光学教程第五章傅里叶光学

提问：式中的m的取值范围反映了什么？
2020/8/13
7
光学教程第五章 变换光学与全息照相
例1：
一Ronchi（朗奇）光栅透光部分宽度为d/2，周 期为d，振幅透射率函数为：
t(x) 1 0m O d x tm h e d/r2w m 0 i, s1 , e2 , 试将其展开为傅里叶级数。
解：由题意可知待求为：
光学教程第五章 变换光学与全息照相
傅里叶函数：
光学中研究的函数g(x)通常是空间函数，因 而空间周期的倒数f0=1/d即为空间频率，
k0=2/d则为空间圆频率。
g(x)a 2 0m 1am co m0 sxk b m sim n0xk
由上式可见，周期函数g(x)可以表示为一系列频 率为原函数频率f0整数倍的简谐函数的线性组合 ，f0称为基频，其它频率f0=mf0称为谐频或倍频。
2020/8/13
4
光学教程第五章 变换光学与全息照相
傅里叶函数： m次谐频成份可写为：
a m cm o 0 x b m s k sm i0 x n A k m cm o 0 x s m k )(
Am am2 bm2
m arctan
g(x)a 20m 1Amcom s0x (km)
bm am
t(x)a 2 0m 1 a m co 2 ds m b x m si2 d nm x
2020/8/13
8
光学教程第五章 变换光学与全息照相
例1：Ronchi（朗奇）振幅透射率函数为：
1md xmd/2m 0 , 1 , 2 ,
解：ta (m x) d 2 0 0 dt(x)O co 2td m shd e x x r 1 0 w m m i0 0 se
傅里叶积分
对于非周期函数g(x)，如果它满足狄利克雷条件，并 在无穷区间（－，＋）绝对可积。可将展开为许多 简谐函数的线性组合：
g(x)m d 1 d 2 d 2g(x0)eim 0x0 kdx0eim 0xk
式中x0表示自变量的不同。
两相邻谐频成份的空间圆频率间隔为：
k(m 1)k0m0 kk02 d
§5.1 傅里叶变换
引 言：
本世纪四十年代末，将通讯理论中的一些观点
、概念和方法移植到光学中产生了傅里叶光学。
傅里叶光学以经典波动光学原理为基础，讨论
光的衍射、成像、滤波、全息术等问题，但采用
了信息论的描述和分析方法，如把光视作信息，
根据线性系统理论在空间频率域中描述和分析系
统。
1960年问世的激光器提供了相干性好、亮度高
d 1d 2d 2g(x)eim0xkdx
2020/8/13
amibm1 2d
dd2g(x)eim0xkdx 2
6
光学教程第五章 变换光学与全息照相
傅里叶级数的复数表达：
若令：C 0a 2 0,C m a m 2 im b ,C m a m 2 im b
g(x)
C eim0kx m
m
Cm1 2 am2bm21 2Am
2
bm d
d源自文库
2mx 2
t(x)sin dx
0
d
d
d 2
sin2mxdx
0
d
1
m
1cosm()m2
0
m1,3,5, m2,4,6,
2020/8/13 t(x)1 22m 1m 1sin m2d x
9
光学教程第五章 变换光学与全息照相
项数越多，则其和越接近矩形函数。
2020/8/13
10
光学教程第五章 变换光学与全息照相
g (x)a 2 0 m 1 a m co 2 dm s b x m si2 d nm x
20a 2m 0/8 /13d 2 b d 2 d 2 m g (xd )2 c d 2 d 2 o 2 g(d m x s)sd x ix 2 n d m (m d x x 0 ,1 ,2 (m , )1 ,2 ,33 , )
光学教程第五章 变换光学与全息照相
2020/8/13
0
光学教程第五章 变换光学与全息照相
研究的主要问题： 傅里叶变换； 衍射问题的傅里叶表述； 阿贝的二次成像理论和滤波。
要点： 1. 傅里叶变换和光学变换间的关系； 2. 二次成像理论中对频谱的操作。
2020/8/13
1
光学教程第五章 变换光学与全息照相
2
12
光学教程第五章 变换光学与全息照相
g (x ) a 2 0 m 1 a m 2 im b e im 0 x k a m 2 im b e im 0 x k
代入傅里叶系数的计算公式，则有：
am 2ibm1 2d 2d 2d 2g(x)com s0 (kx)dx2 di
d
d 22g(x)sinm(0kx)dx
以频率为横坐标，以各频率成份对应的振幅Am为纵 坐标的图形称为该物理现象的振幅频谱，简称频谱
。若标出频率和相位的关系，则称为相位频谱。
2020/8/13
5
光学教程第五章 变换光学与全息照相
傅里叶级数的复数表达： 考虑Eula公式：
coms0xk1 2(eim0xkeim0xk) sim n0xk2 1i(eim0xkeim0xk)
的新型光源，使傅里叶光学获得迅速的发展和应
用，成为了现代光学的一个重要分支。
2020/8/13
2
光学教程第五章 变换光学与全息照相
傅里叶函数：
设一个周期函数g(x)的周期为d ， 满足狄利克 雷条件，即在一个周期内：
（1）单值；（2）只有有限个极值点和不连续点 则，g(x)可以展开为下列三角级数，称傅里叶级数。
g(x)
lim1
2 k0
m
d2d2g(x0)eim0kx0dx0eim0kxk
1
2
d2d2g(x0)eim0kx0dx0eikxdk
若令：
G(k) g(x)eikxdx
略去系
g (x )1G (k )e ik d k xG (f)e i2 fd xf 数2
2020/8/13
2020/8/13 g(x)m 2 1 d 2 d 2g(x0)eim 0x0k dx0 eim 0x kk
11
光学教程第五章 变换光学与全息照相
傅里叶积分
对于非周期函数，可看做是周期函数中周期d趋于无穷大
的极限情况。当d，k0，此时g(x)的谐频分量的圆
频率值mk0（或空间频率mf0）已变为连续量k(或f = k/2)。