三角形“边角边”面积公式

《三角形边角边面积公式》
教学设计
一、教材分析
“正弦”是九义教材九年级教学内容，三角形“边角边”面积公式是现行教材高中内容，但
张景中院士“重建三角，一线串通初等数学”，用面积法重新定义正弦，在此基础上推出三角形“边角边”面积公式，两个内容“正弦定义”与“三角形边角边面积公式”共安排在1个课时完成．由已知“边角边”求三角形的面积，引出用面积法定义“正弦”，再用正弦定义推导三角形的面积公式，这是由需要产生理论，再用理论解决实际问题，体现科学研究的过程. 由于两个知识点联系紧密，把它们整合在一个课时，实现教学的高效率，也呈现给学生完整的知识结构，实现“一线串通”.三角形“边角边”面积公式，是把面积、线段长度、角度联系起来的工具，图形的问题可以用计算的方法来解决，体现了“数形结合”的思想，同时，也完善了学生知识的“作图、推理、计算”完整的知识结构体系.
二、学情分析
知识角度方面. 学生在小学已经对三角形、平行四边形的知识有了初步的认识，多数学生有菱形的日常概念，这是顺利学习本节内容的知识基础，但需要提前用大约10分钟讲授科学概念，让学生明白菱形是特殊的平行四边形，菱形的四边相等.
认知角度方面.七年级学生已经学习了整式的运算，有一定的符号化的能力，同时，七年级学生有较强的观察能力，思维活跃，对新事物有强烈的兴趣，这些是顺利完成本节内容的认知基础. 在引入时，已知“边角边”求三角形面积，引起认知冲突，激发兴趣. 在用面积法定义正弦时，让学生感受单位菱形的面积与一个角的对应关系，培养学生抽象概括能力. 在由平行四边形面积推导三角形面积时，培养学生类比的思想. 在练习3题，培养学生分析问题，应用知识解决问题的能力. 在
拓展练习时，让学生由两个面积公式推新结论，培养学生符号化和发散思维.
三、教学目标
1. 通过画图演示，理解单位菱形的面积与一个角的对应关系，理解定义的合理性.
2. 探索特殊角、同角（或补角）的性质，强化“正弦”概念.
3. 已知三角形“边角边”，会求三角形的面积．
4. 会用三角形“边角边”，会解决简单的几何问题．
5. 通过“数形结合”的探究，培养学生的观察、概括能力，解决问题的能力.
四、教学策略与教学方式
教师的作用：激发兴趣、引发思考、培养习惯、提炼方法.
激发学生参与：问题引发参与、追问调动参与、任务驱使参与、展示激励参与.
教学差异体现：为照顾认知差异的同学，在过程中设计了演示动画、抽学号答问、观察与交
流等；在过程中设计了口答展示、抢答展示、书写展示与交流等.
教材处理：继承、改造、整合、替换、补充.
教学方式：学生独立思考、小组合作探究、教师启发引导.
教具准备：网络画板课件、三角板、教师平板、学生平板.
五、教学重点、难点
1．教学重点：
（1）理解用“单位菱形”定义正弦的概念的合理性；
（2）根据已知“边角边”求三角形面积，用代数法解决简单的几何问题.
2．教学难点：
（1）理解单位菱形的面积与其中一个角的对应关系；
（2）运用三角形“边角边”面积公式解决几何问题.
六、教学过程
教学
步骤教师活动学生活动
设计意图及
活动说明
一、你能计算吗? 1.求下面两个三角形的面积：
提问：已知“边角边”，你会求三角形的面积
吗？
1.（1）利用小学学习的
“底高”面积计算三角
形面积.
（2）已知“边角边”，
学生还不会求三角形的
面积，产生认知冲突.
1.通过思考，如何求
第二个三角形的面
积，产生认知冲突，
激发求知欲望，导入
新课.
二、正弦2. 长方形的面积.
归纳：这个长方形面积等于12个单位正方形面
积和.
3.平行四边形面积
归纳：这个平行四边形面积等于12个单位菱形
面积和.
4.正弦的定义
归纳：单位菱形的的面积由其中一个角决定.
定义：单位菱形AEFG的面积叫做A
∠的正弦.
5.特殊角的正弦
（1）A
∠分别为30°，60°时，单位菱形AEFG
2.体会到单位正方形对
长方形面积有重要影
响.
3.体会到单位菱形对平
行四边形面积有重要影
响.
.
4.观察动画，感受单位
菱形面积与角的度数之
间的对应关系.
5.小组交流
（1）尝试用语言来描述
正弦；
（2）探究特殊角的正弦
2.长方形压扁以后成
为平行四边形，同时，
单位正方形变成为单
位菱形，引出单位菱
形.
3.让学生感受单位菱
形的面积是影响平行
四边形面积的关键因
素.
4.引出正弦定义，渗
透函数的思想，体会
“单位菱形面积”定
义正弦的合理性.
5.（1）强化正弦的概
念；
（2）理解特殊角的
正弦值意义.
的面积，用一个角的正弦来表示；
（2）提问：sin0°、sin90°、sin180°分别
等于多少？为什么？
归纳：求一个角正弦就是求这个角所在单位菱形的面积.
6.等角（或补角）的正弦
用不同角的正弦表示同一个单位菱形的面积，引导学生得出同角与补角正弦的性质.
7.练习1题
（1）布置学生作业练习1题，巡视，及时了解 学生的完成情况； （2）追问1=2∠∠的根据.
值.
6.观察、思考四个角大
小关系，四个角正弦值的大小关系,得出等角或补角正弦的性质.
7.（1）完成练习1题； （2）用语言叙述
1=2∠∠的根据.
6.（1）强化正弦的概念；
（2）得出等角（或补角）的性质，为练习3题作铺垫.
7.（1）巩固同角（或补角）的性质； （2）为练习3题作铺垫.
三、 三角形边角边面积
8. 探究平行四边形面积公式
（1）引导学生探究平行四边形面积； （2）提问：
求平行四边形的面积除了用底乘以高以
8. （1）学生观察、思考，一个同学回答，其余同学补充； （2）查正弦表. .
8. （1）引出平行四边形正弦面积公式. （2）为探究三角形正弦面积公式，为解决开始提出的问题作好
公式
还有不有新办法？
sin54°怎么求呢？
9. 问题解决
（1）利用正弦的知识探究“问题”的解决办法； （2）总结已知“边角边”，求三角形面积的公式.
10.用“边角边”计算三角形面积的三个方法 （1）板书：1
sin 2
S AB BC B =
•； （2）提问：这个三角形的面积还可以怎么计
算？ （3）板书：
1sin 2AC BC C •1
sin 2
AB AC A =•.
9.（1）联系平行四边形面积公式，说出已知“边角边”求三角形面积解题思路； （2）学生观察、思考，一个同学回答，其余同学补充.
10. 学生观察、思考，一个同学回答，其余同
学补充.
准备.
9.（1）引导得出三角形“边角边”面积公式；
（2）渗透类比的数学思想.
10.（1）巩固三角形“边角边”面积公式；
（2）为练习3题，后续的“等角对等边”、“等边对等角”、正弦定理等做好铺垫.
11.练习2题
（1）提问：说说你的解题思路. sin150°怎么计算？
（2）设置抢答. 12.练习3题 （1）提问
请用三角形“边角边”面积公式表示12S S ，. ∠1和∠2有怎样的数量关系？ 如何证明12S S
（2）巡视，了解学生完成情况.
11.
（1）观察、思考、计算； （2）抢答.
12.
（1）独立思考，规范书
写，拍照上传；
（2）小组分享分析问题
经验；
11.
（1）巩固三角形“边
角边”面积公式；
（2）抢答活跃气氛.
12.（1）应用“边角
边”面积公式，解决几何问题； （2）发展学生的分析问题解决问题的能力、思维能力、合作交流能力.
四、 拓展
13.由三角形的两个面积公式推出结论
13. （1）观察、思考，得出结论；
（2）尝试用自己语言叙述得出的结论.
13.
（1）串通正弦的两种
定义；
（2）发展学生发散思
维能力.
五、 14．
14. 学生畅谈学习收获
与体会，引导学生类比、转化、数形结合等数学思想方法.
14.
(1)形成知识结构，习
得学习经验； （2）培养有条理的表
达的能力；
(1)布置小组讨论、交流任务，参与小组讨论；
(2)提炼并板书: 数形结合.（3）激发学生成功学习的自信，归纳、反思、升华、交流、巩固所学知识.
六、作业
1.学习巩固：导学稿课后作业第1-2题；
2.自主探究：导学稿课后作业第3题；
3.分享交流：导学稿课后作业第4题.
学生课后完成.
分层次要求布置
作业，让不同的学生
都有所发展，激发学
生的学习热情. 七、板书设计
三角形“边角边”面积公式
单位正方形面积为1 数形结合
单位菱形AEFG的面积叫做A
的正弦
sin0°=0，sin90°=1；sin180°=0 .
八、教学反思
重建三角，让学数学更容易，让学生喜欢学数学1．以问题引发疑惑，激发求知欲，导入新课
学习应该是有吸引力的，为此设计先已知底和高求三角形的面积，改变条件，已知“边角边”求三角形面积，引发认知冲突，产生疑惑，导入新课，激发学生的探求欲望，使之更符合学生的认知水平.
2. 用面积法定义正弦，重建三角
（1）用单位菱形的面积来定义正弦，学生看得见，摸得着，形象直观，不依赖相似的知识和线段的比值的概念，难度降低了，学生容易理解，推导正弦的性质也来得快．从教学
效果来看，学生都掌握得较好.实践证明，正弦可以在七年级，学习了线段、角以后教学，
从此，学生学习三角形、四边形就有了强大的武器，可以进行定量的计算．（2）用单位菱形的面积来定义正弦，锐角、直角、钝角都有了正弦，范围扩大了，方便解决各种三角形的问题，现行初中教材要到九年级，而且只学锐角三角形的正弦，无法解
决斜三角形的问题．
sin90就是单位正方形的面积，等于1，不像传统定义，用逼近的办法来解释直角三（3）0
角形的正弦，表达更严谨了．
3．注重学习过程中数学思想方法的渗透
本课在探索三角形“边角边”面积公式过程中，渗透了函数、转化、类比、归纳、抽象概括、数形结合等思想.
4．数学学习过程的核心体现是“问题解决”
从问出发题，用面积法定义正弦，探索解决问题的方法，最后解决问题，得出三角形“边角边”面积公式. 强化在问题解决中落实，学习快乐也从问题解决中获得.老师的所有努力，就是用问题激发兴趣，用问题引发思考，用问题强化数学规范，用问题开发学生的思维潜能.
由于我在认识方面的局限及教学能力方面的不足，在这堂课的教学处理中，教学过程中还有许多自己还没发现的问题，恳请在座的张院士、刘涛所长和各位专家批评指正！。