高中数学必修四 第一章 1.3 《三角函数的诱导公式》课件
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1.3《三角函数的诱导公式》课件新人教必修4
) cot
cos(
2
) siபைடு நூலகம்
tan(
2
cot(
2
) tan
公式六：
2 cos( ) sin 2 tan( ) cot 2
sin(
) cos
诱导公式总结：
口诀：奇变偶不变，符号看象限 意义：k （k Z）的三角函数值
公式四：
cos cos
sin sin
诱导公式小结
公式一、二、三、四、都叫做诱导公式．
k 2 k Z ， ， ， 概括如下：
的三角函数值，等于 的同名函数值， 前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号， 简化成“函数名不变，符号看象限”的口诀．
2、已知A、B、C是ABC的三个内角， 求证 (1)cos(2A+B+C)=-cosA A+B 3 +C (2)tan tan 4 4
1 3、已知 tan ，求值 3 sin 3 ( )cos(2 ) tan(2 ) 3 3 sin( 2 )cos( ) tan( ) tan( ) 2 2
1．3《三角函数的诱导公式》
制作人：豆猛刚
教学目标
• 1、知识目标： • （1）识记诱导公式。 • （2）理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运 用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数 式的化简和证明。 • 2、能力目标： • （1）通过诱导公式的推导，培养学生的观察力、分 析归纳能力，领会数学的归纳转化思想方法。 • （2）通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征， 使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思 维方式。 • （3）通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提 高学生分析问题和解决问题的实践能力。
cos(
2
) siபைடு நூலகம்
tan(
2
cot(
2
) tan
公式六：
2 cos( ) sin 2 tan( ) cot 2
sin(
) cos
诱导公式总结：
口诀：奇变偶不变，符号看象限 意义：k （k Z）的三角函数值
公式四：
cos cos
sin sin
诱导公式小结
公式一、二、三、四、都叫做诱导公式．
k 2 k Z ， ， ， 概括如下：
的三角函数值，等于 的同名函数值， 前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号， 简化成“函数名不变，符号看象限”的口诀．
2、已知A、B、C是ABC的三个内角， 求证 (1)cos(2A+B+C)=-cosA A+B 3 +C (2)tan tan 4 4
1 3、已知 tan ，求值 3 sin 3 ( )cos(2 ) tan(2 ) 3 3 sin( 2 )cos( ) tan( ) tan( ) 2 2
1．3《三角函数的诱导公式》
制作人：豆猛刚
教学目标
• 1、知识目标： • （1）识记诱导公式。 • （2）理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运 用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数 式的化简和证明。 • 2、能力目标： • （1）通过诱导公式的推导，培养学生的观察力、分 析归纳能力，领会数学的归纳转化思想方法。 • （2）通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征， 使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思 维方式。 • （3）通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提 高学生分析问题和解决问题的实践能力。
高中人教版数学必修4课件：第1章-1.3-第1课时-公式二、公式三和公式四-
α＋cos 2
α2－1＝m22－1.]
(2)[解] ∵cos(α－75°)＝－13＜0，且 α 为第四象限角，
∴sin(α－75°)＝－ 1－cos2α－75°
＝－
1－－132＝－2 3 2，
∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]
＝－sin(α－75°)＝2
2 3.
1．例 3(2)条件不变，求 cos(255°－α)的值．
sin2α－75°＋cos2α－75°＝1，
由csoinsαα－－7755°°＝－5，
解得sinα－75°＝－52626， 或
cosα－75°＝
26 26
sinα－75°＝5 2626，
(舍)
cosα－75°＝－
26 26 .
所以sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]
＝－sin(α－75°)＝5
(1)1 [cos－siαntπa－nα7π＋α＝cos αstainnαπ＋α＝cossαin·tαan α＝ssiinn αα＝ 1.]
(2)[解] 原式＝[－sinα＋－1c8o0s°α]·c·soisn1α80°＋α ＝sinα＋1s8in0°αccoossα180°＋α ＝－ssininααc－oscαos α＝1.
[探究问题] 1．利用诱导公式化简 sin(kπ＋α)(其中 k∈Z)时，化简结果与 k 是否有关？ 提示：有关．因为k是奇数还是偶数不确定． 当k是奇数时，即k＝2n＋1(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sin(π＋α)＝－sin α； 当k是偶数时，即k＝2n(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sin α.
明确三角函数式化简的原则和方向 1切化弦，统一名. 2用诱导公式，统一角. 3用因式分解将式子变形，化为最简.
1.3《三角函数的诱导公式》课件
1.3 三 角 函 数 的 诱 导 公 式
一、回顾
1.－ 20 是第几象限的角？
3
2.你能找出所有与－ 20 终边相同的角吗？
3
3.所有与角 终边相同的角呢？
4.终边相同的角的三角函数有什么关系呢？
公式一 sin(2k ) sin cos(2k ) ccos( ) cos
tan() tan
tan( ) tan
诱导公式的记忆口诀 ：符号看象限，纵变横不变。
五• 、例一应、利用用诱导公式求下列三角函数值：
（1） cos2250
（3）sin( 16 )
3
（2）sin 11
cos x
cos( ) r x
tan y
x
tan( ) y
r
r
x
四、归纳 公式二
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
公式三
公式四
sin() sin
sin( ) sin
3
（4） tan(2040 0 )
步骤：
任意负角的 三角函数
用三 公或 式一 任意正角的 三角函数
用 公一 式
0 ~ 2 的
三角函数 用二 公或 式四 锐角的 三角函数
例二、化简
cos(1800 ) sin( 3600 ) sin( 1800 ) cos(1800 )
例三、设 sin( ) 2cos( 2 )
证明 sin( ) 5cos(2 ) 3
3cos( ) sin( )
5
思考题:
设 f (x) a sin(x ) b cos(x )
一、回顾
1.－ 20 是第几象限的角？
3
2.你能找出所有与－ 20 终边相同的角吗？
3
3.所有与角 终边相同的角呢？
4.终边相同的角的三角函数有什么关系呢？
公式一 sin(2k ) sin cos(2k ) ccos( ) cos
tan() tan
tan( ) tan
诱导公式的记忆口诀 ：符号看象限，纵变横不变。
五• 、例一应、利用用诱导公式求下列三角函数值：
（1） cos2250
（3）sin( 16 )
3
（2）sin 11
cos x
cos( ) r x
tan y
x
tan( ) y
r
r
x
四、归纳 公式二
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
公式三
公式四
sin() sin
sin( ) sin
3
（4） tan(2040 0 )
步骤：
任意负角的 三角函数
用三 公或 式一 任意正角的 三角函数
用 公一 式
0 ~ 2 的
三角函数 用二 公或 式四 锐角的 三角函数
例二、化简
cos(1800 ) sin( 3600 ) sin( 1800 ) cos(1800 )
例三、设 sin( ) 2cos( 2 )
证明 sin( ) 5cos(2 ) 3
3cos( ) sin( )
5
思考题:
设 f (x) a sin(x ) b cos(x )
高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式课件新人教A版必修4
sin
2
cos
,
cos
2
sin .
sin
2
cos
,
cos
2
sin
.
cos180 cos
原式=
cos
sin
sin cos
1
练习 利用公式求下列三角函数值:
1 cos 420 cos60 cos 60 1 2
2 sin
7 6
sin
5 6
sin
6
1 2
3sin 1300
4
cos
79 6
cos
5 6
cos
6
3 2
练习
化简 1sin 180 cos sin 180
4 tan 324 32 __ta_n__3_5_2_8_;
化简11scio原ns式52=cs2ions•22sin•2sin •c•osco2s
;
= sin • sin • cos
cos
= sin2
化简
2 cos2
tan 360
sin .
原式=cos2 tan sin
1.思考
给定一个角α (1)终边与角α的终边关于原点对称的角 与α有什么关系?它们的三角函数之间有 什么关系?
公式二
y
P(x,y)
sin(π+α)=－sinα cos(π+α)=－cosα
π +α α
O
x
tan(π+α)=tanα
P(-x,-y)
(2)终边与角α的终边关于x轴对称的角与α 有什么关系?它们的三角函数之间有什么 关系?
y
P(-x,y)
π-α P(x,y)
高中数学三角函数的诱导公式PPT课件
谢谢聆听
02
弧度制
以弧长与半径之比作为角的度量单位，一周角等于2π弧 度。
03
角度与弧度的转换公式
1度=π/180弧度，1弧度=180/π度。
三角函数定义域与值域
正弦函数（sin）
定义域为全体实数，值域为[-1,1]。
余弦函数（cos）
定义域为全体实数，值域为[-1,1]。
正切函数（tan）
定义域为{x|x≠kπ+π/2,k∈Z}，值域为全体实数。
电磁波
三角函数在电磁学中描述电场和磁场的振动，以 及电磁波（如光波、无线电波）的传播。
工程技术中的测量和计算问题
1 2 3
角度测量
三角函数在测量学中用于计算角度、距离和高程 等问题，如使用全站仪进行地形测量。
建筑设计
在建筑设计中，三角函数用于计算建筑物的角度 、高度和间距等参数，确保建筑结构的稳定性和 安全性。
错误产生原因分析
基础知识不扎实
学生对三角函数的基本概念和性 质理解不深入，导致在记忆和使
用诱导公式时出错。
思维方式僵化
学生可能过于依赖记忆而非理解， 导致在面对灵活多变的题目时无法 灵活运用诱导公式。
训练不足
学生可能缺乏足够的练习，无法熟 练掌握诱导公式的使用方法和技巧 。
针对性纠正措施建议
A
强化基础知识
04 学生易错点剖析及纠正措施
常见错误类型总结
公式记忆错误
学生常常将三角函数的诱 导公式混淆，例如将正弦 、余弦、正切的诱导公式 记混。
角度转换错误
在解题过程中，学生可能 会将角度制与弧度制混淆 ，或者在角度加减时出错 。
符号判断错误
在使用诱导公式时，学生 可能会忽略符号的判断， 导致最终结果错误。
1.3《三角函数的诱导公式》课件
因 为s in 公 式4 s in 2 2
cos
公 式5 s in
2
sin( ) cos 2 cos( ) sin 2
诱导公式（六）
诱导公式二
sin( ) sin ， cos( ) cos ， tan( ) tan 。
诱导公式三
sin( ) sin ， cos( ) cos ， tan( ) tan 。
诱导公式四
sin( ) sin ， cos( ) cos ， tan( ) tan 。
α k 2π(k Z), α, α π 的三角函数值，等于α 的 同名函数值，前面加上 一 个把α看成锐角时原函 数 值的符号。
函数名不变，符号看象限。
诱导公式一
sin(2k ) sin ， cos(2k ) cos ， tan( 2k ) tan 。
2 2 3 3 cos( ) sin cos( ) sin 2 2 共同点：遇到 / 2 a 时候
函数名改变,函数名前面的+、-符号与前面的括号 里面角在第几象限来确定。
※记忆方法：
奇变偶不变，符号看象限．
说明：
奇偶指的是
k
2 符号指的是前面三角函数的符号(由象限决定)
-1
• 如上图我观察到的东东是如下：
• 第一：ɑ和πɑ的角的终边关于y轴对称
• 第二：所以这两个角的终边与单位圆的焦点 p＇ 和p两个点关于y轴对称
• 第三：这个两个点的横坐标互为相反数，纵坐标 相同
1.3三角函数的诱导公式(一) 课件(人教A版必修4)
知识点 2 化简三角函数式或证明三角恒等式 tan2π－αsin－2π－αcos6π－α 【例 2】 求证： ＝－tan α. cosα－πsin5π－α 思路点拨： 运用诱导公式把各三角函数都转化为 α 的三角函数值．
自学导引 1．公式一是说，2kπ＋α(k∈Z)与 α 的三角函数值______ 相等 ，即 终边相同的角的三角函数值相等， 应用公式一可以将任意角的三角 函数化为______ [0,2π) 的三角函数．
sin α；cos(π＋α)＝ － cos α ； 2．公式二：sin(π＋α)＝－ ______ ______ tan α tan(π＋α)＝______. 公式三：sin(－α)＝________ －sin α ；cos(－α)＝________ cos α ； －tan α tan(－α)＝________. sin α ；cos(π－α)＝－cos α； 公式四：sin(π－α)＝______ tan(π－α)＝ ______. － tan α
π π 解：存在 α＝4，β＝6使等式同时成立．理由如下：
π sin3π－α＝ 2cos －β， sin α＝ 2sin β， 2 由 得 3cos α＝ 2cos β， 3cos－α＝－ 2cosπ＋β， 1 2 2 2 两式平方相加得 sin α＋3cos α＝2，得到 sin α＝2，即 sin α＝ π π 2 π π π ± 2 .因为 α∈ －2，2 ，所以 α＝4或 α＝－4.将 α＝4代入 3cos α＝ 3 π π 2cos β，得 cos β＝ 2 ，由于 β∈(0，π)，所以 β＝6.将 α＝－4代入 1 sin α＝ 2sin β，得 sin β＝－2，由于 β∈(0，π)，这样的角 β 不存 π π 在．综上可知，存在 α＝4，β＝6使等式同时成立．
1.3《三角函数的诱导公式》课件(新人教A必修4)
π
2
− θ ) D. sin(
2
4 在第四象限， cos( + α ) = α在第四象限， 2 5 3π 则 sin( + α )的值是 2
牛刀小试
π
A
3 3 3 4 A. − B . C . ± D. 5 5 5 5
牛刀小试
sin 280 = m , 则 cos 10 等于
B
A : m B : −m C : 1 − m D : − 1 − m
4 10、 α + π ) = 且 sin α ⋅ cos α < 0, 求 sin( 5 2 sin(α − π ) + 3 tan( 3π − α ) 4 cos(α − 3π )
1 6.已知 sin( 7π + α ) = − ,求tan(π 已知 求 3
1 17π cos( − ) 3
+ α ) 的值 的值.
π 1 7.已知 cos α = ,且 − < α < 0 ,求 已知 且 求 3 2 sin( 2π + α ) 的值. 的值 cos( −α ) tan α tan( −α − π )
2π 3π 4π 5π 4 : cos + cos + cos + cos + cos + cosπ 6 6 6 6 6
π
π
巩固练习 1 利用公式求下列三角函数值 利用公式求下列三角函数值.
(1) cos 750
0
11π ( 2) sin( − ) 6 (4) cos( −14100 )
的值是_______. 的值是
8.已知 tan α = −3 ,求sin(π + α ) cos(π − α ) 的值 已知 的值. 求
1.3 三角函数的诱导公式 课件(共19张PPT)高中数学人教A版必修四
2k (k Z)、 、 的三角函数值，等于
的同名函数值，前面加上一个把 看成锐角时原函
数值的符号。
14
理论迁移
例1 求下列各三角函数的值：
(1)cos225
(2)sin 11
3
(3)sin(-16 )
3
(4)cos(-2040 )
15
利用诱导公式一～四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面 步骤进行：
任意负角的 用公式一 任意正角的 三角函数 或公式三 三角函数
用公式一
锐角的三角 用公式二 0～2π的角
函数
或公式四 的三角函数
这是一种化归与转化的数学思想.
16
课堂小结： 1.小结使用诱导公式化简任意角的三 角函数为锐角的步骤.
2.体会数形结合、对称、化归的思想. 3.“学会”学习的习惯.
17
作业布置：
公式二：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
10
问题4：公式中的角 仅是锐角 吗？
11
知识探究（二）
对于任意给定的一个角α，－α的终边与α的终边
有什么关系？
那么它们之间的三角函
数值有什么关系？
y
α的终边
P(x，y)
公式三：
o
Q(x，-y)
x
sin( ) sin
1
（一）回顾旧知
问题1： （1）我们是怎样利用单位圆定义任意角的三角函数？ （2） 终边相同的角的三角函数之间有什么关系？
2
温故而知新
1、任意角的三角函数的定义
sin y
y
α的终边
cos x tan y (x 0)
x
高中数学《诱导公式》课件
sin
α＝y，cos
α＝x，当x≠0时，tan
α＝
y x
.
(1)如图5.2-8(1)，作点P(x，y)关于x轴的对称点P1(x，－y)，则∠xOP1=－α.
由三角函数的定义可得
sin(－α)＝－y＝－sin α，
cos(－α)＝x＝cos α，
当x≠0时，tan(－α)＝
y x
y x
tan.
(1) 图5.2-8
2 诱导公式．
诱导公式揭示了终边具 有某种对称关系的两个角三 角函数之间的关系.
一 诱导公式
例
12
化简：
(1)
sin
3
2
；
(2)
cos
3
2
.
解
(1)
sin
3
2
sin
2
sin
2
cos
；
(2)
cos
3
2
cos
2
cos
2
sin
.
一 诱导公式
例
13
化简：cos cos
探究α与π －α之间的函数 关系，我们还可以从这两个角 的终边关于y轴对称来推导，试 试看.
一 诱导公式
为了使用方便，我们将上述探究得到的公式总结如下：
公式二 sin(－α)＝－sin α， cos(－α)＝cos α， tan(－α)＝－tan α.
公式三 sin(π＋α)＝－sin α， cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α.
利用公式五，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化.
一 诱导公式
当角α的终边不在坐标轴上时，还可以得出以下公式：
公式六
《三角函数的诱导公式》ppt课件
sin y cos x y tan x
sin( ) y cos( ) x y tan( ) x
y
α的终边
P1 (x, y)
公式三：
α
O
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
数的过程.
(3)熟练掌握三角函数的诱导公式.
作业：
P29 习题1.3 A组 2、3、4
思考：已知A、B、C是ABC的三个内角， 求证（ ： 1 ） cos(2 A B C ) cos A （2） tan( A B) tan(3 C )
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
公式一：
sin( 2k ) sin cos( 2k ) cos tan( 2k ) tan
公式三：
公式二：
cos cos tan tan
三角函数的诱导公式
1.利用单位圆表示任意角α的三角函数值 y α的终边 由定义有： ． P(x,y) sin y ． (1,0) x o cos x y tan x 2.诱导公式一 sin(α+k·360°) = sinα
cos(α+k·360°) = cosα
tan(α+k·360°) = tanα 其中 k∈Z
x A(1,0)
P3 (x,-y)
－的终边
sin( ) y cos( ) x y tan( ) x
sin y cos x y tan x
－的终边
P4 (-x, y)
y α的终边
人教版必修四1.3三角函数的诱导公式课件
探究与归纳
角 与角的三角函数关系？
y
终边关系
关于原点对称
点的关系 P(x, y)
P(x, y)
O
P(x, y)
x
三角函数 定义
sin y
cos x
tan y
x
sin( ) y
cos( ) x
tan( ) y
x
P(x, y)
三角函数 关系
(公式二）
sin( ) sin
cos( ) cos
（3）化为锐角的三角函数。 概括为：“负化正，正化小，化到锐角就终了。”
用框图表示为：
用公式一
任意角的三角函数
任意正角的三角函数
或公式三
公式一
用公式二
锐角三角函数
0~2的角的三角函数
或公式四
当堂检测
1、计算
(1) tan120 0 3
3／2 (2)sin(240 0 )
2、化简
sin( ) cos(2 sin(3 ) cos(
，
cos（-α）= cosα
符
tan（-α）= -tanα
号
看
公式（四） sin（π-α）= sinα cos（π-α）= -cosα
象 限
tan（π-α）= -tanα
这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”. 其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐 角时原角所在象限的三角函数值的符号.α看成锐角，只是公式 记忆的方便，实际上α可以是任意角.
cos( 2k ) cos
tan( 2k ) tan
(k Z)
终边相同角的同一三角函数的值相等
探要点·究所然
情境导学
高中数学人教A版必修4课件：1.3三角函数的诱导公式(一)
3
3
42 8
2.已知cos(α -75°)=- 1 ,且α 为第四象限角,求
3
sin(105°+α )的值. 【解题指南】由于105°+α =180°+(α -75°),故欲求 sin(105°+α ),需利用条件求出sin(α -75°).该三角函 数式只需用平方关系即可求得.
【解析】因为cos(α-75°)=- <1 0,且α为
(3)注意“1”的应用:1=sin2α +cos2α =tan .
4
【拓展延伸】三角函数式化简的思路以及含有kπ ±α 形式的处理方法 (1)总体思路是利用诱导公式将相应角向角α 的三角函 数转化. (2)含有kπ ±α 形式的化简时需对k分是偶数还是奇数 来确定选用的公式.
【变式训练】化简 scio n s(( 4 4 ))scio ns(2 5( ))cso in s2 2(( 3 )).
sin(2m )cos［2m 1 ］ sin［2m 1 ］cos(2m )
sin()cos( ) sin(cos) 1. sin( )cos sincos
k为奇数时,设k=2m+1(m∈Z),
原式sin［s2im n(2m 2］ c)cooss［ (2m 2m 1)］
提醒:设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决 问题的关键.
【补偿训练】1.已知 sin(－)＝1，
3
2
求cos2(α - )·sin ( 2 ＋ ) 的值.
3
3
【解析】cos2()sin(2＋ )
33
＝cos2[－(－)]sin[－(－)]
3
3
高中数学 第一章 三角函数 1.3 三角函数的诱导公式(第2课时)教学课件 新人教A版必修4
【多维探究】 (1)本例条件不变，如何求 cos56π－α的值？
(2)本例条件若变为“已知 sin23π＋α＝12”，其他不变，则 结果又如何？
(3)本例条件若不变，如何求 cos23π＋α的值？ (4)本例条件若不变，如何求 tanπ3－α的值？
解：(1)cos56π－α＝cosπ2＋π3－α＝－sinπ3－α＝－12. (2)cosπ6＋α＝cos23π＋α－π2＝cosπ2－23π＋α ＝sin23π＋α＝12.
提示：因为
tanπ2＋α
＝
csoinsπ2π2＋＋αα＝－cossinαα＝－cs1oins
α α
＝
－
1 tan
α，所以
tanπ2＋α＝－tan1
α，即它们互为负倒数．
1．对诱导公式五、六的理解 (1)公式五、六中的角 α 是任意角． (2)公式五、六可以概括如下：π2±α 的正弦(余弦)函数值， 分别等于 α 的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把 α 看成锐角 时原函数值的符号，可以简单地说成“函数名改变，符号看象 限”．
高中数学 第一章 三角函数 三角 的诱导公式（第 课时）教学课件
教 版必修
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休
睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对
哦~
1．sin 95°＋cos 175°的值为( )
A．sin 5°
B．cos 5°
C．0
D．2sin 5°
解析：sin 95°＋cos 175°＝sin(90°＋5°)＋cos(180°
证明：∵左边＝－2sin321π－－2θsin－2 θsin θ－1
＝－2sinπ＋1－π2－2sθin2－θ sin θ－1＝2sinπ2－1－θ2s－ins2inθ θ－1
高中数学《三角函数的诱导公式——诱导公式二、三、四 》课件
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数学 ·必修4
拓展提升 利用诱导公式解决给角求值问题的步骤
12
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【跟踪训练 1】 求下列各式的值： (1)sin( － 1320°)cos1110°＋ cos( － 1020°)sin750°＋ tan495°； (2)sin83πcos316π＋tan－234π.
)
A．－12 B．－2 C．2 D．12
解析 sin76π＝sinπ＋π6＝－sinπ6＝－12.故选 A.
7
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(3)cos(3π＋α)＋cos(2π＋α)＝____0____. 解析 cos(3π＋α)＋cos(2π＋α)＝cos(π＋α)＋cosα＝ －cosα＋cosα＝0.
□ (2)－α 的终边与角 α 的终边关于 2 x 轴 对称，如图 b； □ (3)π－α 的终边与角 α 的终边关于 3 y 轴 对称，如图
c.
3
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2．诱导公式
4
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1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
3 3.
16
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[ 互 动 探 究 ] 1. 若 本 例 (2) 中 的 条 件 不 变 ， 如 何 求
cosα－163π？
解
高中数学《三角函数的诱导公式》公开课优秀课件-2024鲜版
02
基础知识回顾
2024/3/28
7
三角函数定义及性质
2024/3/28
三角函数的定义
正弦、余弦、正切等函数在直角三 角形中的定义及在各象限的符号规 律。
三角函数的性质
周期性、奇偶性、单调性、最值等 性质。
8
角度制与弧度制转换
角度制与弧度制的定义
角度制以度为单位，弧度制以弧长为单位。
角度制与弧度制的转换公式
16
利用诱导公式化简问题
例题3
化简$tan(16pi + frac{pi}{4})$。
分析
利用诱导公式，将$16pi + frac{pi}{4}$表示为$4pi + frac{pi}{4}$，然后应用$tan(pi + alpha) = tan alpha$和 特殊角三角函数值求解。
解答
$tan(16pi + frac{pi}{4}) = tan(4pi + frac{pi}{4}) = tan frac{pi}{4} = 1$。 2024/3/28
18
05
学生自主练习与反馈
2024/3/28
19
基础练习题选讲
题目一
利用三角函数的诱导公式，化简 表达式 $sin(180^circ - alpha)$。
题目二
求 $cos(-alpha)$ 的表达式，并 指出其与 $cos alpha$ 的关系。
题目三
利用诱导公式，证明 $tan(360^circ - alpha) = -tan
2024/3/28
03
三角函数的求值与应用
通过实例演示如何利用诱导公式求解三角函数的值，以及三角函数在几
何、物理等领域的应用。
高中数学 1.3三角函数的诱导公式(一)课件 新人教A版必修4
第二十五页，共43页。
【解析( jiě xī)】1.选B.sin2(π-α)-cos(π+α)cos(-α)+1
=sin2α+cos2α+1=2.
2.(1)原式
cos tan tan
tan .
sin
(2)当k为偶数时，原式 sin 2 cos 4
33
sin( ) cos( )
3
3
sin cos 3 33 4
6
6
【解析】因为(yīcons(w5èi) ) cos[ ( )] cos( ) 3 ,
所以
6
6
6
3
又因为si(ny2ī(n56wèi))
1
cos2
(
5 6
)
1
(
3)2 2. 33
所以 cos( ) cos[( )] cos( ) 3 .
6
6
6
3
sin2 (5 ) cos( )
6
6
2 3 2 3. 33 3
第二十一页，共43页。
【拓展提升】解决条件求值问题的策略 (1)解决条件求值问题,首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称 及有关(yǒuguān)运算之间的差异及联系. (2)可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转 化.
第二十二页，共43页。
第二十六页，共43页。
当k为奇数( jī shù)时，s原in 式2 cos( 4)
3
3
sin( )cos(2 )
3
3
sin cos 3 . 3 34
第二十七页，共43页。
【拓展提升】三角函数式化简的常用方法
(1)依据(yījù)所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化
【解析( jiě xī)】1.选B.sin2(π-α)-cos(π+α)cos(-α)+1
=sin2α+cos2α+1=2.
2.(1)原式
cos tan tan
tan .
sin
(2)当k为偶数时，原式 sin 2 cos 4
33
sin( ) cos( )
3
3
sin cos 3 33 4
6
6
【解析】因为(yīcons(w5èi) ) cos[ ( )] cos( ) 3 ,
所以
6
6
6
3
又因为si(ny2ī(n56wèi))
1
cos2
(
5 6
)
1
(
3)2 2. 33
所以 cos( ) cos[( )] cos( ) 3 .
6
6
6
3
sin2 (5 ) cos( )
6
6
2 3 2 3. 33 3
第二十一页，共43页。
【拓展提升】解决条件求值问题的策略 (1)解决条件求值问题,首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称 及有关(yǒuguān)运算之间的差异及联系. (2)可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转 化.
第二十二页，共43页。
第二十六页，共43页。
当k为奇数( jī shù)时，s原in 式2 cos( 4)
3
3
sin( )cos(2 )
3
3
sin cos 3 . 3 34
第二十七页，共43页。
【拓展提升】三角函数式化简的常用方法
(1)依据(yījù)所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化
高中数学三角函数的诱导公式课件ppt
奇变偶不变
符号看象限
注意： 看成锐角;原函数值的符号
22
例题与练习
例3 、证明：i（ n3(21π ） αs)c o s α; ( 2 ) c3o2π s(α)s i n α.
23
例题与练习
1 求下列三角函数值
1sin12000
(1) 3
2cos47/6
2
(2) 3 2
2 求三角式sin12000·cos12900+cos10200· sin10500+tan9450 2
3 计算 cos/5+ cos2/5+
cos3/5+ cos4/5
0
24
例题与练习
练习1 已知sin/4+=1/2;则sin3/4的 值是 1/2
2 已知cos 750+=1/3; 求cos1050+cos2850
0
25
例题与练习
1 已知角的终边上的一点P3a;4a a<0 则cos5400的值是 3/5
8
r 1
公式三
siny c o s xta n y
x
sin()y
cos()x
tan()yy
xx
公式三
sin ( ) sin c o s( )c o s ta n ( ) ta n
9
探究3
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
sin() sin cos() cos tan () tan
用公式 二或四
任意正角的 三角函数
用公式一
0 ~ 2 的
三角函数
上述过程体现了由未知到已知的化归思想
14
四 例题分析
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60°＝－
3 2.
法三：sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)
＝－sin(90°＋30°)＝－cos
30°＝－
3 2.
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(2)法一：cos(－316π)＝cos316π
＝cos(4π＋7π 6 )＝cos(π＋π6 )＝－cosπ6 ＝－
Hale Waihona Puke 3 2.法二：cos(－316π)＝cos(－6π＋5π 6 )
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则cos(π2 ＋α)＝－sin α＝－ 1－cos2α
＝－ 1－（12）2＝－ 23. ②若α为第四象限角，
则cos(π2 ＋α)＝－sin α＝ 1－cos2α＝
1－（12）2＝
3 2.
返回
5．已知cos(π6 －θ)＝a(|a|≤1)．
求证：cos(56π＋θ)－sin(23π－θ)＝－2a. 证明：∵5π 6 ＋θ＝π－(π6 －θ)，2π 3 －θ＝π2 ＋(π6 －θ)．
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7．求证：tan（2πs－inα（）αs＋in3（π 2 －）2cπos－（αα）＋c3oπ 2s（）6π－α）
＝－tan α.
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证明：左边＝
tan（－α）·sin（－α）·cos（－α）
π
π
sin[2π－（ 2 －α）]·cos[2π－（ 2 －α）]
＝（－tan
α）·（－sin
π
α）·cos
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2．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数 的基本步骤是：
可以看出，这些步骤体现了把未知问题化归为已知 问题的数学思想．可以简单记为“负化正，大化小，化成 锐角再求值”．
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3．解决给值求值(条件求值)问题的常见思路：若条件简单， 结论复杂，可从化简结论入手，用上条件，进行计算；若条件复 杂，结论简单，可从化简条件入手，转化出结论的形式代入求值； 若条件、结论都比较复杂，可同时化简它们，直到找出它们间的联 系为止．无论使用哪种方法都要时刻瞄准目标，根据结果变形．
∴sin α＝－15，
又α是第三象限角，
(8分)
∴cos α＝－ 1－sin2α＝－
1－（－15）2＝－2 5 6， (10分)
∴f(α)＝－cos
α＝2
5
6 .
(12分)
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[一点通] 1．利用诱导公式，可将三角函数中的角统一，再用 同角三角函数关系式进行化简，求值，这样可避免公式交 错使用时导致的混乱． 2．证明恒等式其实就是将等号一边复杂的式子化简 转化到另一边的过程．
[思路点拨] 利用诱导公式求解．
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[精解详析] (1)法一：sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)＝ sin240°
＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－ 23. 法二：sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)
＝－sin(180°－60°)＝－sin
提示：(x，－y)，(－x，y)，(－x，－y)，(y，x)．
π 问题 6：角π＋α，π－α， 2 －α 的三角函数与角 α 的三 角函数之间的关系有规律吗？ 提示：有.
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诱导公式一～四可用口诀“函数名不变，符号看象限” 记忆，其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名， “符号”是指等号右边是正号还是负号，“看象限”是指 把α看成锐角时原三角函数值中的角的象限．
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6．化简 1＋sin2s2i6n02°80＋°c·osc8o0s04°40°的结果是________．
解析：原式＝
1＋2sin（360°－80°）·cos（360°＋80°） sin（180°＋80°）＋cos（720°＋80°）
＝
1－2sin 80°·cos 80° －sin 80°＋cos 80°
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[思路点拨] 先利用诱导公式化简f(α)，求出sin α，再 求f(α)的值．
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[精解详析]
－sin (1)f(α)＝
α·cos
α·[－sin（π2 －α）]
π
－sin（π＋α）[－sin（ 2 ＋α）]
sin－αsincoαs αcocsoαs α＝－cos α.
(6分)
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(2)∵cos(α－32π)＝－cos(π2 －α)＝－sin α，
理解教 材新知
知识点一
第 一 1.3 章
把握热 点考向
考点一 考点二 考点三
应用创 新演练
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问题1：在平面直角坐标系中，角α与α＋2kπ(k∈Z)的 终边相同，它们的三角函数值有什么关系？
提示：相等． 问题2：设单位圆与角α，－α终边的交点分别为P和 P＇，那么这两点有什么关系？它们的坐标分别是什么？ 提示：关于x轴对称． P(cos α，sin α)，P′(cos(－α)，sin(－α))．
∴cos(5π 6 ＋θ)－sin(23π－θ)
π
ππ
＝cos[π－( 6 －θ)]－sin[ 2 ＋( 6 －θ)]
＝－cos(π6 －θ)－cos(π6 －θ)＝－a－a＝－2a.
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[例3] (12分)已知 f(α)＝cos（π2 ＋sinα（）－·coπs（－2απ）－·siαn）（·3sπ2in（＋－α）α＋3π2 ） (1)化简f(α)； (2)若α是第三象限角，且cos(α－3π 2 )＝15，求f(α)的值．
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问题3：根据问题2，cos(－α)与cos α，sin(－α)与sin α 之间有什么关系？
提示：cos(－α)＝cos α，sin(－α)＝－sin α. π
问题4：角α分别与π＋α，π－α， 2 －α的终边有什么 关系？
提示：分别关于原点，y轴，直线y＝x对称．
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问题5：点P(x，y)关于x轴，y轴，坐标原点和直线y＝ x的对称点分别是什么？
1－cos2α＝－
3 2.
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②若α是第四象限角，
则sin(2π－α)＝－sin α＝
1－cos2α＝
3 2.
π
π
π
(2)∵( 3 －α)＋( 6 ＋α)＝ 2 ，
∴cos(π6 ＋α)＝cos[π2 －(π3 －α)]＝sin(π3 －α)＝12.
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[一点通] 解决条件求值问题常见思路： 分别将已知条件和所求问题(代数式等)进行化简，寻找已 知条件与所求问题之间的关系，特别是寻找到角与角之间的联 系后，可以通过已知角的三角函数值和有关的三角公式求得．
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＝
sin280°＋cos280°－2sin 80°·cos 80° －sin 80°＋cos 80°
＝
（－ssinin8800°°－＋ccooss8800°°）2＝|ccooss
80°－sin 80°－sin
80°| 80°
＝sin cos
80°－cos 80°－sin
8800° °＝－1.
答案：－1
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1．求下列各三角函数式的值．
(1)sin(－660°); (2)cos274π；
(3)2cos 660°＋sin 630°.
(4)tan376π·sin(－53π)；
解：(1)∵－660°＝－2×360°＋60°，
∴sin(－660°)＝sin
60°＝
3 2.
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(2)∵274π＝6π＋34π，∴cos274π＝cos3π 4 ＝－
返回
3．已知sin(75°＋α)＝13，则cos(15°－α)的值为(
)
A．－13
B.13
C．－2 3 2
D.2 3 2
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解析：∵(75°＋α)＋(15°－α)＝90°， ∴cos(15°－α)＝cos [90°－(75°＋α)]=sin(75°＋α)＝13. 答案：B
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4．已知cos(π＋α)＝－12，求cos(π2 ＋α)的值． 解：∵cos(π＋α)＝－cos α＝－12， ∴cos α＝12，∴α为第一或第四象限角． ①若α为第一象限角，
诱导公式五和六可用口诀“函数名改变，符号看象限” 记忆，“函数名改变”是指正弦变余弦，余弦变正弦，为了 记忆方便，我们称之为函数名变为原函数的余名三角函 数．“符号看象限”同上．
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[例1] 求下列各三角函数值： (1)sin 1 320°； (2)cos(－316π)； (3)tan(－945°)．
2 2.
(3)原式＝2cos(720°－60°)＋sin(720°－90°)
＝2cos 60°－sin 90°
＝2×12－1＝0.
返回
(4)tan376π·sin(－53π)
π
π
＝tan(6π＋ 6 )·sin(－2π＋ 3 )
＝tanπ6 ·sinπ3
33× 23＝12.
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2．求sin(2nπ＋2π 3 )cos(nπ＋43π)的值(n∈Z)． 解：①当n为奇数时，
[思路点拨] (1)首先求出cos α的值，根据其符号确
定α所在象限，然后求解．
(2)利用(π3 －α)＋(π6 ＋α)＝π2 .
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[精解详析] (1)∵cos(π＋α)＝－cos α＝－12，
∴cos α＝12， ∴α是第一或第四象限角．
①若α是第一象限角，
则sin(2π－α)＝－sin α＝－
π
α
sin[－（ 2 －α）]cos[－（ 2 －α）]
＝
sin2α
π
π
－sin（ 2 －α）cos（ 2 －α）
＝－cos
sin2α α·sin
α＝－csions
α α＝－tan
α＝右边．
∴等式成立．
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1．求值问题，给角求值问题主要是利用诱导公式将任 意角的三角函数转化为锐角的三角函数，运算时要注意公式 的合理选择；给值求值问题主要是依据所给式和被求式的特 点，发现它们之间的内在联系，特别是角之间的联系．