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14
结束
例7.5.7 设
外一点,求解:设平面法向量为
是平面
到平面的距离d . 在平面上取一点
,则P0 到平面的距离为 P 1P 0n PP d Prj n 1 0 n

A( x0 x1 ) B( y0 y1 ) C ( z0 z1 ) A2 B 2 C 2 A x1 B y1 C z1 D 0
两平面夹角的余弦为
即
13 《高等数学》电子教案
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例7.5.5 一平面通过两点解: 设所求平面的法向量为
方程为
和
且则所求平面即
垂直于平面∏: x + y + z = 0, 求其方程 .
的法向量
故
因此有
约去C , 得
即
《高等数学》电子教案
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故所求方程为:
《高等数学》电子教案
截距式方程.
截距
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结束
三、两平面的夹角
平面平面
法向量
两平面法向量的夹角(常为锐角) 称为两平面的夹角. 相交平行
11 《高等数学》电子教案
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特别地,有：
12 《高等数学》电子教案
12 首页上一页下一页结束
《高等数学》电子教案
8 首页上一页下一页结束
8
例7.5.3 求通过 z 轴和点( 6, – 3, 2) 的平面方程. 解: 因平面通过 z 轴 , 设所求平面方程为代入已知点即故所求平面方程得
9 《高等数学》电子教案
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例7.5.4 求通过点的平面方程. 解: 设所求平面方程为则
1. 平面基本方程:
一般式
点法式截距式
17 《高等数学》电子教案
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2. 平面与平面之间的关系
平面平面垂直: 平行:
夹角公式:
18 《高等数学》电子教案
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课外练习
习题7.5 1；6; 7
作业
习题7.5 2; 3; 4; 5; 8; 9
P 1
(点到平面的距离公式)
《高等数学》电子教案
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结束
例求内切于平面 x + y + z = 1 与三个坐标面所构成四面体的球面方程.（补充题）解: 设球心为则它位于第一卦限,且
从而
因此所求球面方程为
16 《高等数学》电子教案
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内容小结
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第七章
7.5 平面及方程
（The Planes and Its Equations)
一、平面的点法式方程二、平面的一般方程三、两平面的夹角四、小结与思考练习
2 《高等数学》电子教案
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一、平面的点法式方程
设一平面通过已知点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 且垂直于非零向量 n A , B , C ,求该平面的方程.
课题
§7.5 平面及方程
教具用品
多媒体
教学目的： ①熟悉平面的标准方程，以及根据已知条件求平面方程
②会求平面与平面的夹角
③点到直线以及点到平面的距离. 重点： ①平面的点法式方程 ②平面与平面位置关系的判定条件 ③点到平面的距离难点：平面方程及其求法教学方法：讲授
《高等数学》电子教案
时间分配：90分钟
任取点M ( x, y, z ) , 则有
故
①
称①式为平面的点法式方程,
《高等数学》电子教案
首页
法向量.
3
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例7.5.1 求过三点
为法线的平面的方程.
且与
解: 由平面的点法式方程,所求方程为
即
4 《高等数学》电子教案
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例7.5.2 求过三点的平面的方程. 解1: 取
19 《高等数学》电子教案
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的平面, 此方程称为平面的一般
7
特殊情形
• 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示通过原点的平面; • 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量平面平行于 x 轴; • A x+C z+D = 0 表示平行于 y 轴的平面; • A x+B y+D = 0 表示平行于 z 轴的平面; • C z + D = 0 表示平行于 xoy 面的平面; • A x + D =0 表示平行于 yoz 面的平面； • B y + D =0 表示平行于 zox 面的平面.
利用点法式得平面的方程即
5 《高等数学》电子教案
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解2:
设则
( A, B, C ) (4,1,0) 4 A B 0,
n M1M 3 ( A, B, C ) (3, 2,1) 3 A 2 B C 0,
从而得 B 4 A, C 11A, 令 A 1, 得利用点法式得平面的方程
பைடு நூலகம்
即
6 《高等数学》电子教案
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二、平面的一般方程
设有三元一次方程
(General Equation of a Plane)
⑴ 任取一组满足上述方程的数以上两式相减 , 得平面的点法式方程则
显然方程⑴与此点法式方程等价, 因此方程⑴的图形是
法向量为方程.
《高等数学》电子教案