17-3 数学分析全套课件
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度的模; l 与梯度向量反方向 时，方向导数取得 最小值 | grad f (P0 ) |
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问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方 向爬行．
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一、 方向导数
1.定义设函数 f ( x, y, z) 在点 P0( x0, y0, z0) 的某邻域 r
U (P0 ) R3 内有定义，l 为从点 P0 出发的射线. 任 r
给 P( x, y, z) l I U(P0 ), 记 | P0P |，若极限
沿着指向点 P1(3, 1, 2) 方向的方向导数.
例2 求 u x y z 在 (0, 0,1)处沿x2 y2 z2 1
在该点的外法线方向的方向导数。
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例3
求函数 z
Байду номын сангаас
1
x2 (a2
y b
2 2
)
在点(
a, 2
b )处沿曲线 2
x2 a2
y2 b2
1在这点的内法线方向的方向导数.
z z x z y . t (s,t ) x ( x, y) t (s,t ) y ( x, y) t (s,t) 微分的形式不变性 z f ( x, y)
dz z dx z dy. x y
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§3 方向导数与梯度
实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐 标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点 处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上 任意一点处的温度与该点到原点的距离成反 比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿 什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？
r f lim l lim
f (P) f (P0 )
0
0
存在,
则称此极限为函数
f
在点
P0
沿方向
r l
的方向
导数, 记作 rf l
,
P0
f
r l
(
P0
)
或
f
r l
(
x0
,
y0
,
z0
).
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2.结论
命题1 设 fx ( x0 , y0 , z0 ) 存在， l 分别为x 轴正、负
向，则
f
r l
(
P0
)
f x (P0 ) ;
f
r l
(
P0
)
f
x
(
P0
)
.
命题 2 若 f ( x, y, z) 在点 P0( x0 , y0, z0 ) 可微，则 f
在点 P0 沿任一方向
r l
的方向导数都存在,
且
f
r l
(
P0
)
f x (P0 )cos
f yr(P0 )cos
fz (P0 )cos .
其中
cos , cos , cos
z
为l
的方向余弦．
r
l
z P•
P0 •
O
x y
y
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对于二元函数 f ( x, y)
f
r l
(
x0
,
y0
)
f x ( x0 , y0 )cos
f y ( x0, y0 )cos .
其中 , 是 R2 中向量 lur的方向角．
例 1 设 f ( x, y, z) x y2 z3, 求 f 在点 P0(1,1,1) 处
例 1 设 f ( x, y, z) xy2 yz3, 试求 f 在点 P0(2,1,1) 处的梯度及它的模.
例2 r x2 y2 z2
求 grad(1)
r
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2.结论 f 在点 P0 可微时, f 在点 P0 的梯度方向是f 的
值增长最快的方向 ，且沿这一方向的变化率就是梯 r
例4 设函数
1, 当 0 y x2, x 时,
f (x, y) 0,
其余部分.
求证
f
在原点处沿任何方向
r l
都有
f r (0,0) 0. l
f ( x, y, z) P( x0 , y0 , z0 )
f ( x, y, z) 沿哪个方向的方向导数最大？
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二、 梯度
1.定义若 f ( x, y, z) 在点 P0( x0 , y0 , z0 ) 存在对所有自 变量的偏导数, 则称向量 ( fx (P0 ), f y (P0 ), fz (P0)) 为 函数 f 在点 P0 的梯度, 记作
grad f (P0 ) ( fx (P0 ), f y (P0 ), fz (P0 )).
上次课内容
微分的应用 z f ( x0 x, y0 y) f ( x0, y0 )
f x ( x0, y0 ) x f y ( x0, y0 ) y. 复合函数的求导法则
z z x z y , s (s,t ) x ( x, y) s (s,t ) y ( x, y) s (s,t)
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问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方 向爬行．
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一、 方向导数
1.定义设函数 f ( x, y, z) 在点 P0( x0, y0, z0) 的某邻域 r
U (P0 ) R3 内有定义，l 为从点 P0 出发的射线. 任 r
给 P( x, y, z) l I U(P0 ), 记 | P0P |，若极限
沿着指向点 P1(3, 1, 2) 方向的方向导数.
例2 求 u x y z 在 (0, 0,1)处沿x2 y2 z2 1
在该点的外法线方向的方向导数。
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例3
求函数 z
Байду номын сангаас
1
x2 (a2
y b
2 2
)
在点(
a, 2
b )处沿曲线 2
x2 a2
y2 b2
1在这点的内法线方向的方向导数.
z z x z y . t (s,t ) x ( x, y) t (s,t ) y ( x, y) t (s,t) 微分的形式不变性 z f ( x, y)
dz z dx z dy. x y
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§3 方向导数与梯度
实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐 标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点 处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上 任意一点处的温度与该点到原点的距离成反 比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿 什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？
r f lim l lim
f (P) f (P0 )
0
0
存在,
则称此极限为函数
f
在点
P0
沿方向
r l
的方向
导数, 记作 rf l
,
P0
f
r l
(
P0
)
或
f
r l
(
x0
,
y0
,
z0
).
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2.结论
命题1 设 fx ( x0 , y0 , z0 ) 存在， l 分别为x 轴正、负
向，则
f
r l
(
P0
)
f x (P0 ) ;
f
r l
(
P0
)
f
x
(
P0
)
.
命题 2 若 f ( x, y, z) 在点 P0( x0 , y0, z0 ) 可微，则 f
在点 P0 沿任一方向
r l
的方向导数都存在,
且
f
r l
(
P0
)
f x (P0 )cos
f yr(P0 )cos
fz (P0 )cos .
其中
cos , cos , cos
z
为l
的方向余弦．
r
l
z P•
P0 •
O
x y
y
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对于二元函数 f ( x, y)
f
r l
(
x0
,
y0
)
f x ( x0 , y0 )cos
f y ( x0, y0 )cos .
其中 , 是 R2 中向量 lur的方向角．
例 1 设 f ( x, y, z) x y2 z3, 求 f 在点 P0(1,1,1) 处
例 1 设 f ( x, y, z) xy2 yz3, 试求 f 在点 P0(2,1,1) 处的梯度及它的模.
例2 r x2 y2 z2
求 grad(1)
r
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2.结论 f 在点 P0 可微时, f 在点 P0 的梯度方向是f 的
值增长最快的方向 ，且沿这一方向的变化率就是梯 r
例4 设函数
1, 当 0 y x2, x 时,
f (x, y) 0,
其余部分.
求证
f
在原点处沿任何方向
r l
都有
f r (0,0) 0. l
f ( x, y, z) P( x0 , y0 , z0 )
f ( x, y, z) 沿哪个方向的方向导数最大？
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二、 梯度
1.定义若 f ( x, y, z) 在点 P0( x0 , y0 , z0 ) 存在对所有自 变量的偏导数, 则称向量 ( fx (P0 ), f y (P0 ), fz (P0)) 为 函数 f 在点 P0 的梯度, 记作
grad f (P0 ) ( fx (P0 ), f y (P0 ), fz (P0 )).
上次课内容
微分的应用 z f ( x0 x, y0 y) f ( x0, y0 )
f x ( x0, y0 ) x f y ( x0, y0 ) y. 复合函数的求导法则
z z x z y , s (s,t ) x ( x, y) s (s,t ) y ( x, y) s (s,t)