－4,1)＝(m＋4，m＋2n－4，m－n＋1)，
由c为平面α的法向量，得即解得
11.【答案】A
·
【解析】∵侧棱与底面垂直，∠ACB ＝90°，所以分别以CA ，CB ，CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图空间直角坐标系，
设CA ＝CB ＝a ，则A (a,0,0)，B (0，a,0)，A 1(a,0,2)，D (0,0,1)， ∴E (A 2,
A 2,1)，G (A 3,A 3,1
3)，AA ????????? ＝(A 6,A 6,23
)，AA ????????? ＝(0，－a,1)， ∵点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G ，
∴AA ????????? ⊥平面ABD ，∴AA ????????? ·AA ????????? ＝0，解得a ＝2，∴AA ????????? ＝(13,13,23)，AA 1??????????? ＝(2，－2,2)， ∵AA
????????? ⊥平面ABD ，∴AA ????????? 为平面ABD 的一个法向量， 又cos 〈AA ????????? ，AA 1??????????? 〉＝AA ????????? ·AA 1
??????????? |AA ????????? ||AA 1
??????????? |
＝4
3√63
×＝√2
3，∴A 1B 与平面ABD 所成角的正弦值为√23
，故选A.
12.【答案】A
，
【解析】如下图，以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在的直线分别为x 轴，y 轴，
z 轴建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (1,0,0)，B 1(0,2,2)，C 1(0,0,2)
设AD ＝a ，则D 点坐标为(1,0，a )，AA ????????? ＝(1,0，a )，AA 1??????????? ＝(0,2,2)，设平面
B 1CD 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，
则{
A ·AA 1??????????? =0,A ·AA ????????? =0
?{2A +2A =0,
A +AA =0,令z ＝－1， 得m ＝(a,1，－1)，又平面C 1DC 的一个法向量为n ＝(0,1,0)，
则由
cos 60°＝A ·A |A ||A |，得√A 2+1
＝1
2，即
a ＝√2，故AD ＝√2.
13.【答案】C
【解析】如图所示，当二面角A －BD －C 为锐角时，它就等于〈n 1，n 2〉＝π
3；当二面角A －BD －C 为钝角时，它应等于π－〈n 1，n 2〉＝π－π
3＝2π3
. 14.【答案】D
]
【解析】因为AA
????????? ⊥AA ????????? ，所以AA ????????? ·AA ????????? ＝0，即1×3＋5×1＋(－2)z ＝0，所以z ＝4， 因为BP ⊥平面ABC ，所以AA
????????? ⊥AA ????????? ，且AA ????????? ⊥AA ????????? ，即1×(x －1)＋5y ＋(－2)×(－3)＝0， 且3(x －1)＋y ＋(－3)×4＝0.解得x ＝407，y ＝－15
7，于是AA ????????? ＝(337,?157
,?3). 15.【答案】C
【解析】因为A 1A ??????????? ＝A 1A ??????????? ＋AA ????????? ＝A 1A ??????????? ＋12AA ????????? ，A 1A ??????????? ＝A 1A ??????????? ＋AA ????????? ＝A 1A ??????????? ＋12AA
????????? ， 所以A 1A ??????????? ∥A 1A ??????????? ，从而A 1M ∥D 1P ，可得①③④正确． 又B 1Q 与D 1P 不平行，故②不正确．故选C. 16.【答案】
!
【解析】
＝
＋
＝
＋
，
＝
＋
＝
＋
，
所以cos 〈，〉＝＝＝＝.
17.【答案】 B
【解析】 若两向量的夹角为钝角，则a ·b ＜0，且a 与b 不共线，故3×(－1)＋(－2)×(x －1)＋(－3)×1＜0，且x ≠，解得x ＞－2，且x ≠，故选B.
18.【答案】
【解析】 以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系Axyz ，则E (0,0,1)，F (1,2,0)，B (2,0,0)，D (0,2,0)． ＝(1,2，－1)，
＝(－2,2,0)，故cos 〈，〉＝＝.
19.【答案】√21
7
*
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，
则A (√32,12,0)，B (0,1,0)，B 1(0,1,1)，C 1(0,0,1)，则A 1A ??????????? ＝(√32,1
2
,?1)，A 1A 1????????????? ＝(0,1,0)，A 1A ??????????? ＝(0,1，－1)，设平面ABC 1的一个法向量为n
＝(x ，
y,1)，
则有{A 1A ??????????? ·A =√32A +12A ?1=0,A 1A ??????????? ·A =A ?1=0.
解得n ＝(√33,1,1)，
则所求距离为|
A 1A 1????????????? ·A |A |
|＝√13
+1+1＝√
217
.
20.【答案】(1,1,1)
【解析】设PD ＝a (a ＞0)，则A (2,0,0)，B (2,2,0)，P (0,0，a )，E (1,1,A
2).∴AA
????????? ＝(0,0，a )，AA ????????? ＝(?1,1,A
2
)， ∵cos〈AA
????????? ，AA ????????? 〉＝√33
，∴A 2
2
＝a √2+A 2
4
·√33
，∴a ＝2.∴E 的坐标为(1,1,1)． 21.【答案】①②③
/
【解析】由于AA
????????? ·AA ????????? ＝－1×2＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0， AA
????????? ·AA ????????? ＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，所以①②③正确． 22.【答案】因为PA ⊥AD ，PA ⊥AB ，AD ⊥AB ，以A 为坐标原点，AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，
则各点坐标为A (0,0,0)，B (0,2,0)，C (1,1,0)，D (1,0,0)，P (0,0,1)，
M (0,1,1
2)，
(1)∵AA
????????? ＝(0,0,1)，AA ????????? ＝(0,1,0)，故AA ????????? ·AA ????????? ＝0，∴AA ????????? ⊥AA ????????? ，∴AP ⊥DC ， 又由题设知：AD ⊥DC ，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线， 由此得DC ⊥面PAD ，又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD ；
(2)∵AA
????????? ＝(1,1,0)，AA ????????? ＝(0,2，－1)， ^
∴|AA
????????? |＝√2，|AA ????????? |＝√5，AA ????????? ·AA ????????? ＝2，∴cos〈AA ????????? ，AA ????????? 〉＝√105
， 由此得AC 与PB 所成角的余弦值为√10
5
；
(3)在MC 上取一点N (x ，y ，z )，则存在λ∈R ，使AA ????????? ＝λAA ????????? ，AA ????????? ＝(1－x,1－y ，－z )，AA ????????? ＝(1,0,?1
2
)， ∴x ＝1－λ，y ＝1，z ＝1
2λ.
要使AN ⊥MC ，只需AA ????????? ·AA ????????? ＝0，即x －12z ＝0，解得λ＝45
， 可知当λ＝45时，N 点坐标为(15,1,2
5)，能使AA
????????? ·AA ????????? ＝0， 此时，AA ????????? ＝(15,1,25)，AA ????????? ＝(15,?1,25
)， 由AA
????????? ·AA ????????? ＝0，AA ????????? ·AA ????????? ＝0，得AN ⊥MC ，BN ⊥MC ， "
∴∠ANB 为所求二面角的平面角，
∵|AA ????????? |＝√305
，|AA ????????? |＝√305
，AA ????????? ·AA ????????? ＝－45，∴cos〈AA ????????? ，AA ????????? 〉＝－23
， 故所求的二面角的余弦值为－2
3.
23.【答案】以A 为原点，AA
????????? ，AA ????????? 分别为y 轴、z 轴的正方向，过A 点且垂直于平面PAB 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系Axyz ，
设PA ＝a ，由已知可得：A (0,0,0)，B (0，a ，0)，C (√3
4
A ,34
A ,0)，P (0,0，a )． (1)AA
????????? ＝(0,0，a )，AA ????????? ＝(√3
4
A ,?A
4
,0)，∴AA ????????? ·AA ????????? ＝0，∴AA ????????? ⊥AA ????????? ，∴BC ⊥AP ， 又∵∠BCA ＝90°，∴BC ⊥AC ，∴BC ⊥平面PAC . (2)∵D 为PB 的中点，DE ∥BC ，∴E 为PC 的中点，∴D (0,
A 2,A 2)，E (√38A ,38A ,A 2
)，
—
∴由(1)知，BC ⊥平面PAC ，∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E ， ∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角，
∵AA
????????? ＝(0,A 2
,A 2
)，AA ????????? ＝(√38
A ,38
A ,A 2
)，∴cos∠DAE ＝AA ????????? ·AA
????????? |AA ????????? ||AA ????????? |＝√144， ∴AD 与平面PAC 所成的角的正弦值为√24
.
(3)∵DE ∥BC ，又由(1)知BC ⊥平面PAC ，∴DE ⊥平面PAC ， 又∵AE ?平面PAC ，PE ?平面PAC ，
∴DE ⊥AE ，DE ⊥PE ，∴∠AEP 为二面角A －DE －P 的平面角． ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AC ，∴∠PAC ＝90°，
^
∴在棱PC 上存在一点E ，使得AE ⊥PC ，这时∠AEP ＝90°， 故存在点E ，使得二面角A －DE －P 是直二面角．
24.【答案】如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz ，则D (0,2,0)，E (2,1,0)，
F (1,2,0)，B 1(2,0,2)，C 1(2,2,2)，
(1)因为AA ????????? ＝(2，－1,0)，A 1A ??????????? ＝(－1,2，－2)，
所以cos 〈AA ????????? ，A 1A ??????????? 〉＝AA ????????? ·A 1A
??????????? |AA ????????? ||A 1
A ??????????? |＝43√
5＝－4√515
， 所以直线DE 与B 1F 所成角的余弦值为
4√5
15
； (2)因为A 1A ??????????? ＝(0，－1，－2)，AA ????????? ＝(－1,1,0)， 设平面C 1EF 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，
则由{A ·A 1A ??????????? =0,A ·AA ????????? =0,
可得{
?A ?2=0,
?A +A =0, 解得x ＝y ＝－2，所以n ＝(－2，－2,1)，又AA 1??????????? ＝(0,0,2)是平面AEF 的一个法向量，
所以cos 〈AA 1??????????? ，n 〉＝A ·AA
1
??????????? |A ||AA 1
???????????
|＝22×3＝13
， 观察图形，可知二面角C 1－EF －A 为钝角，所以二面角C 1－EF －A 的余弦值为－1
3. 25.【答案】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，
则B (0,0,0)，S (0,0,1)，A (1,0,0)，C (0,2,0)，D (1,1,0)，AA ????????? ＝(1,0，－1)，
AA
????????? ＝(1，－1,0)， 因为cos 〈AA ????????? ，AA ????????? 〉＝AA ????????? ·AA
????????? |AA ????????? ||AA ????????? |＝12，所以SA 与CD 所成的角为60°； (2)设平面SCD 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 又AA
????????? ＝(0,2，－1)，{A 1·AA ????????? =0,A 1·AA ????????? =0,
所以{
2A ?A =0,
A ?A =0, 令x ＝1，则n 1＝(1,1,2)，因为BC ⊥平面SA
B ，
所以平面SAB 的一个法向量为n 2＝(0,1,0)，cos 〈n 1，n 2〉＝√66
，
所以平面SCD 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值为√6
6
.
26.【答案】如下图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得
A (0,0,0)，
B (0,0,2)，
C (1,0,1)，B 1(0,2,2)，C 1(1,2,1)，E (0,1,0)．
(1)易得A 1A 1????????????? ＝(1,0，－1)，AA ????????? ＝(－1,1，－1)，于是A 1A 1????????????? ·AA ????????? ＝0，所以B 1C 1⊥CE ；
(2)A 1A ??????????? ＝(1，－2，－1)，设平面B 1CE 的法向量m ＝(x ，y ，z )，则{
A ·A 1A ??????????? =0,
A ·AA ????????? =0,
即
{
A ?2A ?A =0,
?A +A ?A =0,
消去x ，得y ＋2z ＝0，不妨令z ＝1，可得一个法向量为m ＝(－3，－2,1)， 由(1)，B 1C 1⊥CE ，又CC 1⊥B 1C 1，可得B 1C 1⊥平面CEC 1，故A 1A 1????????????? ＝(1,0，－1)为平面CEC 1的一个法向量，于是cos 〈m ，A 1A 1????????????? 〉＝
A ·A 1A 1
????????????? |A ||A 1A 1|
＝
14×2
＝－2√7
7
，从而sin 〈m ，A 1A 1
????????????? 〉＝√217，所以二面角B 1－CE －C 1的正弦值为√217
. 27.【答案】建立如下图所示的空间直角坐标系D-xyz ，
则D (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，B (2,2,0)，E (1,2,0)，F (0,2,2)， (1)AA
????????? ＝(－1,0,2)，易得平面ABCD 的一个法向量为n ＝(0,0,1)， 设AA ????????? 与n 的夹角为θ，则cos θ＝AA
????????? ·A |AA ????????? ||A |＝2
5√5，∴EF 与平面ABCD 所成的角的余弦值为
2√5
5
； (2)AA ????????? ＝(－1,0,2)，AA ????????? ＝(0,2,2)，设平面DEF 的一个法向量为m ，则m ·AA ????????? ＝0，m ·AA ????????? ＝0，
可得m ＝(2，－1,1)，∴cos〈m ，n 〉＝A ·A
|A ||A |＝√6
6
，∴二面角F －DE －C 的余弦值为√66
.