《高等数学》第1章函数与极限1-3函数的极限

第三节 函数的极限
• 一、函数极限的定义 • 二、函数极限的性质 • 三、小结 练习题
一、函数极限的定义
1、自变量趋于无穷大时函数的极限
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势 . x
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问题:函数 y f ( x)在 x 的过程中, 对应 函数值 f ( x)无限趋近于确定值 A.
2
,
lim
x1
x2 1 x1
2.
3.单侧极限:
例如,
设
f
(
x
)
1 x, x 2 1,
证明lim f ( x) 1. x0
x0 x0
y y 1 x
1
o
分x 0和x 0两种情况分别讨论
y x2 1 x
x从左侧无限趋近 x0 , 记作x x0 0;
x从右侧无限趋近 x0 , 记作x x0 0;
例1 证明 lim sin x 0. x x
y sin x x
证
sin x 0 sin x
x
x
1 x
1 X
,
0,
取
X
1
,
则当 x X时恒有
sin x 0 , x
故 lim sin x 0. x x
定义 : 如果 lim f ( x) c,则直线 y c是函数y f ( x) x
x 0
lim (1) 1 x 0
1
o
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x
1
lim x lim x lim 1 1
x x x0
x0
x 0
左右极限存在但不相等, lim f ( x) 不存在. x0
二、函数极限的性质
1.有界性
定理 若在某个过程下, f (x)有极限,则存在 过程的一个时刻,在此时刻以后 f ( x)有界.
宽为2的带形区域内. o
x0 x0 x0
x
显然,找到一个 后, 越小越好 .
例2 证明 lim C C , (C为常数). x x0
证 任给 0, 任取 0, 当0 x x0 时,
f (x) A C C
0
成立,
lim
x x0
C
C.
例3
证明
lim
x x0
x
x0 .
证 f ( x) A x x0 , 任给 0, 取 ,
左极限 0, 0,使当x0 x x0时, 恒有 f ( x) A .
记作 lim f ( x) A 或 x x0 0
f ( x0 0) A.
(
x
x
0
)
右极限 0, 0,使当x0 x x0 时,
恒有 f ( x) A .
记作 lim f ( x) A 或 x x0 0 ( x x0 )
2.唯一性
定理 若lim f ( x)存在,则极限唯一.
3.函数极限的局部保号性
定理(保号性) 若 lim f ( x) A,且A 0(或A 0), x x0
则 0,当x U 0( x0 ,)时, f ( x) 0(或f ( x) 0).
推论
若 lim x x0
f
(x)
A,且
0,当x U 0( x0 ,)时,
注意 : { x 0 x x0 }
f ( x0 0) A.
{ x 0 x x0 } { x x x0 0}
定理 : lim x x0
f (x)
A
f (x0
0)
f (x0
0)
A.
例6 验证 lim x 不存在. x0 x
y
证 lim x lim x
x x x0
" "定义 0, 0,使当0 x x0 时,
恒有 f ( x) A .
注意：1.函数极限与 f ( x)在点 x0是否有定义无关 ;
2.与任意给定的正数 有关.
2、几何解释:
当x在x0的去心邻 域时,函数y f ( x) 图形完全落在以直
y
A
A
A
y f (x)
线y A为中心线,
20. x 情形 : lim f ( x) A x
0, X 0, 使当x X时, 恒有 f ( x) A .
定理 : lim f ( x) A lim f ( x) A且 lim f ( x) A.
x
x
x
3、几何解释:
y sin x x
A
X
X
当x X或x X时, 函数 y f ( x)图形完全落在以 直线y A为中心线, 宽为2的带形区域内.
1、定义：
定义 2 如果对于任意给定的正数(不论它多
么小),总存在正数,使得对于适合不等式
0 x x0 的一切 x,对应的函数值 f ( x)都 满足不等式 f ( x) A ,那末常数 A就叫函数
f ( x)当 x x0时的极限,记作
lim f ( x) A 或
x x0
f ( x) A(当x x0 )
lim f ( x) A 或 f ( x) A(当x )
x
" X "定义
lim f ( x) A
x
0, X 0,使当 x X时, 恒有 f ( x) A .
2、另两种情形:
10. x 情形 :
lim f ( x) A
x
0, X 0, 使当x X时, 恒有 f ( x) A .
当0 x x0 时, f ( x) A x x0 成立,
lim x x0
x
x0 .
例4
证明
lim
x1
x2 1 x1
2.
证 函数在点x=1处没有定义.
f (x) A
x2 x
1 1
2
x1
任给 0,
要使 f ( x) A , 只要取 ,
当0
x x0
时,
就有
x2 1 x1
通过上面演示实验的观察: 当 x 无限增大时 , f ( x) sin x 无限接近于 0.
x 问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近”.
f ( x) A 表示 f ( x) A任意小;
x X 表示x 的过程.
1、定义：
定义 1 如果对于任意给定的正数(不论它多么小),
总存在着正数 X ,使得对于适合不等式 x X 的一切 x,所对应的函数值 f ( x)都满足不等式 f ( x) A , 那末常数 A就叫函数 f ( x)当 x 时的极限,记作
的图形的水平渐近线 .
2、自变量趋向有限值时函数的极限
问题:函数 y f (x)在 x x0的过程中,对应 函数值 f ( x)无限趋近于确定值 A.
f ( x) A 表示 f ( x) A 任意小;
0 x x0 表示x x0的过程.
x0
x0
x0 x
点x0的去心邻域, 体现x接近x0程度.