第四章 第三节

（二）调和平均数 调和平均数是各个变量值（标志值）的倒数的算术 平均数的倒数，也称为倒数平均数。
案例
有三种苹果，单价分别为2元/斤、4元/斤、5元/斤， 试问： （1）各买1斤的平均价格为多少？ （2）各买8斤、12斤、10斤的平均价格为多少？ （3）各买1元的平均价格为多少？ （4）各买8元、12元、10元的平均价格为多少？
x

1
x

2
x
n
（2）加权调和平均数
x 1 1
x
m1
1
1
2
x m m
1
m2
2
1
n
x m
n
m 1 xm m
n
2 . 在权数m =ⅹf 特定条件下，调和平均数与算术平均数 没有本质上的区别，只是计算形式不同而已
m 即： m x
xf xf x
xf f
平均工资 = 工资总额 / 工人人数
用 频 数 计 算
xf x f
1475 12 1525 76 1575 44 1625 40 1675 28 200
=1574（元）
x ( x. f
用 频 率 计 算
f
)
1475 6% 1525 38% 1575 22% 1625 20% 167514%
（四）中位数和众数 1 . 总体中某一变量的全部数值按大小顺序排列，处于 中间位置的那个变量值就是中位数。
示 例 甲组7人加工零件数分别为：5 6 7 8 9 10 11 乙组8人加工零件数分别为：5 6 6 8 9 10 12 12 甲组中位数: 8件 乙组中位数: （8 + 9）/ 2 = 8.5件 2 . 总体中出现次数最多的那个变量值就是众数。 示 例 某商场男式皮鞋的销售量分别为：38码的8双、39码 的12双、40码的18双、41码的48双、42码的5双。 众数： 41码
f
xf x f
3000 50 1500 70 500 90 200 110 5200
= 62（件/人）
5 . 算术平均数易受极端变量值的影响 示 例
某生产小组7人年龄分别为：25、26、28、29、31、 34、58 岁， 平均年龄为33岁，计算结果显然偏大，代表性降低。
平均价格 = 购买金额 / 购买数量
245 （1） X 3
= 3.67 （元/斤） 简单算术平均数
2 8 4 12 5 10 = 3.80（元/斤）加权算术平均数 （2） X 8 12 10
3 1 （3） X = 3.16（元/斤） 简单调和平均数 1 1 1 1 1 1 2 4 5 2 4 5 3
第二 、 简单算术平均数主要受标志值ⅹ的影响，加权 算术平均数除了受标志值ⅹ的影响外，还受各 标志值出现的次数的影响 次数对平均数的大小起着权衡轻重的作用，因 此统计中就把这个次数称为权数 ，权数有两种 形式 ： 绝对权数（频数） f 相对权数（频率） 其中
f f
f （比重权数）
f （比重权数）更体现了权数的实质
x
x
n
x1 x2 xn
x x x
f1 f 2 1 2 fn n
（2）加权几何平均数
f
2 . 几何平均数的运用
主要适用于平均比率和平均速度的计算 ——若干个比率或速度的乘积等于总比率或总速度 案 例 某产品需要经过四道工序加工完成，其合格率分别 为91％、94%、96%、93%，试计算该产品的平均 合格率
注意： 1 . 算术平均数是统计中最常用最基本的一种平均数
2 . 分子分母总体范围必须一致
3 . 算术平均数与强度相对数的区别在于：分子分母是否 有着严格的对应关系 示 例 工人劳动生产率 （算术平均数） 全员劳动生产率 （强度相对数）
练习： 下列平均指标有（ ），强度相对指标有（ ） ① 某县居民户均支出 ② 某县居民人均收入 ③ 某县居民户均收入 ④ 某县居民人均支出
经贸系：（2+3+4+5+6）/ 5 = 4（年） 信息系：（2×2+3×2+4×2+5×2+6×2）/ 10 = 4（年） 机械系：（2×2+3×3+4×4+5×5+6×6）/ 20 = 4.5（年） 会计系：（2×6+3×5+4×4+5×3+6×2）/ 20 = 3.5（年） ① 简单算术平均数 会计系： 2×6/20+3×5/20 +4×4/20+5×3/20 +6×2/20= 3.5（年）
=1574（元）
2 . 试根据下表资料计算三种产品的平均废品率 产品 计量单位
甲 乙 丙
件 台 只
废品率（%） 产量 劳动量（工时） 3 70 1500 2 20 3000 4 90 500 f
ⅹ 废品率 = 废品总数 / 产品总数
xf x f
1500 3% 3000 2% 500 4% 1500 3000 500 = 2.5%
x ( x.
综合 实训
f
f
)
= 50×75%+80×25% = 57.5元/件
2 . 某厂某年生产某种产品1—3月总成本分别为10万元、 30万元、35万元，其平均单位成本分别为10元／件、 8元/件、7元/件，试计算该产品第一季度的平均单位 成本。
m x m x
100000 300000 350000 100000 300000 350000 10 8 7
五 计算和运用平均指标应注意的问题（原则） （一）在同质总体中计算和应用平均指标 （二）用组平均数补充说明总平均数 （三）用分布数列补充说明总平均数 （四）平均指标应与标志变异指标结合运用 1 . 某产品有两种规格，其单价分别为 50元/件、 80元/件，其销售量所占比重分别为75%、 25%，试计算该产品的平均价格。
x 91% 94% 96% 93%
4
实 训
将100万元资金存入银行，存期10年，按复利计算， 其10年利率有2年6%，有4年8%，有3年9%，有1年 10%，试计算该笔存款的年平均利率
x (1 6%) (1 8%) (1 9%) (1 10%) 100%
10 2 4 3
第三 、简单算术平均数是加权算术平均数在权数相等情况 下的一种特殊形式 即：当f1 = f2 =……= fn 时，∑xf /∑f = ∑x / n 实训 ⅹ 1 . 根据下表资料计算工人平均工资 f
f
f
比重（%） 6 38 22 20 14 100
组中值 月工资额（元） 工人人数（人） 12 1475 1500 以下 76 1525 1500—1550 44 1575 1550—1600 40 1625 1600—1650 28 1675 1650 以上 200 合计
如果把计划产值 改为实际产值呢
2. 自行车赛时速：甲30公里，乙28公里，丙20公里，全程 200公里，问三人平均时速是多少？若甲乙丙三人各骑车 2小时，平均时速是多少？ （平均时速 = 路程 / 时间）
（三）几何平均数
几何平均数是若干项变量值连乘积的项数次方根 注意： 1 . 几何平均数可分为简单与加权两种形式 （1）简单几何平均数
第三节
一 平均指标的含义
平均指标
平均指标 反映某类社会经济现象数量的一般水平或 代表水平的一种综合指标, 也称平均数。 注意： 1 . 平均数可以是同一时间某类现象数量的 平均，也可以是不同时间某类现象数量 的平均，前者称为静态平均数，后者称 为动态平均数。 2 . 平均数的特点 平均数是一个抽象化的数值 平均数反映了总体分布的集中趋势
3 . 试计算某工业局的工人劳动生产率水平
组中值 50 70 90 110 工人劳动生产率（件/人） 60 以下 60—80 80—100 100 以上 合计 企业个数（个） 工人人数（人） 8 5 3 2 18 3000 1500 500 200 5200
ⅹ 工人劳动生产率 =总产量 / 工人人数
m：代表标志值 f：代表单位数(次数)
3 . 计算公式的选择 如果已知分母不知分子
xf x f
m x m x
算术平均数
如果已知分子不知分母
调和平均数
综合实训 1. 某公司五个企业计划产值分别为1200万元、600万元、 1100万元、1500万元、500万元，其计划完成程度分别 为108%、95%、110%、105%、90%，试计算五个企业 产值平均计划完成程度。 （计划完成程度 = 实际 / 计划）
实训
某班学生按年龄分组表 累计次数 人数（人） 向上累计 向下累计 5 5 20 20 8 20 20 32 20 5 5 20 50 50 80 5 13 45 50 — 50 45 37 5 —
年龄（岁） 18 19
20百度文库21
合计
分别确定其众数与中位数 众数： 20岁 中位数： 20岁 注意：（1）中位数和众数不受极端变量值的影响 （2）众数可能不存在或者不唯一，中位数存在且唯一
= 7.69 元/件
3 . 某公司一年内承包了三项价值相同的工程，其利润率 分别为21%、28%、26%，试计算其平均利润率。
x x
n
=（21%+28%+26%）/ 3 = 25%
4 . 由于掌握的资料不同,计算时可分为简单和加权两种形式
案例 工龄 （年） 2 3 4 5 6 合计 某高职院各系青年职工按工龄分组情况 职工人数（人） 信息系 机械系 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 10 20
经贸系 1 1 1 1 1 5
会计系 6 5 4 3 2 20 3.5
平均工龄（年） 4 4 4.5 试计算各系青年职工的平均工龄
（4） X
8 12 10 1 = 3.33（元/斤） 8 12 10 1 1 1 8 12 10 2 4 5 2 4 5 加权调和平均数 8 12 10
注意： 1 . 调和平均数可分为简单与加权两种形式
（1）简单调和平均数
x 1 1 1 1

n
n 1 x
二 平均指标的计量单位
注意：平均数的单位与被平均现象的单位一致 三 平均指标的种类 算术平均数 数值平均数 平均数 位置平均数 中位数 调和平均数 几何平均数 众数
四 平均指标的计算
(一) 算术平均数
算术平均数 = 总体标志总量 总体单位总量
职工平均工资 = 工资总额 / 职工人数 示 例 工人平均产量 = 总产量 / 工人人数（工人劳动生产率） 产品平均成本 = 总成本 / 总产量（单位成本） 产品平均价格 = 销售总额 / 销售总量 （单位价格）
x1 x2 ... xn X n
② 加权算术平均数
x
n
x1 f1 x2 f 2 ... xn f n X f1 f 2 ... f n
xf f
( x.
f
f
)
说明：第一 、 ⅹ 代表各单位标志值（变量值）， n代表总体 单位数，f 代表各组单位数（次数）