加权Hardy算子及其交换子在广义Morrey空间上的有界性

吴小梅 ： ￣ ． ｒｙ Ｈａｄ 算子及其 交换子在广义Ｍ０ｒｙ ｒｅ 空间上的有界性
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广义Ｍｏｒ 空间是近年来调和分析研究的热点， ８ ２ ｒｙ ｅ 如［１］ — 等．
先给出该空间的定义．
定义１ 令１ Ｐ＜。， ． ３ 。 假设 ｒ是Ｒ （ ） 上非负可测函数， 满足
）
Ｉｌ ｌｌ Ｖ— ｓｐ ｕ
ＱＣＲ
“ＩＩ ＩＱ 。 ６ ／
最近 ， 傅尊伟等 ［研 究了加权Ｈａｄ 算子与Ｂ ］ ｒｙ Ｍ０函数６ 生成 的交换子 在 （ ） Ｒｎ中的有界
性． 如下定义．
定义 １２ 令６ ． 是局部可积的可测函数， 如前定义． 加权Ｈａｄ 算子的交换子 定义 为 ｒｙ
且 单调递减， 则广义Ｍｏｒ 空ＩＬ ， Ｒ 定义为 ｒｙ ＇ ｐ （ ） ｅ ￣
’
（ ） ，∈Ｌｏ（ ： Ｒ ＝｛ ｆ Ｒ ）
，Ｒ） 。 ｎ＜。｝ （
其中
ｌｌ Ｒ Ｉｌ ，驯 ｎ
Ｂ（，） 以 ｘｒ是 为中心， 为半径 的球体． ｒ
∈
＞。
南 Ｉ ， ｌ ， １
／ｔ ￡ 。 －（ 詈 ） 。 出＜ ．
当取 ） 及礼＝１ｒ 是经典￣Ｈ ｒｙ 三１ ｍ， ａｄ 算子 ：
（ １ ）
，＝／（，。 （ ・ ，￡ ． １ ｔ ≠ ） ０） ｄ
Ｈ ｒ ｙ ］ 明了上述算 子满足下列不等式 ａｄ ［证 。
Ｉ ／ Ｒ ） Ｉ ｌ Ｖ ｌ
高校应用数学学报
２１， ６４： ８—８ ０１ ２ （） ４ １ ８ ４
加权Ｈ ｒｙ ａｄ 算子及其交换子 在广义Ｍｏｒ 空间上 的有界性 ｒｙ ｅ
吴小 梅
（ 浙江 大学 数学 系，浙江杭 州 ３ ０ ２ ； １０７
浙江师范大学 行知学院， 江金 华 ３ １０ ） 浙 ２ ０ ４
摘
要：讨论 了］ Ｋ ｒ ｙ ￣ｌ Ｈａｄ 算子， ｅ￣ｏ Ｃ ｓｒ 算子及 它们 与Ｂ Ｍ０函数 生成 的交换子的有界
１ ８ ｆ ， ａｔｎＬ ｂｕ ￣Ｆ ｓｅ［首先定义 了加 权Ｈａｄ 算子， ９ ４ｇ Ｃ ｒｏ — ｅ ｒ ｎ ｏｓｔ ］ ｒｙ 并且 证 明了当 满足 一定条
件时， ， ＭＯ（ ） 在Ｂ Ｒ 上有 界． ０ １ Ｘｉｏ 】 了 ２０ 年， ａ［得到
命题１１ ．
， ＰＲ ） 是Ｌ （ 有界的当且仅当
性． 在假设 ｒ满足一类条件时， （） 得到 了这些算子及它们的交换子在广ＫＭｏｒ 间 ｒｙ ｅ
上有界， 且证 明了这 类条件是必要 的．
关键词： 加权Ｈａｄ 算 ｑ ； ｒ ｙ － 交换子； 广ＫＭｏｒｙ ｒｅ ￣间； ＭＯ， Ｂ ￣ 中图分类号： ７ ． Ｏ１４ ２
文献标识 码： Ａ
，： Ｕ ｆ （ ） ：ｂ ｆ 一 ６ ． ，
加权Ｃ ｓ 算子 的交换子 ｂ ｅ 。 定义为
＿ ： ｂ ．一 （Ｐ ，： ， ｂ） ｊ．
他们得到
命题１２ 对任意的６ ＭＯ Ｒ ） 是 （ 有界的当且仅当 ． ∈Ｂ （ ， Ｒ）
／一（ｇ 。 ＝苦）２ 。 ｌｄ ． ｔ ＜ 。
。 ＝Ｌ （ ） （ ） ｐ Ｒ Ｒ ． 注 １２ 当ｕ ｒ ＝ ｒ ｎｒ＋２时， ． （） ｌ（ ） 空间 ，（ ） Ｒ 不再是 经典 的Ｍｏｒｙ ｒｅ空间．因此可 以看 出
广义Ｍｏｒｙ ｒｅ 空间是经典 的Ｍｏｒｙ ｒｅ 空间和 空间的推广．
文章编号： ０ ０４ ２ （０ １０ ４ １０ １ ０—４ ４２ １ ） ０ ８ —８
§ 引 言 １
假设 ： ，】 【 。）ｆ∈Ｌ （ ， ［ １一 ０ 。， ０ ， ＰＲ ） 则加权的Ｈ ｒｙ ， ａ 算子 ｄ 定义为
ｆｌ
， ） ／ ｆ ｘ （ｄ， ∈ （＝ （） ｔｔ Ｒ ． ｔ￣ ）
其 中１＜Ｐ＜。 ， 。 且 是最佳常数．
由于加权Ｈａｄ 算子与经典 的Ｈａｄ — ｉ ｌ ｏ ｄ ｒｙ ｒｙＬｔ ｅ ０ 极大算子密切 相关， ｔｗ 近年来， 它受 到了很多
科研工作者的关注， 如文献［ ４７ ２ －． ， ］
加权 的Ｃ ｓｒ算 子 定义为 ｅ ｏ
） ＝
当 三 １ ｎ： １ 是经典的Ｃ ｓ 算子 ， 时， ｅ ０
／ 班
）ｔ ． ｄ， ＥＲ ｘ
一
裁
加权Ｈａｄ 算子 和加权ｃ ｓ ｒ算 子 是共轭算子， ｒｙ ｅ ０ 即
ＪＲ ｎ
／ ９ ） ｆ ） ＝ＪＲ ｎ ， ），ｘ ｘ （ （ｄ ／ （Ｖｇ ） ， ｚ ｘｘ ￣（ｄ
其 中
＿ ｐＲ”， 厂∈ （ ）９∈Ｌ （ ）１ ｑＲｎ， ＜ｐ＜。， ＋ ： １ 。 ．
注１１ ． 若 ｒ ＝ｒ 时， ， Ｒ 正是经典的Ｍｏｒｙ （ ） Ａ ） （ ｒ 空间 ｅ
，
（ ） ，∈Ｌ 。 ： ｆ ｌ ＜。 ） Ｒ ：｛ （ ） Ｉ ｉ Ｒ １ｌ 。
１
其 中
。∈
，
０ ” ０ Ｌ ∈ ｒ Ｒ＞ 南 Ｐ （
７ …
这 类 空 间 是Ｍｏｒｙ。 了研 究 二 阶 椭 圆偏 微 分 方 程 引 进 的． 当Ａ ： ０ ｒｅ［为 】 时，Ｌ ，（ ）＝ ｐ Ｒ
证明可以参看文献［． ２ ］ 定义１ 令ｂ ｌ （ ）我们称６ ＭＯ Ｒ ） ． １ ∈Ｌ。 Ｒ”． ∈Ｂ （ “当且仅当
ｓｐ ｕ
／ ～ Ｉ。 ＝ ｂ＜ ， ｌ Ｑ ６ 。
其 上 界 遍 ” 所 的 体 ， ＝南 ｂＩ 表 Ｑ 体 ．的 Ｍ 范 定 为 中 确 取 Ｒ 中 有 方 Ｑｂ Ｑ ， Ｉ 示 的 积 ６Ｂ ０ 数 义 Ｑ
收稿 日期： ０ １０ —０ ２ １ ．３３ 修回 日期： ０ １１ —０ ２ １一 ０２
｝ ｆｐ １ ｆｌ （ ） ， Ｒ ｊ Ｌ
基金项 目： 国家 自然科学基金（０ ３０ ｌ １８ １７） １９ １ ０； ０ ７ １３
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பைடு நூலகம்
高 校 应 用 数 学 学 报
第２ 卷第４ ６ 期