高中物理复合场专题复习(有界磁场)

习题课一 带电粒子在匀强磁场中的运动

一、带电粒子在直线边界磁场中的运动 1.基本问题

【例题1】如图所示,一束电子(电量为e)以速度V 垂直射入磁感应强度为B 、宽度为d 的匀强磁场,穿透磁场时的速度与电子原来的入射方向的夹角为300

.求: (1)电子的质量m

(2)电子在磁场中的运动时间t

【小结】处理带电粒子在匀强磁场中的运动的方法： 1、 找圆心、画轨迹（利用F ⊥v 或利用弦的中垂线）； 2、 定半径（几何法求半径或向心力公式求半径）

3、 求时间（t=

0360θ

×Ｔ或t=

v

s ）

注意：带电粒子在匀强磁场中的圆周运动具有对称性。

① 带电粒子如果从一直线边界进入又从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，入射速度方向、出射速度方向与边界的夹角相等； ② 在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出。

2.应用对称性可以快速地确定运动的轨迹。

【例题2】如图—所示，在y ＜0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy 平面并指向纸面外，磁感应强度为B.一带正电的粒子以速度υ0从O 点射入磁场，入射方向在xy 平面内，与x 轴正向的夹角为θ.若粒子射出磁场的位置与O 点的距离为l ，求该粒子的电量和质量之比

m

q 。 【审题】本题为一侧有边界的匀强磁场，粒子从一侧射入，一定从边界射出，只要根据对称规律①画出轨迹，并应用弦切角等于回旋角的一半，构建直角三角形即可求解。

【解析】根据带电粒子在有界磁场的对称性作出轨迹，如图9-5所示，找出圆心A ，向x 轴作垂线，垂足为H ，由与几何关系得： R L sin θ=

12

①

带电粒子在磁场中作圆周运动，由

qv B mv R

00

2

=

解得R mv qB

=

②

①②联立解得

q m v LB

=20sin θ 【总结】在应用一些特殊规律解题时，一定要明确规律适用的条件，准确地画出轨迹是关键。

2qBd m v

=

303603d t T v

π=

=

二、带电粒子在圆形边界磁场中的运动

【例题3】电视机的显像管中，电子（质量为m，带电量为e）束的偏转是用磁偏转技术实现的。电子束经过电压为U的加速电场后，进入一圆形匀强磁场区，如图9-6所示，磁场方向垂直于圆面，磁场区的中心为O，半径为r。当不加磁场时，电子束将通过O点打到屏幕的中心M点。为了让电子束射到屏幕边缘P，需要加磁场，使电子束偏转一已知角度θ，此时磁场的磁感强度B应为多少？

【审题】本题给定的磁场区域为圆形，粒子入射方向已知，则由对称性，出射方向一定沿径向，而粒子出磁场后作匀速直线运动，相当于知道了出射方向，作入射方向和出射方向的垂线即可确定圆心，构建出与磁场区域半径r和轨迹半径R有关的直角三角形即可求解。

【解析】如图9-7所示，电子在匀强磁场中做圆周运动，圆周上的两点a、b分别为进入和射出的点。做a、b点速度的垂线，交点O1即为轨迹圆的圆心。

设电子进入磁场时的速度为v，对电子在电场中的运动过程有：

2

mv

eU

2

=

对电子在磁场中的运动（设轨道半径为R）有：

R

v

m

evB

2

=

由图可知，偏转角θ与r、R的关系为：

R

r

2

tan=

θ

联立以上三式解得：

2

tan

e

mU

2

r

1

B

θ

=

【总结】本题为基本的带电粒子在磁场中的运动，题目中已知入射方向，出射方向要由粒子射出磁场后做匀速直线运动打到P点判断出，然后根据第一种确定圆心的方法即可求解。

三、带电粒子在磁场中运动的极值问题

寻找产生极值的条件：

①直径是圆的最大弦；

②同一圆中大弦对应大的圆心角；

③由轨迹确定半径的极值。

【例题4】如图半径r＝10cm的圆形区域内有匀强磁场，其边界跟y轴在坐标原点O处相切；磁场B＝0．33T垂直于纸面向内，在O处有一放射源S可沿纸面向各个方向射出速率均为v=3.2×106m/s的α

粒子；已知α粒子质量为m=6.6×10-27kg ，电量q=3.2×10-19

c ，则α粒子通过磁场空间的最大偏转角θ及在磁场中运动的最长时间t 各多少？

【审题】本题α粒子速率一定，所以在磁场中圆周运动半径一定，由于α粒子从点O 进入磁场的方向不同故其相应的轨迹与出场位置均不同，则粒子通过磁场的速度偏向角θ不同，要使α粒子在运动中通过磁场区域的偏转角θ最大，则必使粒子在磁场中运动经过的弦长最大，因而圆形磁场区域的直径即为粒子在磁场中运动所经过的最大弦，依此作出α粒子的运动轨迹进行求解。 【解析】α粒子在匀强磁场后作匀速圆周运动的运动半径：r 2m 2.0qB

mv

R ===

α粒子从点O 入磁场而从点P 出磁场的轨迹如图圆O /

所对应的圆弧所示，该弧所对的圆心角即为最大偏转角θ。

由上面计算知△SO /

P 必为等边三角形，故θ＝60° 此过程中粒子在磁场中运动的时间由即为

粒子在磁场中运动的最长时间。

【总结】当速度一定时，弧长（或弦长）越长，圆周角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。

四、带电粒子在磁场中运动的多解问题

【例题5】长为L ，间距也为L 的两平行金属板间有垂直向里的匀强磁场，如图所示，磁感应强度为B ，今有质量为m 、带电量为q 的正离子从平行板左端中点以平行于金属板的方向射入磁场。欲使离子不打在极板上，入射离子的速度大小应满足的条件是 ( )

A.m qBL v 4<

B.m qBL

v 45> C.m qBL v >

D.m

qBL

v m qBL 454<< 解析：由左手定则判得粒子在磁场中间向上偏，而作匀速圆周运动，很明显，圆周运动的半径大于某

值r 1时粒子可以从极板右边穿出，而半径小于某值r 2时粒子可从极板的左边穿出，现在问题归结为求粒子能在右边穿出时r 的最小值r 1以及粒子在左边穿出时r 的最大值r 2，由几何知识得：

粒子擦着板从右边穿出时，圆心在O 点，有： r 12＝L 2+（r 1-L /2）2得r 1=5L /4，

又由于r 1=mv 1/Bq 得v 1=5BqL /4m ，∴v >5BqL /4m 时粒子能从右边穿出。 粒子擦着上板从左边穿出时，圆心在O ＇点，有r 2＝L /4，又由r 2＝mv 2/Bq =L /4

得v 2＝BqL /4m

∴v 2

【总结】本题只问带电粒子在洛伦兹力作用下飞出有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，

它可能穿过去了，也可能转过180o

从入射界面这边反向飞出，于是形成多解，在解题时一定要考虑周全。