时间序列随机模型

at是一个误差或白噪声序列，并假定它相互独立， 2 且服从均值为零，方差为 a 的正态分布。
at与at的先前值xt-i无关，且满足：
Ea 0 t 2 a E at a s 0 E a t xt i 0
ts ts
m B 引入后移算子B，使得 xt xt 1 B xt xt m
同样使用后移算子，则该模型可写为： 2 q ( 1 B xt 1 2 B q B ) at
记： (B) (1 1 B 2 B q B )
2 q
则： xt ( B) at
1.3 自回归滑动平均（ARMA）模型
1.3.1 ARMA模型的概念 若序列值xt 是现在和过去的误差或白噪声以及 先前序列值的线性组合，即 p q x t i x t i a t i a t i i 1 i 1
自回归模型平稳性条件
对AR（1）模型：
设xt 1xt 1 at，两边平方再取数学期望，有：
Ext 2 E (1 xt 1 at )2＝12 Ext21 at 2 21Ext 1at Ext 1at 0 Ext 2 12 Ext21 at 2
借助后移算子，则AR（p）模型可化为
，
xt i B xt a t
i
2 p B p B xt at 此式即为 xt 1 xt 2 B xt
p
i 1
(1 1 B 2 B2 p B p) xt at 移项整理即为：
记
( B) 1 1 B 2 B p B
1.3.2 ARMA模型的传递与逆转形式
传递形式指将序列 xt 的当前值表示为当前 白噪声 a t 与过去白噪声 at i (i 1,2,) 的线性组合 MA模型本身即为传递形式；
逆转形式是以序列 xt 的当前值和过去值的 线性组合来表示当前误差 a t
AR模型即为逆转形式。
1.3.2 ARMA模型的传递与逆转形式
滑动平均模型的可逆性条件
设MA(q)模型x t = ( B)a t , 若系数多项式： ( B) 1-1B- 2 B2 - - q Bq =0
的根全在单位圆外，则称 xt 满足q阶平稳滑动平均模型。 其系数向量
T =(1,2 p )
所构成的集合，称为MA(q)模型的可逆域。
若序列是平稳的，则有 Ext Ex
2
2 a t (1 12 ) Ext 2 at 2 , Ext 2 (1 12 )
2 t 1
，有：
2 a t 由Ext 2非负，有 0，从而有 1 ＜ 1 2 (1 1 )
自回归模型平稳性条件
设AR(p)模型(B)x t =a t ,( B) 1-1B-2B2 --pBp
若使 ( B) 0 的根全在单位圆外，则称 xt 满足p阶平稳自回归模型，即AR(p) 。
其系数向量 =(1,2 p )
T
所构成的集合，称为AR(p)模型的平稳域。
滑动平均模型的可逆性条件
对MA（ 1）模型xt at－1at -1 有：at xt +1at -1和at -1 xt -1 +1at -2 将at -1值代入at，有：
对于ARMA(p,q)模型 ( B) xt ( B)at ，若
2 at xt + （ x + a ） = x + x + 1 t -1 1 t -2 t 1 t -1 1 at -2
依次迭代，有： at xt +1 j xt -j 或 xt at 1 j xt -j
j=1 j=1
此即为MA（1）模型的逆转形式。若|θ1|<1，表 明序列历史值对当前值的影响，随时间的推移越来 越小，否则过去对现在的影响越来越大，则不合理。
«地学建模»
之 “随机时间序列分析模型”
§4 随机时间序列分析模型
1. 2. 3. 4. 5. 6. 随机时间序列模型的基本类型 随机时间序列分析模型的识别 时间序列模型常用定阶准则 随机时间序列分析模型的参数估计 季节自回归滑动平均（ARIMA）模型 时间序列建模分析
1 基本类型
1.1 自回归（AR）模型 1.2 滑动平均（MA）模型 1.3 自回归滑动平均（ARMA）模型
2
p
则模型可写为 ( B) xt at
1.2 滑动平均（MA）模型 若序列值 xt
是现在和过去的误差或白噪声的线性组合，即
xt a t i a t i
i 1
q
此模型称为滑动平均模型，相应的序列称为 q－阶滑动平均序列，简记为MA(q)模型。
i (i 1,2,, q) 为滑动平均参数。
ARMA(p,q)模型的平稳与可逆条件
若 ( B) 0 和 ( B) 0 的根全在单位圆外， 即分别满足平稳性和可逆性条件，且
( B)
｛x t｝ 和 ( B) 无公共因子，则称
Байду номын сангаас
满足自回归滑动平均模型，即ARMA(p,q)。
其参数向量构成的集合，称为ARMA(p,q)的平均 域与可逆域。
该模型称为自回归滑动平均模型（ARMA(p,q)模 型）p,q分别为自回归与滑动平均的阶数。
相应的参数 i (i 1,2,, p)
i (i 1,2,, q)
分别称为自回归参数和滑动平均参数。
若使用后移算子B，该模型可简记为：
( B) xt ( B) at
AR模型和MA模型是ARMA模型的特例。
1.1 自回归（AR）模型
若时间序列值xt可表示为它的先前值xt-1和一 白噪声的线性函数，则称此模型为自回归模型，相 应的序列xt称为自回归序列，称
x x
t i 1 i
p
t i
at
为p－阶（p-Order）自回归模型，简称AR(p)模型。 此处 i (i 1,2,, p)是自回归参数或权参数。