分类讨论法
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九、分类讨论思想方法
在解答某些数学问题时，有时会有多种情况，对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合求解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，也是一种数学思想。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。
分类原则：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复、分层次，不越级讨论。
分类方法：明确讨论对象，确定对象的全体 → 确定分类标准，正确进行分类 → 逐步进行讨论，获取阶段性结果 → 归纳小结，综合得出结论。
Ⅰ、再现性题组：
1. 集合A ＝{x||x|≤4,x ∈R}，B ＝{x||x －3|≤a ，x ∈R}，若A ⊇B ，那么a 的范围是_____。 A. 0≤a ≤1 B. a ≤1 C. a<1 D. 0 2. 若a>0且a ≠1，p ＝log a (a 3 ＋a ＋1)，q ＝log a (a 2 ＋a ＋1)，则p 、q 的大小关系是_____。 A. p ＝q B. p 的值域是_________。 4. 若θ∈(0, π2 )，则lim n →∞cos sin cos sin n n n n θθθ＋θ-的值为_____。 A. 1或－1 B. 0或－1 C. 0或1 D. 0或1或－1 5. 函数y ＝x ＋1x 的值域是_____。 A. [2,+∞) B. (-∞,-2]∪[2,+∞) C. (-∞,+∞) D. [-2,2] 6. 正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为_____。 A. 893 B. 493 C. 293 D. 493或89 3 7. 过点P(2,3)，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是_____。 A. 3x －2y ＝0 B. x ＋y －5＝0 C. 3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0 D.不能确定 Ⅱ、示范性题组： 例1. 设0 【分析】 对数函数的性质与底数a 有关，而分两类讨论。 【解】 ∵ 0 ① 当0 )>0; ② 当a>1时，|log a (1－x)|－|log a (1＋x)|＝… 由①、②可知，… 例2. 已知集合A 和集合B 各含有12个元素，A ∩B 含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C 的个数： ①. C ⊂A ∪B 且C 中含有3个元素； ②. C ∩A ≠φ 。 【分析】 由已知并结合集合的概念，C 中的元素分两类：①属于A 元素；②不属于A 而属于B 的元素。并由含A 中元素的个数1、2、3,而将取法分三种。 【解】 C 121 ·C 82 ＋C 122 ·C 81 ＋C 123 ·C 80 ＝1084 【另解】（排除法）： 【注】本题是“包含与排除”的基本问题，正确地解题的前提是正确分类，达到分类完整及每类互斥的要求。并且要确定C 中元素如何取法。 例3. 设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 是前n 项和。 ①. 证明： lg lg S S n n ++2 2 是否存在常数c>0，使得 lg()lg() S c S c n n -+-+22 ＝lg （S n +1－c ）成立？并证明结论。(95年全国理) 【分析】 要证的不等式和讨论的等式可以进行等价变形；再应用比较法而求解。 【解】 设公比q ，则a 1>0，q>0 ①． … ②. 要使 lg()lg() S c S c n n -+-+22 ＝lg （S n +1－c ）成立，则必有(S n －c)(S n +2－c)＝(S n +1－c)2, 分两种情况讨论如下： 当q ＝1时，S n ＝na 1，则 (S n －c)(S n +2－c)－(S n +1－c)2＝(na 1－c)[(n ＋2)a 1－c]－[(n ＋1)a 1－c]2＝－a 12 <0 当q ≠1时，S n ＝a q q n 111()--，则(S n －c)(S n +2－c)－(S n +1－c)2 ＝[a q q n 111()--－c][ a q q n 12 11()--+－ c]－[a q q n 11 11()--+－c]2＝－a 1q n [a 1 －c(1－q)] ∵ a 1q n ≠0 ∴ a 1－c(1－q)＝0即c ＝a q 11- 而S n －c ＝S n －a q 11-＝－a q q n 11-<0 ∴对数式无意义 由上综述，不存在常数c>0, 使得lg()lg() S c S c n n -+-+22 ＝lg （S n +1－c ）成立。 【注】 本例由所用公式的适用范围而导致分类讨论。该题文科考生改问题为：证明 l o g l o g ..050522 S S n n ++>log 05.S n +1 。 例1、例2、例3属于涉及到数学概念、定理、公式、运算性质、法则等是分类讨论的问题或者分类给出的，我们解决时按要求进行分类。（概念、性质型） 例4. 设函数f(x)＝ax 2 －2x ＋2，对于满足1 【解】当a>0时，f(x)＝a （x －1a ）2＋2－1a ∴ 111220a f a ≤＝≥()-+⎧⎨⎪⎩⎪或1141210<<->⎧⎨ ⎪⎪⎩⎪⎪a f a a ()＝或14416820a f a ≥＝≥()-+⎧⎨⎪⎩⎪ ∴ a ≥1或12 416820 ＝≥＝≥-+-+⎧⎨⎩，解得φ； 当a ＝0时，f(x)＝－2x ＋2, f(1)＝0，f(4)＝－6， ∴不合题意 由上而得，实数a 的取值范围是a>12 。 例5. 解不等式 ()()x a x a a +-+4621>0 (a 为常数，a ≠－12 )q D.当a>1时，p>q ；当0