等差数列与等比数列的综合应用(公开课课件)

课前热身
3. 等差数列｛ an ｝的前 m 项和为 30 ，前 2m 项和为 100 ， 则它的前3m项和为______. 210 4.已知b≠0，则b=- ac 是a、b、c成等比数列的( A ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既非充分也非必要条件 5.在等比数列｛an｝中，a5、a9是方程 7x2+18x+7=0的两个根，则a7( A )
5.重要性质： （ 1）
m+n=p+q
a a =a a (等比数列）
m n p q
am+an=ap+aq（等差数列）
特别地 m+n=2p am+an＝2ap(等差数列)
am· an＝a2p(等比数列)
返回
（2)等差:am=an +(m-n)d
等比:am=an q(m-n)(q≠0)
(3)sk,s2k-s3k;s3k-s2k, …也是 等差（比）数列 (4) an=
1 2 3 a1 s1 a1 6 2 a2 s 2 s 1
小
结
对等差等比综合问题 1。要正确分清题目究竟是等差还是等比，不 能混淆。 2。掌握设元的技巧； 3。要掌握分析数列问题的基本思想方法：抓 两头，凑中间。
1.三个正数成等比数列，若第2个数增加4，则已知的等比数
列变成等差数列，若再把第3个数增加32，则它又变成等比 数列，求这三个数。 2.已知等差数列的通项公式an=35-3n, ①n为何值时，前n项 的和最大？②n满足什么条件时Sn＜0 3.设｛an｝是等差数列，Sn表示它的前n项的和，已知对任 何正整数n,均有 S n 1 a12 3 , 求数列｛an｝的公差d与 6 2n a1..
6＜n≤7, ∵n为正整数 ∴n=7.而当n=7时，a7=0 ∴s6=s7=Smin=-42
延伸·拓展
1. 三个正数成等比数列，若第 2 个数增加 4 ，则已知的 等比数列变成等差数列，若再把第3个数增加32，则它 又变成等比数列，求这三个数。 设三个正数为a,aq,aq2,(a>0,q>0),则 2(aq+4)=a+aq2 (aq+4)2=a(aq2+32)

s1 sn-sn-1
(n=1) (n≥2)
a1 2(n 1) an 4n 1(n 2) 1.在数列{an}中Sn=2n2+n-1,则通项公式为 ___________. 2 {an} 是 等 差 数 列 ， 且 a1+a4+a8+a12+a15=2， 则 4/5 a3+a13=_______.
解：∵a1=2×1-14=-12,
n(a1 an ) n(12 2n 14) 13 2 169 2 sn n 13n (n ) 2 2 2 4 ∴ sn 是关于整数 n 的二次方程，故当 n=6 或 n=7 时有最小值 -42
方法二：当一个等差数列的首项为负，公差为正时，必存在 一个正整数n，使an≤0,an+1＞0,此时所确定的正整数 n必须使Sn 最小，故 an=2n-14≤0且an+1=2(n+1)-14=2n-12＞0,解得

【解题回顾】

x2=(14-x-y)y 2y=wk.baidu.com+6-x-y
为了便于解方程，应该充分分析条件的特征,尽量减少未 知数的个数, 用最少的未知数表达出数列的有关项的数 量关系，促使复杂的问题转化为较简单的问题，以获得最 佳的解决方法。
2.已知等差数列的通项公式为an=2n-14,前n项的和为 sn。当n为何值时， sn最小值，并求出这个最小值。
等差数列与等比数列 的综合应用
(第一课时）
要点·疑点·考点 课
前 热 身 能力·思维·方法 延伸·拓展 小结
要点·疑点·考点
1.等差(比)数列的定义 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差 (比)等于同一个常数，这个数列叫做等差(比)数列. 2.通项公式 等差 an=a1+(n-1)d，等比an=a1qn-1 3.求和公式 等差数列Sn=

2.已知等差数列的通项公式an=35-3n, ①n 为何值时，前n项的和最大？②n满足什么 条件时Sn＜0
a1=32,
n(a1 an ) sn 2
3.设｛an｝是等差数列，Sn表示它的前n项的和，已知 对任何正整数n,均有 S n 1 a12 3 , 求数列｛an｝ 6 2n 的公差d与a1..
n(a1 an ) 2 n( n 1) d na1 2
na1 (q=1） 等比数列Sn=
a 1 (1 q n ) 1q a1 a n q , (q 1) 1 q
4.等差(比)中项 如果在a、b中间插入一个数A，使a、A、b成等差 (比数 列，则A叫a、b的等差(比)中项．A＝(a+b)/2或A＝± ab
作 业

a=18 x=2 d=8
∴四个数分别为8，4，2，0或18，-6，2，10
1.设有四个数，前三个成等比数列，其和为14，后三 个成等差数列，其和为6，求这四个数。
方法二： 设四个数为a,aq,aq2,b, 则 a+aq+aq2=14 2aq2=aq+b aq+aq2+b=6
方法三：
设四个数为14-x-y,x,y, 6-x-y,则
(A)-1
(B)1 (C)±1
(D)以上都不正确
能力·思维·方法
1.设有四个数，前三个成等比数列，其和为 14，后三个成 等差数列，其和为6，求这四个数。
解：由条件知，设所求的四个数分别为a,x-d,x,x+d,
则

a+x-d+x=14 解得
(x-d)2=ax
x-d+x+x+d=6

a=8 x=2 d=-2 或