矩阵论简明教程(整理全)PPT课件

n 1
1
2
x n1 n
§1.3 矩阵的秩
一、 矩阵秩的定义及基本性质 1、秩的定义
1 r a n k A r
A 的 行 向 量 组 的 极 大 线 性 无 关 组 中 向 量 的 个 数
2 r a n k A r
A 的 列 向 量 组 的 极 大 线 性 无 关 组 中 向 量 的 个 数
a2, j1 a3, j1
a a n, j1 n, j1
a2n
a3n
ann
2 、 A d e tA
( 1 ) j1 j2
aa jn 1 j12 j2
a n jn
j1 j2 jn
二、块矩阵的行列式
1、 设 ACmm,BCmn,CCnm,DCnn,则
1A
0A
BA
0 AD
0 D 0 D CD
A2r
B2r
,
Asr
Bsr
2、数乘
A11 A12 设 AA21 A22
As1 As2
3、乘法 A11 A12
设AA21 A22 As1 As2
A1r
A11 A12
A2r， 则 AA21 A22
Asr
As1 As2
A1r A2r
Asr
A1t
B11 B12
A2t ,BB21 B22
Ast
Bt1 Bt2
B1r
B2r
Btr
C11 C12 则ABC21 C22
Cs1 Cs2
C1r
C2r
, 其中Cij
t
k1
AikBkj
Csr
i 1,2, ,s; j 1,2, ,r
4、转置与共轭转置
A11 A12 设AA21 A22
As1 As2
A1r A2r,则AT
A A11T T21
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总体概述
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矩阵论
教材：矩阵论简明教程（第二版）
徐仲，张凯院，陆全，冷国伟编著 科学出版社
第一章 矩阵的基础知识
§1.1 矩阵的运算 §1.2 方阵的行列式 §1.3 矩阵的秩 §1.4 特殊矩阵类
A2T1 A2T2
Asr
A1Tr A2Tr
A AsT sT12
AsTr
AH
A1H1 A1H2
A2H1 A2H2
A1Hr A2Hr
AsH1 AsH2
AsHr
§1.2 方阵的行列式
一、行列式的定义与性质
a11 a12
a1n
1、 A det A a21 a22
a2n
an1 an2
ann
a 1 1 ( 1 ) 1 1 M 1 1 a 1 2 ( 1 ) 1 2 M 1 2 ... a 1 n ( 1 ) 1 n M 1 n
n
n
a1j(1)1j M 1j a1jA 1j
j1
j1
(1)
a21
其中M1j
a31
an1
( j 1,2, ,n)
a2, j1 a3, j1
3rankAr
A的 最 高 阶 非 零 子 式 的 阶 数
2 3 8
例如 rank12
12 3
12 2,
因为 2 2
3 0, 但 12
2 3 8
2AB 1m nCD 1m nBA
CD
AB
DC
3A Bm A B
C D CD
3 EA
C
EB E D 0
0A InC
B D
E
0
0A In C
B D
AB E
CD
A C
BF DF
CA
BIm D 0
0 F
A
C
B Im D0
0 F
AB F
CD
4 A
CEA
B DEB
Im
E
0A B In C D
Im
0 A B A B A BAF
am n
三、 矩阵的块运算 1、加法，减法
A11 A12 设AA21 A22
As1 As2
A1r B11 A2r ,BB21
Asr
Bs1
A11B11 则, ABA21B21
As1Bs1
A12 B12 A22 B22
As2 Bs2
B12
B1r
B22
B2r
Bs2
Bsr
A1r B1r
二、 矩阵的运算
1、加法，减法
若A aij
,B
mn
bij
,则
mn
AB aij bij mn
2、数乘
若 A a i jm n , C ,则 A a i jm n
3、乘法
若 Aaij m r,Bbij rn,则
r
A Bcij m n,其 中 cijai1b1jai2b2j airbrj aikbkj k 1
证明A
B ADCB
CD
证：
C AD BA 0 D C B A 1BAD C A 1B
A D C A 1 B A D A C A 1 B A D C A A 1 B
ADCB
Example 3
设 ACmn,BCnm,
证 明n ImABmInBA
证：
左边=n
ImAB
ImAB
0
A
In
Im B
A Im
In B
0
In
Im B
A Im
In B
0 In
右边=m
In
BAIm
0
A
InBA
Im B
0Im InB
A
In
Im B
0 Im In B
A
In
左边
三、Vandermond 行列式
11
x1 x2
Dn
x
2 1
x
2 2
1
x n
x
2 n
(xj xi)
1i jn
x x n 1
4、转置与共轭转置
a11 a12 设Aa21 a22
am1 am2
aij mn
a1n
a11 a21
a2n
，则AT
a12
a22
amn
a1n a2n
= aji nm
am1
am2
amn
a11 a21 AHa12 a22
a1n a2n
am 1
am2aij mn,其 中 aij是 复 数 aij的 共 轭 .
§1.1 矩阵的运算
一、 矩阵的概念 1、数集 R—实数集，C—复数集
2、矩阵的记号
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
aij
mn
amn
Notations
1 所 有 m n 实 矩 阵 集 合 记 为 R m n ; 2 所 有 m n 复 矩 阵 集 合 记 为 C m n ; 3 所 有 n 维 实 列 向 量 集 合 记 为 R n ; 4 所 有 n 维 复 列 向 量 集 合 记 为 C n ;
E ，值不变；某列右乘 一个矩阵加到另一列，值不变。
Example 1
设 A ,B C n n,证 明 ABA BA B BA
证：
A B A B AB B
B A BA AB 0 AB
AB AB
Example 2
设A,B,C,DCnn,且A可逆，ACCA,