高等代数ppt
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n ( 1) n1 就有 1 n
1
n ( 1) n1 即 lim 1. n n
13
例2
证明 lim
n
n2 n 6 n 5
2
1.
1
证 xn 1
n2 n 6 n2 5
2 2 n n 5
n1
2 0, 取N [ ],
设对某正整数k有 xk xk 1 , 则有
xk 1 6 xk 6 xk 1 xk 2
故由归纳法，对一切正整数n，都有 x n x n 1 即 x n 为单调减少数列，且xn 0, ( n 1, 2, ) 所以 lim x n 存在为a， a 6 a a 0 有 n 解得 lim xn 3. 22 n
由定义,
0, N 1 , N 2 .使得 当n N 1时恒有 xn a ;
当n N 2时恒有 x n b ; 取N maxN 1 , N 2 ,
则当n N时有 a b ( x n b) ( x n a )
x n b x n a 2.
• 根据第一、第二项的大小关系，确定单调性，并用 归纳法证明.
24
2. 夹逼准则（P24）
定理 4 如果数列 x n , y n 及 z n 满足下列条件:
(1) yn xn z n
n
( n 1,2,3)
n
( 2) lim yn a , lim z n a ,
那末数列 x n 的极限存在, 且 lim x n a .
无界。
在数轴上,有界数列的点x n 都落在闭区间[-M,M]上.
数列xn有上界,即存在M, 使xn≤M(n=1,2,…)。 数列xn有下界,即存在m,使xn ≥m(n=1,2,…)。 17
定理1
收敛的数列必定有界.
n
证 设 lim xn a ,
由定义,
取 1,
则N , 使得当n N时恒有 x n a 1,
12
数列极限的定义未给出求极限的方法，我们 可以用定义来证明极限的存在。
例1
n (1) n1 证明 lim 1. n n
n ( 1) n1 1 xn 1 1 证 n n
0,
则当n N时,
要 x n 1 , 只要 , 取N [1], n Βιβλιοθήκη Baidu
定理 3 单调有界数列必有极限.
单调数列
几何解释:
x1 x2 x3x n x n 1
A
M
x
21
例1：设 x1 10, x n 1 6 x n
(n=1,2,…)，
试证数列 xn 极限存在，并求此极限。
证 由 x1 10 及 x2 6 x1 16 4 知 x1 x2
例2
证明数列 xn 3 3 3 ( n重根
xn 是单调递增的 ;
式)的极限存在. 证 显然 xn1 xn ,
xn 有上界;
又 x1 3 3, 假定 xk 3, x k 1 3 x k 3 3 3,
lim x n 存在.
23
数列由递推关系给出时，求极限或证明极限存在，往往 用 单调有界准则。
注意 1)有界性的证明一般有如下几种方法：
• 根据已知条件推断出界；
• 通过观察找出界，并用归纳法证明； • 先求出极限，根据极限求出界，并用归纳法证明 2) 单调性的证明 一般有如下几种方法：
a n 1 1 ）。 • 用观察法. 如：单增情况 a n1 a n 0 或 an
a yn xn zn a , 即 xn a 成立,
n n
就 有 a 1 ,
n
lim n a 1.
n
15
lim lim 例4 设x n 0, 且 n x n a 0, 求证 n x n a .
证
0,
lim xn a,
n
N使得当 N时恒有x n a a , n
从而有 x n a xn a xn a
n重根号
子列的概念: 在数列{ x n } 中取出的,并按原有顺序排
列的一列数: x n1 , x n 2 , , x nk , ,称为数列{ x n } 的 子数列(子序列).
数列对应着数轴上一个点列.可看作一动 点在数轴上依次取点: x1 , x 2 ,, x n ,.
x3
x1
x 2 x4
第三节
1、概念的引入
割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” ——刘徽
极限
一、数列的极限的概念
S=
1
2
正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2
R
正 6 2 n 1 形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,, An ,
An 3 2
11
N定义 : lim x n a n
0, N 0, 使n N时, 恒有 x n a .
; 其中 : 每一个或任给的 : 至少有一个或存在.
几何解释:
a
x2 x1 x N 1
2
a
x N 2 x3
a
x
当n N时, 所有的点 x n都落在 (a , a )内, 只有有限个 (至多只有N个) 落在其外.
证 任给 0, 要 使 n a 1 ,
lna , 若a 1, 只要1 a , a 1 , 即 : n ln( ) 1 lna 取N 1 [ ], ln( ) 1 lna n n , 若a 1, 只要 a 1 , a 1 , 即 : n ln( ) 1 lna 取N 2 [ ], N max{ 1 , N 2 }, 则当n N时, N ln( ) 1
n
证 yn a, z n a, 即 : 0, N 1 0, N 2 0, 使得
当 n N 1时恒有 yn a , 当 n N 2时恒有 z n a ,
取 N max{ N 1 , N 2 },
上两式同时成立,
即 a yn a , a z n a , 当 n N时, 恒有
{2 n }
{ 1 2
n
}
1,1,1,, (1) n1 ,;
{( 1) n1 }
5
1 4 n ( 1) n1 2, , ,, ,; 2 3 n
3 , 3 3 ,, 3 3 3 ,
n ( 1) n1 { } n
{ 3 3 3 }
证
x 2k 1, x 2 k 1( k ), x 2 k 1 1, x 2 k 1 1( k ), 数 列x n ( 1) n 发 散.
20
三、数列收敛判别准则
1. 单调有界准则（P26）
如果数列 xn满足条件
x1 x2 xn xn1 , 单调增加 x1 x2 xn xn1 , 单调减少
xn a a
a a
lim x n a .
n
16
二、 收敛数列的性质 1.有界性
n M 定义: 对数列 x n , 若存在正数 , 使得一切自然数 ,
恒有 x n M 成立, 称数列x n 有界;否则, 称为无界.
n 例如,数列 xn 有界；数列 y n 2n n1
随着n的增加，1/n会越来越小。
1 1 1 1 , 给定 ,由 , 只要 n 100时, 有 x n 1 100 100 n 100
1 给定 , 只要 n 1000时, 有 x n 1 1 , 1000 1000 1 1 给定 , 只要 n 10000 , 有 x n 1 , 时 10000 10000
上式仅当a b时才能成立. 故收敛数列极限唯一.
19
发散数列判别法: 1. 无界数列必定发散.
2. 一子列发散,则数列发散.
3. 两子列收敛到不同的极限,则数列发散.
例:
an lnn cosn, 取n 2k , ln2k (k ).
证明数列 n (1) n 是发散的 x .
就有 n n6
2
当n N时,
即 lim
n
n2 5
1
n2 n 6 n 5
2
1.
注: 用定义证明数列极限存在时,关键是从主要
不等式出发,由>0,找到使主要不等式成立的 N(并不在乎N是否最小). 14
例3
证明 lim n a 1, 其中a 0.
n
无限接近于 1.
1) 当 n 无限增大时, 数列 xn 是否无限接近 于某一确定的数值? 如果是, 如何用数学语 言描述?
2) “无限接近”意味着什么?如何用数学 语言刻划它.
8
我们可用两个数之间的‘距离’来刻化两个数的 接近程度
1 ( 1) n1 n 1 1 xn 1 1 1 ( 1) n n n
9
引入符号N和来刻化无限增大和无限接近。
任意给定 0, 只要 n N ( [1])时, 有 x n 1 成立.
只要n无限增大，xn 就会与1无限靠近。
n N
确保
xn 1
10
定义
如果对于任意给定的正数 (不论它多么
小),总存在正数 N ,使得对于 n N 时的一切x n ,
a 不等式 x n a 都成立,那末就称常数 是数列 a x n 的极限,或者称数列x n 收敛于 ,记为
lim x n a ,
n
或 x n a ( n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
注:
不等式xn a 刻划了 n与a的无限接近 x ;
N与任意给定的正数有关.
xn
数列的几何意义.
6
数列是整标函数 x n f (n).
3、数列的极限
( 1)n1 观察数列 {1 } 当 n 时的变化趋势. n
n=19 n=32
( 1) n1 xn 1 . n
n=42
n=50
7
( 1) 当 n 无限增大时, xn 1 n
问题:
n 1
( n 1) 2
S
2 62
( n 1)
r sin , r 1 ,
.
3
截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 1 第一天截下的杖长为X 1 ; 2 1 1 第二天截下的杖长总和 X 2 2 ; 为 2 2
1 1 1 第n天截下的杖长总和为X n 2 n ; 2 2 2 1 Xn 1 n 1 2
n
2 xn1 3 xn , x n1 3 x n ,
2 lim x n 1 lim( 3 x n ), n n
1 13 1 13 (舍去) 解得 A , A 2 2 1 13 lim x n . n 2
A 2 3 A,
即有 a 1 xn a 1.
记 M max{ x1 ,, x N , a 1 , a 1 },
则对一切自然数 ,皆有 x n M , 故xn 有界. n
有界性是数列收敛的必要条件.
18
2.唯一性
定理2 每个收敛的数列只有一个极限.
n n
证 设 lim xn a, 又 lim xn b,
4
2、数列的定义
定义:按自然数1,2,3, 编号依次排列的一列数
x1 , x 2 , , x n ,
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数 列的项, x n 称为通项(一般项).数列(1)记为{ x n } .
例如
2,4,8,,2n ,;
1 1 1 1 , , , , n ,; 2 4 8 2
1
n ( 1) n1 即 lim 1. n n
13
例2
证明 lim
n
n2 n 6 n 5
2
1.
1
证 xn 1
n2 n 6 n2 5
2 2 n n 5
n1
2 0, 取N [ ],
设对某正整数k有 xk xk 1 , 则有
xk 1 6 xk 6 xk 1 xk 2
故由归纳法，对一切正整数n，都有 x n x n 1 即 x n 为单调减少数列，且xn 0, ( n 1, 2, ) 所以 lim x n 存在为a， a 6 a a 0 有 n 解得 lim xn 3. 22 n
由定义,
0, N 1 , N 2 .使得 当n N 1时恒有 xn a ;
当n N 2时恒有 x n b ; 取N maxN 1 , N 2 ,
则当n N时有 a b ( x n b) ( x n a )
x n b x n a 2.
• 根据第一、第二项的大小关系，确定单调性，并用 归纳法证明.
24
2. 夹逼准则（P24）
定理 4 如果数列 x n , y n 及 z n 满足下列条件:
(1) yn xn z n
n
( n 1,2,3)
n
( 2) lim yn a , lim z n a ,
那末数列 x n 的极限存在, 且 lim x n a .
无界。
在数轴上,有界数列的点x n 都落在闭区间[-M,M]上.
数列xn有上界,即存在M, 使xn≤M(n=1,2,…)。 数列xn有下界,即存在m,使xn ≥m(n=1,2,…)。 17
定理1
收敛的数列必定有界.
n
证 设 lim xn a ,
由定义,
取 1,
则N , 使得当n N时恒有 x n a 1,
12
数列极限的定义未给出求极限的方法，我们 可以用定义来证明极限的存在。
例1
n (1) n1 证明 lim 1. n n
n ( 1) n1 1 xn 1 1 证 n n
0,
则当n N时,
要 x n 1 , 只要 , 取N [1], n Βιβλιοθήκη Baidu
定理 3 单调有界数列必有极限.
单调数列
几何解释:
x1 x2 x3x n x n 1
A
M
x
21
例1：设 x1 10, x n 1 6 x n
(n=1,2,…)，
试证数列 xn 极限存在，并求此极限。
证 由 x1 10 及 x2 6 x1 16 4 知 x1 x2
例2
证明数列 xn 3 3 3 ( n重根
xn 是单调递增的 ;
式)的极限存在. 证 显然 xn1 xn ,
xn 有上界;
又 x1 3 3, 假定 xk 3, x k 1 3 x k 3 3 3,
lim x n 存在.
23
数列由递推关系给出时，求极限或证明极限存在，往往 用 单调有界准则。
注意 1)有界性的证明一般有如下几种方法：
• 根据已知条件推断出界；
• 通过观察找出界，并用归纳法证明； • 先求出极限，根据极限求出界，并用归纳法证明 2) 单调性的证明 一般有如下几种方法：
a n 1 1 ）。 • 用观察法. 如：单增情况 a n1 a n 0 或 an
a yn xn zn a , 即 xn a 成立,
n n
就 有 a 1 ,
n
lim n a 1.
n
15
lim lim 例4 设x n 0, 且 n x n a 0, 求证 n x n a .
证
0,
lim xn a,
n
N使得当 N时恒有x n a a , n
从而有 x n a xn a xn a
n重根号
子列的概念: 在数列{ x n } 中取出的,并按原有顺序排
列的一列数: x n1 , x n 2 , , x nk , ,称为数列{ x n } 的 子数列(子序列).
数列对应着数轴上一个点列.可看作一动 点在数轴上依次取点: x1 , x 2 ,, x n ,.
x3
x1
x 2 x4
第三节
1、概念的引入
割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” ——刘徽
极限
一、数列的极限的概念
S=
1
2
正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2
R
正 6 2 n 1 形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,, An ,
An 3 2
11
N定义 : lim x n a n
0, N 0, 使n N时, 恒有 x n a .
; 其中 : 每一个或任给的 : 至少有一个或存在.
几何解释:
a
x2 x1 x N 1
2
a
x N 2 x3
a
x
当n N时, 所有的点 x n都落在 (a , a )内, 只有有限个 (至多只有N个) 落在其外.
证 任给 0, 要 使 n a 1 ,
lna , 若a 1, 只要1 a , a 1 , 即 : n ln( ) 1 lna 取N 1 [ ], ln( ) 1 lna n n , 若a 1, 只要 a 1 , a 1 , 即 : n ln( ) 1 lna 取N 2 [ ], N max{ 1 , N 2 }, 则当n N时, N ln( ) 1
n
证 yn a, z n a, 即 : 0, N 1 0, N 2 0, 使得
当 n N 1时恒有 yn a , 当 n N 2时恒有 z n a ,
取 N max{ N 1 , N 2 },
上两式同时成立,
即 a yn a , a z n a , 当 n N时, 恒有
{2 n }
{ 1 2
n
}
1,1,1,, (1) n1 ,;
{( 1) n1 }
5
1 4 n ( 1) n1 2, , ,, ,; 2 3 n
3 , 3 3 ,, 3 3 3 ,
n ( 1) n1 { } n
{ 3 3 3 }
证
x 2k 1, x 2 k 1( k ), x 2 k 1 1, x 2 k 1 1( k ), 数 列x n ( 1) n 发 散.
20
三、数列收敛判别准则
1. 单调有界准则（P26）
如果数列 xn满足条件
x1 x2 xn xn1 , 单调增加 x1 x2 xn xn1 , 单调减少
xn a a
a a
lim x n a .
n
16
二、 收敛数列的性质 1.有界性
n M 定义: 对数列 x n , 若存在正数 , 使得一切自然数 ,
恒有 x n M 成立, 称数列x n 有界;否则, 称为无界.
n 例如,数列 xn 有界；数列 y n 2n n1
随着n的增加，1/n会越来越小。
1 1 1 1 , 给定 ,由 , 只要 n 100时, 有 x n 1 100 100 n 100
1 给定 , 只要 n 1000时, 有 x n 1 1 , 1000 1000 1 1 给定 , 只要 n 10000 , 有 x n 1 , 时 10000 10000
上式仅当a b时才能成立. 故收敛数列极限唯一.
19
发散数列判别法: 1. 无界数列必定发散.
2. 一子列发散,则数列发散.
3. 两子列收敛到不同的极限,则数列发散.
例:
an lnn cosn, 取n 2k , ln2k (k ).
证明数列 n (1) n 是发散的 x .
就有 n n6
2
当n N时,
即 lim
n
n2 5
1
n2 n 6 n 5
2
1.
注: 用定义证明数列极限存在时,关键是从主要
不等式出发,由>0,找到使主要不等式成立的 N(并不在乎N是否最小). 14
例3
证明 lim n a 1, 其中a 0.
n
无限接近于 1.
1) 当 n 无限增大时, 数列 xn 是否无限接近 于某一确定的数值? 如果是, 如何用数学语 言描述?
2) “无限接近”意味着什么?如何用数学 语言刻划它.
8
我们可用两个数之间的‘距离’来刻化两个数的 接近程度
1 ( 1) n1 n 1 1 xn 1 1 1 ( 1) n n n
9
引入符号N和来刻化无限增大和无限接近。
任意给定 0, 只要 n N ( [1])时, 有 x n 1 成立.
只要n无限增大，xn 就会与1无限靠近。
n N
确保
xn 1
10
定义
如果对于任意给定的正数 (不论它多么
小),总存在正数 N ,使得对于 n N 时的一切x n ,
a 不等式 x n a 都成立,那末就称常数 是数列 a x n 的极限,或者称数列x n 收敛于 ,记为
lim x n a ,
n
或 x n a ( n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
注:
不等式xn a 刻划了 n与a的无限接近 x ;
N与任意给定的正数有关.
xn
数列的几何意义.
6
数列是整标函数 x n f (n).
3、数列的极限
( 1)n1 观察数列 {1 } 当 n 时的变化趋势. n
n=19 n=32
( 1) n1 xn 1 . n
n=42
n=50
7
( 1) 当 n 无限增大时, xn 1 n
问题:
n 1
( n 1) 2
S
2 62
( n 1)
r sin , r 1 ,
.
3
截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 1 第一天截下的杖长为X 1 ; 2 1 1 第二天截下的杖长总和 X 2 2 ; 为 2 2
1 1 1 第n天截下的杖长总和为X n 2 n ; 2 2 2 1 Xn 1 n 1 2
n
2 xn1 3 xn , x n1 3 x n ,
2 lim x n 1 lim( 3 x n ), n n
1 13 1 13 (舍去) 解得 A , A 2 2 1 13 lim x n . n 2
A 2 3 A,
即有 a 1 xn a 1.
记 M max{ x1 ,, x N , a 1 , a 1 },
则对一切自然数 ,皆有 x n M , 故xn 有界. n
有界性是数列收敛的必要条件.
18
2.唯一性
定理2 每个收敛的数列只有一个极限.
n n
证 设 lim xn a, 又 lim xn b,
4
2、数列的定义
定义:按自然数1,2,3, 编号依次排列的一列数
x1 , x 2 , , x n ,
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数 列的项, x n 称为通项(一般项).数列(1)记为{ x n } .
例如
2,4,8,,2n ,;
1 1 1 1 , , , , n ,; 2 4 8 2