灵敏度分析设计

目录

第一章引言 (1)

第二章主要结论 (2)

2.1 基本概念和记号 (2)

2.2 基本定理和结论 (5)

第三章单一变化的灵敏度分析 (7)

c的灵敏度分析 (7)

3.1

j

x为非基变量 (7)

3.1.1

r

x为基变量 (7)

3.1.2

j

b的灵敏度分析 (8)

3.2 对

i

a的灵敏度分析 (9)

3.3 对

ij

a为基变量 (9)

3.3.1

ij

a为非基变量 (9)

3.3.2

ij

3.4 增加约束条件灵敏度分析 (10)

第四章全方位变化的灵敏度分析 (11)

4.1非基变量目标函数系数、约束系数向量以及约束右端项向量同时变化的灵敏度分

析 (12)

4.2基变量目标函数系数、约束系数向量以及约束右端项向量同时变化的灵敏度分析

(13)

第五章算例 (15)

5.1 单一变量的灵敏度分析算例 (15)

5.1.1 问题1的求解： (15)

5.1.2 问题2的求解： (17)

5.1.3 问题3的求解： (18)

5.1.4 问题4的求解 (19)

5.1.5 问题5的求解： (20)

第六章结论 (24)

参考文献 (25)

致谢 (26)

第一章引言

灵敏度分析是研究与分析一个系统（或模型）的状态或输出变化对系统参数或周围条件变化的敏感程度的方法.在最优化方法中经常利用灵敏度分析来研究原始数据不准确或发生变化时最优解的稳定性.通过灵敏度分析还可以决定哪些参数对系统或模型有较大的影响.因此,灵敏度分析几乎在所有的运筹学方法中以及在对各种方案进行评价时都是很重要的.

由于线性规划中所使用的数据大多是估计值和预测值.在实际中尤其是经济问题中常会遇到因市场条件或生产条件改变导致的产品价格、生产工艺或技术条件以及资源限制条件等改变.而灵敏度分析是分析模型的参数变化对求解结果的影响,它是在原最优表的基础上对变化后的规划问题进行分析求解,避免因参数改变而去从头求解,故又称最优化后分析.

本文主要介绍线性规划问题中的灵敏度分析问题,以及在灵敏度分析的基础上,对变量目标函数系数,变量约束系数向量以及约束右端项向量发生变化时,进行分析讨论.由于以往人们对灵敏度分析的讨论仅限于单个参数、单一系数或单一限制条件的变化对结果的影响,而实际中多是规划问题中各参数同时变化,如前所述因市场条件变化导致产品价格、生产工艺以及资源限制条件同时发生改变等,本文又讨论了参数同时变化的情况.

文章大体分为三个部分：第一部分总结概述了基本概念、主要理论和灵敏度分析的算法基础；第二部分讨论分析变量目标函数系数、变量约束系数向量、约束右端项向量这些单一参数发生变化时,最优解的求的方法；第三部分讨论各种参数同时发生变化时求解最优解的方法.第四部分是在上述理论基础上以投入产出问题进一步说明.

第二章 主要结论

2.1 基本概念和记号

● 线性规划问题

求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题.

线性规划问题的标准型为：

11221111221121122222121122

max ..(,, 0

0(1,2,....,)n n

n n n n m m m mn n m

j z c x c x c x a x a x a x b a x a x a x b s t b b b a x a x a x b

x j n =++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=⎧⎪++⋅⋅⋅+=⎪⎪

⋅⋅⋅≥⎨⎪++⋅⋅⋅+=⎪≥=⎪⎩

（2.1.1） 这里,max 表示求最大值,s.t.表示受约束于,X 是目标函数, j x 是决策变量.通常假定ij a ,i b 和j c 都是已知常数.

为讨论方便,将线性规划问题的标准型以矩阵形式给出:

max ..0

z cx AX b s t X ==⎧⎨

≥⎩

（2.1.2）

● 基

若系数矩阵A 的秩为m ,称A 的任一m n ⨯非奇异子矩阵()12,,...,j j jm B P P P =为线性规划问题（LP ）的一个基. ● 基变量、非基变量

当确定()12,,...,j j jm B P P P =为（LP ）的一个基,12,,...,j j jm P P P 称为基向量,A 中的其余向量称为非基向量；与基向量对应的变量12,,...,j j jm x x x 称为基向量,其余的变量称为非基变量.

● 解

若B 是（LP ）的一个基,令所有非基变量等于0得到的解10B N X B b X X -⎛⎫

⎛⎫==

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭称为对应于基B 的基本解；若满足1

0B b -≥,这时100B b X -⎛⎫

=≥ ⎪⎝⎭

称为对应于基B 的

一个基可行解；称B 为（LP ）的一个可行基.使目标函数达到最大值的基可行解称为基最优解. ● 单纯形变换

对于线性规划问题

max ..0

z cx AX b s t X ==⎧⎨

≥⎩ 将矩阵A,C,X 分别按“基”和“非基”分成2块,即有

()A B

N =,()B N C C C =,B N X X X ⎛⎫= ⎪⎝⎭

,其中：()12,,...,m B P P P =；

()

12,,...,m m n N P P P ++=；

()

12,,...,B m C c c c =；

()

12,,...,N m m n C c c c ++=；

()12,,...,T

B m X x x c =；()12,,...,T

N m m n X x x c ++=.

由此可建立单纯形初表：

表1 单纯形初表

用单纯形法对上初表做单纯形变换,变换后得到单纯形终表：

表2 单纯形终表