2018-2019学年北京市朝阳区高二下学期期末数学试题

2018-2019学年北京市朝阳区高二下学期期末数学试题
一、单选题
1．已知集合{}(1)0A x x x =+≤，{}
1B x x =<-，则A B =U （ ） A ．{}
1x x ≥- B ．{}
1x x >- C ．{}
0x x ≤ D ．∅
【答案】C
【解析】化简集合A ，求出并集即可. 【详解】
{|10}A x x =-≤≤Q {|0}A B x x ∴⋃=≤
故选：C 【点睛】
本题主要考查了集合的并集，属于基础题. 2．已知x ，y ∈R ，且0x y >>，则（ ）
A ．11x y
>
B ．11()()22
x y
<
C ．1
122
x y <
D ．sin sin x y >
【答案】B
【解析】取特殊值排除ACD 选项，由指数函数12x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
的单调性证明不等式，即可得出正确答案. 【详解】 当1
1,2
x y ==
时，1112x y =<=，则A 错误；
12x
y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
在R 上单调递减，x y >，则11()()22x y <，则B 正确；
当4,1x y ==时，1
1
2221x y =>=，则C 错误； 当3,22
x y ππ
=
=时，sin 1sin 1x y =-<=，则D 错误；
故选：B 【点睛】
本题主要考查了由条件判断不等式是否成立，属于中档题.
3．如果函数()y f x =在[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线，那么“()()0f a f b ⋅<”是“函数()y f x =在(,)a b 内有零点”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由零点存在性定理得出“若()()0f a f b ⋅<，则函数()y f x =在(,)a b 内有零点”举反例即可得出正确答案. 【详解】
由零点存在性定理可知，若()()0f a f b ⋅<，则函数()y f x =在(,)a b 内有零点
而若函数()y f x =在(,)a b 内有零点，则()()0f a f b ⋅<不一定成立，比如2()f x x
=在区间(2,2)-内有零点，但(2)(2)0f f -⋅>
所以“()()0f a f b ⋅<”是“函数()y f x =在(,)a b 内有零点”的充分而不必要条件 故选：A 【点睛】
本题主要考查了充分不必要条件的判断，属于中档题. 4．二项式6
1(2)x x
-展开式中的常数项为（ ） A ．960- B ．160- C ．160 D ．960
【答案】B
【解析】求出二项展开式的通项，使得x 的指数为0，即可得出常数项. 【详解】 通项为()
616626
6(2)
2(1)r
r r
r r r r C x x C x -----=-⋅
6203r r -=⇒=Q
∴常数项为33
362(1)160C ⋅-=-
故选：B 【点睛】
本题主要考查了利用二项式定理求常数项，属于基础题. 5．已知π(,π)2
α∈，π1
tan()47
α+=，则sin cos αα+= （ ） A ．17
-
B ．25-
C ．1
5- D ．15
【答案】C
【解析】由两角和的正切公式得出3
sin cos 4
αα=-
，结合平方关系求出43
cos ,sin 55
αα=-=，即可得出sin cos αα+的值.
【详解】
1tan 1tan 41tan 7πααα+⎛
⎫+== ⎪-⎝⎭Q
3tan 4
α∴=-，即3
sin cos 4αα=-
由平方关系得出2
23cos cos 14αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭
，解得：43cos ,sin 55αα=-=
341
sin cos 555
αα+=
-=- 故选：C 【点睛】
本题主要考查了两角和的正切公式，平方关系，属于中档题. 6．将函数sin y x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
2
倍（纵坐标不变），再将所得图象上所有的点向左平移π
4
个单位长度，则所得图象对应的函数解析式为（ ） A ．sin(2)4
y x π
=+
B ．sin()24
x y π
=+
C ．cos 2
x y = D ．cos 2y x =
【答案】D
【解析】由正弦函数的周期变换以及平移变换即可得出正确答案. 【详解】
函数sin y x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的
1
2
倍（纵坐标不变）得到sin 2y x =，再将所得图象上所有的点向左平移
π
4
个单位长度，得到sin 2sin 2cos 242y x x x ππ⎛⎫⎛⎫
=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
故选：D 【点睛】
本题主要考查了正弦函数的周期变换以及平移变换，属于中档题.
7．构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2BD AD =，则DEF V 与ABC V 的面积之比为（ ）
A ．
1
2
B ．
13
C ．
15
D ．
17
【答案】D
【解析】由题意得出点D 为AF 的中点，由余弦定理得出7AB AD =，结合三角形
面积公式得出正确答案. 【详解】
2,BD AD AF BD ==Q ，2AF AD ∴=，即点D 为AF 的中点
由余弦定理得：2222cos120AB AD BD AD BD ︒⋅-=+ 解得：7AB AD =
)
22ABC
1
()sin 601
217sin 6072
DEF AD S S AD ︒
︒
∴
==V V 故选：D 【点睛】
本题主要考查了余弦定理以及三角形的面积公式，属于中档题.
8．某校有6名志愿者，在放假的第一天去北京世园会的中国馆服务，任务是组织游客参加“祝福祖国征集留言”、“欢乐世园共绘展板”、“传递祝福发放彩绳”三项活动，其中1人负责“征集留言”，2人负责“共绘展板”，3人负责“发放彩绳”，则不同的分配方案共有（ ） A ．30种 B ．60种
C ．120种
D ．180种
【答案】B
【解析】从6人中选1人负责“征集留言”，从剩下的人中选2人负责“共绘展板”，再从
剩下的人中选3人负责“发放彩绳，即可得出不同的分配方案. 【详解】
从6人中选1人负责“征集留言”，从剩下的人中选2人负责“共绘展板”，再从剩下的人
中选3人负责“发放彩绳，则不同的分配方案共有123
65360C C C =种
故选：B 【点睛】
本题主要考查了分组分配问题，属于基础题.
9．函数()x x
e e
f x x
-+=的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】根据解析式依次求出函数的定义域、奇偶性、函数值，用排除法得出结论． 【详解】
解：∵()x x
e e
f x x -+=，∴函数的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，
又()()x x
e e
f x f x x
-+==--，
则函数()x x
e e
f x x
-+=是奇函数，图象关于原点对称，故排除A 选项；
又()1
110f e e
=+>>，故排除C 、D 两个选项； 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查函数图象的识别，一般根据函数的定义域、奇偶性、特殊点的函数值、单
调性解题，一般用排除法，属于中档题．
10．已知函数()()sin 21f x k x x k R =++∈，当k ∈(,2)(2,)-∞-+∞U 时，()f x 在
()0,2π内的极值点的个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】C
【解析】求导令导函数等于0，得出2
cos x k
=-
，将问题转化为函数()cos g x x =，()0,2p ，2
()h x x
=-，(,2)(2,)x ∈-∞-⋃+∞的交点问题，画出图象即可判断.
【详解】
令()cos 20f x k x '=+=得出2cos x k
=-
令函数()cos g x x =，()0,2p ，2
()h x x
=-，(,2)(2,)x ∈-∞-⋃+∞ 它们的图象如下图所示
由图可知，函数()cos g x x =，()0,2p ，2
()h x x
=-
，(,2)(2,)x ∈-∞-⋃+∞有两个不同的交点，则()f x 在()0,2p 内的极值点的个数为2个 故选：C 【点睛】
本题主要考查了求函数零点或方程的根的个数，属于中档题.
二、填空题
11．2
3
228log 6log 3+-=__________．
【答案】5
【解析】利用指数和对数的运算即可求解. 【详解】
()
22333
222
6
8log 6log 32
log 4153
+-=+=+= 故答案为：5 【点睛】
本题主要考查了指数与对数的运算，属于基础题. 12．函数1
()1(0)f x x x x
=-->的值域为_______． 【答案】(,1]-∞-
【解析】利用导数求出函数()f x 的单调性，由单调性即可得出值域. 【详解】
222
11
()1x x f x x
-+'=-+= 当()001f x x '>⇒<< ，当()01f x x '<⇒>
所以函数()f x 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减 则max ()(1)1111f x f ==--=- 即函数()f x 的值域为(,1]-∞- 故答案为：(,1]-∞- 【点睛】
本题主要考查了利用导数求函数的值域，属于基础题.
13．若小明在参加理、化、生三门课程的等级性考试中，取得等级A 的概率均为
3
5
，且三门课程的成绩是否取得等级A 互不影响．则小明在这三门课程的等级性考试中恰有两门取得等级A 的概率为_______．
【答案】54125
【解析】利用n 次独立重复试验的公式即可求解.
【详解】
这三门课程的等级性考试取得的等级可看成进行3次相互独立的重复试验
因而小明在这三门课程的等级性考试中恰有两门取得等级A 的概率为
2
233354155125
P C ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭ 故答案为：54125
【点睛】
本题主要考查了n 次独立重复试验的概率问题，属于基础题.
14．在ABC V 中，2sin sin cos b A B a B +=，则a
b
=_______．
【解析】由正弦定理的边化角公式化简得出sin A B =，再次利用正弦定理的边
化角公式得出sin sin a A b B
=. 【详解】
由正弦定理的边化角公式得出22sin sin sin cos A B A B B ⋅+⋅=
即sin A B =
所以
sin sin a A b B
==
【点睛】
本题主要考查了正弦定理的边化角公式，属于中档题.
15．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图1）．因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（如图2）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．因筒车上盛水筒的运动具有周期性，可以考虑利用三角函数模型刻画盛水筒（视为质点）的运动规律．将筒车抽象为一个几何图形，建立直角坐标系（如图3）．设经过t 秒后，筒车上的某个盛水筒M 从点P 0运动到点P ．由筒车的工作原理可知，这个盛水筒距离水面的高度H (单位: m )，由以下量所决定：筒车转轮的中心O 到水面的距离h ，筒车的半径r ，筒车转动的角速度ω（单位: /rad s ），盛水筒的初始位置P 0以及所经过的时间t (单位:s )．已知r =3m ，h =2m ，筒车每分钟转动(按逆时针方向)圈， 点P 0距离水面的高度为m ，若盛水筒M 从点P 0开始计算时间，则至少需要经过_______s 就可到达最高点；若将点P 距离水面的高度H 表示为时间t 的函数，则此函数表达式为_________．
图1 图2 图3 【答案】
20
3 ()3sin()2(0)206
≥H t t t ππ=++ 【解析】由题设条件求出初始位置0OP 与x 非负半轴的夹角，当P 第一次到达最高点时，求出所转过的弧度，根据筒车每秒钟转动的弧度，求出第一次到达最高点的时间，即可得出第一空；
由三角函数的定义得出动点P 的纵坐标，利用纵坐标求出点P 距离水面的高度H ，即可得出第二空. 【详解】
因为点P 0距离水面的高度为m ，则开始时0OP 与x 非负半轴的夹角为6
π
由题意可知，筒车每分钟转动(按逆时针方向)3π，即筒车每秒钟转动
36020
ππ
=
当P 第一次到达最高点时，所转过的弧度为263
π
π
π
-
=
，则所用时间为203320
π
π= 即若盛水筒M 从点P 0开始计算时间，则至少需要经过203
s
就可到达最高点；
设OP 与x 非负半轴的夹角为α，则20
6
t π
π
α=
+
由三角函数的定义可知点P 的纵坐标为sin 3sin 20620
6y OP t t πππ
π⎛⎫⎛⎫=+=+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
(0)t ≥
则点P 距离水面的高度H 的函数为()(2)3sin()2206
H t y t ππ
=--=++，(0)t ≥ 故答案为：20
3；()3sin()2(0)206
≥H t t t ππ=++ 【点睛】
本题主要考查了三角函数的定义的应用，属于中档题.
16．已知函数2
,0,()1,0,
x k x f x x x -+<⎧=⎨-≥⎩其中0k ≥．①若2k =，则()f x 的最小值为______；②关于x 的函数(())y f f x =有两个不同零点，则实数k 的取值范围是______．
【答案】1- [0,1)
【解析】①讨论0x <和0x ≥时，函数()f x 的单调性，由单调性得出函数()f x 的最小值；
②令()f x t =，则()y f t =，将函数(())y f f x =的零点问题，转化为函数()f x 与函数1y t ==的交点问题，讨论k 的范围，即可得出k 的范围. 【详解】
①当0x <时，2()f x x =-+在区间(,0)-∞上单调递减，则()2f x >
当0x ≥时，2
()1f x x =-在区间(0,)+∞上单调递增，则()(0)1f x f =-…
则()f x 的最小值为1- ②令()f x t =，则()y f t =
当[0,1)k ∈时，函数()f x 的图象如下图所示
则()01f t t =⇒=，则函数()f x 与函数1y t ==有两个交点，则[0,1)k ∈满足题意 当[)1,k ∈
+∞时，函数()f x 的图象如下图所示
则()01f t t =⇒=，则函数()f x 与函数1y t ==只有一个交点，则[)1,k ∈+∞不满足
题意
综上，[0,1)k ∈
故答案为：①1-②[0,1) 【点睛】
本题主要考查了由分段函数的单调性求最值以及由函数的零点个数求参数的范围，属于中档题.
三、解答题
17．已知函数2()sin cos f x x x x =． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；
（Ⅱ）若()f x 在[0,]m 上单调递增，求m 的最大值． 【答案】（Ⅰ）π；（Ⅱ）
π
12
【解析】（Ⅰ）利用二倍角的正弦与余弦公式以及辅助角公式化简函数()f x ，由周期公式求解即可；
（Ⅱ）由正弦函数的性质求出()f x 的单调递增区间，由题设条件得出
5[0,],1212m ππ⎡⎤
⊆-⎢⎥⎣⎦
，即可得出m 的最大值．
【详解】
解：（Ⅰ）因为2()sin cos f x x x x =+ 11cos2
sin 222
x x +=
1sin 222x x =
++
sin(2)3x π=++
． 所以()f x 的最小正周期为22
T π
π=
=．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知()sin 23f x x π⎛⎫
=+ ⎪
⎝
⎭． 由 222()2
3
2
k x k k π
π
π
ππ-
+
+
∈Z 剟
522266k x k ππππ-
+剟()k ∈Z 得 51212k x k ππ
ππ-
+剟()k ∈Z 所以()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡
⎤
-
+⎢⎥⎣
⎦
，()k ∈Z ． 要使得函数()f x 在[0,]m 上单调递增，只需5[0,],1212m ππ⎡⎤
⊆-
⎢⎥⎣⎦
． 所以0,12m π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
，m 的最大值为π
12． 【点睛】
本题主要考查了求正弦函数的最小正周期以及正弦型函数的单调性，属于中等题. 18．随着社会的进步与发展，中国的网民数量急剧增加.下表是中国从20092018-年网民人数及互联网普及率、手机网民人数（单位：亿）及手机网民普及率的相关数据.
（互联网普及率=（网民人数/人口总数）×100%；手机网民普及率=（手机网民人数/人口总数）×100%）
（Ⅰ）从20092018-这十年中随机选取一年，求该年手机网民人数占网民总人数比值超过80%的概率；
（Ⅱ）分别从网民人数超过6亿的年份中任选两年，记X 为手机网民普及率超过50%的年数，求X 的分布列及数学期望；
（Ⅲ）若记20092018-年中国网民人数的方差为21s ，手机网民人数的方差为22s ，试判断21s 与22s 的大小关系.（只需写出结论） 【答案】（Ⅰ）
35
；（Ⅱ）分布列见解析，1EX =；（Ⅲ）22
12s s < 【解析】（Ⅰ）由表格得出手机网民人数占网民总人数比值超过80%的年份，由概率公式计算即可；
（Ⅱ）由表格得出X 的可能取值，求出对应的概率，列出分布列，计算数学期望即可； （Ⅲ）观察两组数据，可以发现网民人数集中在5~8之间的人数多于手机网民人数，
则网民人数比较集中，而手机网民人数较为分散，由此可得出2212s s <.
【详解】
解：（Ⅰ）设事件A ：“从20092018~这十年中随机选取一年，该年手机网民人数占网民总人数比值超过80%”.
由题意可知：该年手机网民人数占网民总人数比值超过80%的年份为2013~2018，共6个 则63
()105
P A =
=. （Ⅱ）网民人数超过6亿的年份有2013~2018共六年，其中手机网民普及率超过50% 的年份有2016,2017,2018这3年.所以X 的取值为0,1,2.
所以232631(0)155C P X C ===
=， 11
33263(1)5C C P X C ===， 23261
(2)5
C P X C ===. 随机变量X 的分布列为
131
0121555
EX =⨯+⨯+⨯=.
（Ⅲ）22
12s s <.
【点睛】
本题主要考查了计算古典概型的概率，离散型随机变量的分布列，数学期望等，属于中档题.
19．设函数3
21()(1)41()3
f x ax a x x a =
-+++∈R ． （Ⅰ）当3a =时，求曲线()y f x =在点()()
1,f x 处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性．
【答案】（Ⅰ）30x y +-=；（Ⅱ）讨论见解析 【解析】（Ⅰ）利用导数的几何意义求解即可；
（Ⅱ）分类讨论参数a 的范围，利用导数证明单调性即可. 【详解】
解：（Ⅰ）当3a =时，32
()441f x x x x =-++
所以2
()384f x x x '=-+．
所以(1)2,(1)1f f '==-．
所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为30x y +-=． （Ⅱ）因为3
21()(1)413
f x ax a x x =
-+++， 所以2
()2(1)4(2)(2)f x ax a x ax x '
=-++=--．
（1）当0a =时，因为()2(2)f x x '
=--
由()0f x '>得2x <， 由()0f x '<得2x >，
所以()f x 在区间(,2)-∞内单调递增，在区间(2,)+∞内单调递减． （2）当0a ≠时，令()0f x '=，得1222,x x a
==． ① 当0a <时， 由()0f x '>，得
2
2x a
<<； 由()0f x '<，得2
x a
<
或2x >．
所以()f x 在区间2,2a ⎛⎫
⎪⎝⎭内单调递增，在区间2,a ⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭和(2,)+∞内单调递减．
②当01a <<时， 由()0f x '>得2x <或2
x a
>； 由()0f x '<得22x a
<<
． 所以()f x 在区间(,2)-∞和2,a ⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭内单调递增，在区间22,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
内单调递减． ③当1a =时，因为2()(2)0f x x '=-… 所以()f x 在区间(,)-∞+∞内单调递增． ④当1a >时，由()0f x '>得2
x a
<或2x >； 由()0f x '<得
2
2x a
<<． 所以()f x 在区间2,
a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和(2,)+∞内单调递增，在区间2,2a ⎛⎫
⎪⎝⎭
内单调递减． 综上可知，当0a =时，()f x 在区间(,2)-∞内单调递增，在区间(2,)+∞内单调递减；
当0a <时，()f x 在区间2,2a ⎛⎫
⎪⎝⎭内单调递增，在区间2,a ⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭和(2,)+∞内单调递减；
当01a <<时，()f x 在区间(,2)-∞和2,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭内单调递增，在区间22,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
内单调递减；
当1a =时，()f x 在区间(,)-∞+∞内单调递增； 当1a >时，()f x 在区间2,a ⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭和(2,)+∞内单调递增，在区间2,2a ⎛⎫
⎪⎝⎭
内单调递减． 【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义以及利用利用导数证明含参函数的单调性，属于中档题.
20．已知函数2()e (e)x f x a x ax =+--，(0)a ≤． （Ⅰ）当0a =时，求()f x 的最小值；
（Ⅱ）证明：当0a <时，函数()f x 在区间()
0,1内存在唯一零点．
【答案】（Ⅰ）0；（Ⅱ）证明见解析
【解析】（Ⅰ）利用导数求出函数()f x 的单调性，即可得出()f x 的最小值；
（Ⅱ）对函数()f x 求导得出()
f x ¢，构造函数()()
g x f x '=，利用导数得出函数()
f x '的单调性，结合零点存在性定理求解即可. 【详解】
解：（Ⅰ）当0a =时，()e e ,()e e x
x
f x x f x '=-=-
当(,1)x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 在区间(,1)-∞上单调递减． 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在区间(1,)+∞上单调递增． 故当1x =时，min ()(1)0f x f ==．
（Ⅱ） 由2
()()x f x e a e x ax =+--可知，(0)1,(1)0f f ==．
当0a <时，()e e (12)x
f x a x '=-+-
设()()g x f x '=，则()e 20x
g x a '=->
所以()g x 在区间(0,1)内单调递增，即()f x '
在区间(0,1)内单调递增．
又(0)1e 0,(1)0f a f a ''=-+<=-> 故存在唯一0(0,1)x ∈，使得()00f x '
=．
当()0,1x x ∈时，()0f x '>．
所以()f x 在区间()0,1x 内单调递增，此时()(1)0f x f <=． 当0(0,)x x ∈时，()0f x '<
所以()f x 在区间0(0,)x 上单调递减． 又因为0(0)10,()0f f x =><
故函数()f x 在区间0(0,)x 内有唯一零点． 所以函数()f x 在区间0(0,)x 内存在唯一零点． 【点睛】
本题主要考查了利用导数证明函数的单调性以及零点存在性定理的应用，属于中档题.
21．设集合{}123,,,n M x x x N *
=⋅⋅⋅⊆ *()n N ∈，如果存在M 的子集
{}12,,,n A a a a =L ，{}12,,,n B b b b =L ，{}12,,,n C c c c =L 同时满足如下三个条件：
①M A B C =U U ；
②A ，B ，C 两两交集为空集；
③()1,2,3,,i i i a b c i n +==⋅⋅⋅，则称集合M 具有性质Ω.
（Ⅰ） 已知集合{}{}1,2,5,6,7,9,1,2,3,4,5,6E F ==，请判断集合,E F 是否具有性质Ω，并说明理由；
（Ⅱ）设集合{}()
1,2,,3m M m m N *
=⋅⋅⋅∈，求证：具有性质Ω的集合m M 有无穷多个.
【答案】（Ⅰ）不具有，理由见解析；（Ⅱ）证明见解析
【解析】（Ⅰ）由条件易得集合E 具有性质Ω，对集合F 中的6进行讨论，利用题设条件得出集合F 不具有性质Ω；
（Ⅱ）利用反证法，假设具有性质Ω的集合m M 有限个，根据题设条件得出矛盾，即可证明具有性质Ω的集合m M 有无穷多个. 【详解】
解：(Ⅰ){1,2,5,6,7,9}E =具有性质Ω，如可取{1,2},{5,7},{6,9}A B C ===；
{1,2,3,4,5,6}F =不具有性质Ω；理由如下：
对于F 中的元素6，156+=或者246+=
如果156+=，那么剩下3个元素2,3,4，不满足条件； 如果246+=，那么剩下3个元素1,3,5，也不满足条件． 因此，集合{1,2,3,4,5,6}F =不具有性质Ω.
（Ⅱ）证明：假设符合条件的m M 只有有限个，设其中元素个数最多的为0m M . 对于0m M ，由题设可知，存在{}
012,,,m A a a a =L ，
012{,,,}m B b b b =L 012{,,,}m C c c c =L 满足条件. 构造如下集合
{}
011202,2,,2,1,3,,61m A a a a m =-L L {}
01120002,2,,2,9,91,,61m B b b b m m m =-+L L {}
01120002,2,,2,91,92,,12m C c c c m m m =++L L
由于{}
{}0001212120,,,,,,,,,,,1,2,3,,3m m m a a a b b b c c c m =L L L L
所以{}
{}00012121202,2,,2,2,2,,2,2,2,,22,4,6,,6m m m a a a b b b c c c m =L L L L 易验证1A ，1B ，1C 对集合040{1,2,,12}m M m =⋅⋅⋅满足条件，而004m m > 也就是说存在比0m M 的元素个数更多的集合04m M 具有性质Ω，与假设矛盾． 因此具有性质Ω的集合m M 有无穷多个. 【点睛】
本题主要考查了集合的应用，涉及了反证法的应用，属于较难题.。