北京科技大学线性代数试卷三答案
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线性代数试题 3 答案
一、单项选择题（本题共 15 分，每小题 3 分）
1. D; 2. C; 3. A ; 4. A ; 5. D
二、填空题（本题共 15 分，每小空 3 分） 1. 0 ; 2. 0 ; 3. 0 ; 4. − 2 < t < 2 ； 5. 24
三. (9 分)
x4
四. (10 分)
七. (15 分)
⎛2
⎜ ⎜
5
−2 35
1⎞
3
⎟ ⎟
取正交矩阵：
P
=
(η1,η2
,η3
)
=
⎜ ⎜
⎜
1 5
4 35
−
2 3
⎟ ⎟ ⎟
⎜ ⎜⎝
0
5 35
2⎟ 3 ⎟⎠
正交变换 x = Py
标准形：
f
( x1 ,
x2 ,
x3 )
=
9
y2 3
八. (5 分)
解： 只需寻求 x1, x2 , , xn 不全为零时， x1 + a1x2 , x2 + a2 x3 ,
+
bα a +1 3
+ 0α4
六. (12 分)
更多资料请关注第微1信页号：共北3科页学生讲师团
解：
通解为
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
x1 x2 x3
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
=
k
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
−1⎞
2
⎟ ⎟
1⎟
⎟
+
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
3 −8 0
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
，其中
k
为任意常数。
⎝ x4 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 6 ⎠
为零的条件 转化为：下面齐次线性方程组只有零解的条件
⎧ x1 + a1x2 = 0
⎪ ⎪⎪
x2 + a2 x3 = 0
⎨
⎪ ⎪
xn
−1
+
a x n−1 n
=
0
⎪⎩ xn + an x1 = 0
, xn−1 + an−1xn , xn + an x1 也不全
1 a1 0 0
0 1 a2 0
0 因为系数行列式 D =
⎛ 1 −1 1 ⎞−1 ⎛ 1 1 0 ⎞
X
=
1 2
⎜ ⎜⎜⎝
1 −1
1 1
−11⎟⎟⎟⎠
=
1 4
⎜ ⎜⎜⎝
0 1
1 0
1 1
⎟ ⎟⎟⎠
五. (14 分)
解：(1)
⎛1 1 1 1 1 ⎞ ⎛1 1 1 1 1⎞
(α1
,
α
2
,
α
3
,α
4
,
β
)
=
⎜ ⎜ ⎜
0 2
1 3
−1 a+2
2 4
b
1 +
⎟ ⎟ 3⎟
时，二次型 f (x1, x2 , , xn ) > 0 ，即为二次型正定。 证明：
设 A = (α1,α2 , ,αn )
∵
⎛ ⎜ ⎜
α α
Tα
11
Tα
21
⎜
⎜⎜⎝
α
Tα
n1
α Tα 12
α Tα 22
α Tα n2
( α Tα 1
α Tα 2
n n
⎞ ⎟ ⎟ ⎟
=
⎛ ⎜ ⎜ ⎜
αT 1
αT 2
⎞ ⎟ ⎟ ⎟
→
⎜ ⎜ ⎜
0 0
1 0
−1 a +1
2 0
1
⎟ ⎟
b⎟
⎜ ⎝
3
5⎟ ⎠
⎜ ⎝
0
0
0
a +1
0
⎟ ⎠
所以当
a
=
−1,
b
≠
0
时，
β
不能表示成
α 1
,
α 2
,
α3,
α 4
的线性组合。
（2）
当
a
≠
−1 时，
β
可由
α 1
,
α 2
,
α3,
α 4
唯一线性表示
β
=
−
2b α a +1 1
+
a
+ b +1α a +1 2
α 1
,
α
2
,
,
α Tα n
n
⎟⎟⎠
⎜⎜⎝
α
T n
⎟⎟⎠
α n
)
=
AT
A
∴ D = AT A = AT A = A 2 ∴ D ≠ 0 ⇔ A ≠ 0
所以
α 1
,
α
2
,
,αn 线性无关的充分必要条件是 A ≠ 0 ⇔ D ≠ 0 。
更多资料请关注第微3信页号：共北3科页学生讲师团
0
1
a3
0
0
0 0
= 1+ (−1)n+1 a1a2
a a n−1 n
0 0 0 0 1 an−1 an 0 0 0 0 1
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所以当 a1a2 a a n−1 n ≠ (−1)n 时，齐次线性方程组只有零解。所以当 x1, x2 , , xn 不全为零
一、单项选择题（本题共 15 分，每小题 3 分）
1. D; 2. C; 3. A ; 4. A ; 5. D
二、填空题（本题共 15 分，每小空 3 分） 1. 0 ; 2. 0 ; 3. 0 ; 4. − 2 < t < 2 ； 5. 24
三. (9 分)
x4
四. (10 分)
七. (15 分)
⎛2
⎜ ⎜
5
−2 35
1⎞
3
⎟ ⎟
取正交矩阵：
P
=
(η1,η2
,η3
)
=
⎜ ⎜
⎜
1 5
4 35
−
2 3
⎟ ⎟ ⎟
⎜ ⎜⎝
0
5 35
2⎟ 3 ⎟⎠
正交变换 x = Py
标准形：
f
( x1 ,
x2 ,
x3 )
=
9
y2 3
八. (5 分)
解： 只需寻求 x1, x2 , , xn 不全为零时， x1 + a1x2 , x2 + a2 x3 ,
+
bα a +1 3
+ 0α4
六. (12 分)
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解：
通解为
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
x1 x2 x3
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
=
k
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
−1⎞
2
⎟ ⎟
1⎟
⎟
+
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
3 −8 0
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
，其中
k
为任意常数。
⎝ x4 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 6 ⎠
为零的条件 转化为：下面齐次线性方程组只有零解的条件
⎧ x1 + a1x2 = 0
⎪ ⎪⎪
x2 + a2 x3 = 0
⎨
⎪ ⎪
xn
−1
+
a x n−1 n
=
0
⎪⎩ xn + an x1 = 0
, xn−1 + an−1xn , xn + an x1 也不全
1 a1 0 0
0 1 a2 0
0 因为系数行列式 D =
⎛ 1 −1 1 ⎞−1 ⎛ 1 1 0 ⎞
X
=
1 2
⎜ ⎜⎜⎝
1 −1
1 1
−11⎟⎟⎟⎠
=
1 4
⎜ ⎜⎜⎝
0 1
1 0
1 1
⎟ ⎟⎟⎠
五. (14 分)
解：(1)
⎛1 1 1 1 1 ⎞ ⎛1 1 1 1 1⎞
(α1
,
α
2
,
α
3
,α
4
,
β
)
=
⎜ ⎜ ⎜
0 2
1 3
−1 a+2
2 4
b
1 +
⎟ ⎟ 3⎟
时，二次型 f (x1, x2 , , xn ) > 0 ，即为二次型正定。 证明：
设 A = (α1,α2 , ,αn )
∵
⎛ ⎜ ⎜
α α
Tα
11
Tα
21
⎜
⎜⎜⎝
α
Tα
n1
α Tα 12
α Tα 22
α Tα n2
( α Tα 1
α Tα 2
n n
⎞ ⎟ ⎟ ⎟
=
⎛ ⎜ ⎜ ⎜
αT 1
αT 2
⎞ ⎟ ⎟ ⎟
→
⎜ ⎜ ⎜
0 0
1 0
−1 a +1
2 0
1
⎟ ⎟
b⎟
⎜ ⎝
3
5⎟ ⎠
⎜ ⎝
0
0
0
a +1
0
⎟ ⎠
所以当
a
=
−1,
b
≠
0
时，
β
不能表示成
α 1
,
α 2
,
α3,
α 4
的线性组合。
（2）
当
a
≠
−1 时，
β
可由
α 1
,
α 2
,
α3,
α 4
唯一线性表示
β
=
−
2b α a +1 1
+
a
+ b +1α a +1 2
α 1
,
α
2
,
,
α Tα n
n
⎟⎟⎠
⎜⎜⎝
α
T n
⎟⎟⎠
α n
)
=
AT
A
∴ D = AT A = AT A = A 2 ∴ D ≠ 0 ⇔ A ≠ 0
所以
α 1
,
α
2
,
,αn 线性无关的充分必要条件是 A ≠ 0 ⇔ D ≠ 0 。
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0
1
a3
0
0
0 0
= 1+ (−1)n+1 a1a2
a a n−1 n
0 0 0 0 1 an−1 an 0 0 0 0 1
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所以当 a1a2 a a n−1 n ≠ (−1)n 时，齐次线性方程组只有零解。所以当 x1, x2 , , xn 不全为零