维纳滤波器课件

N
3
h2
Rsx N 1 RxxN 1 RxxN 2 RxxN 3
Rxx0 hN 1
Rsx 0
Rsx 1
P
Rsx 2
R
Rxx 0 Rxx 1 Rxx 2
Rxx 1 Rxx 0 Rxx 1
Rxx 2 Rxx 1 Rxx 0
RxxN 1
RxxN 2
Rxx N
3
Rsx N 1
平滑
N 1
sˆn hn ixi i0
滤波
n
sˆn hn ixi i0
预测
n1
sˆn hn ixi in1 p 这里我们主要考虑滤波问题，即……
n
sˆn hixn i, n 0, 1, , N 1 i0
sˆ0 h0
0
0
sˆ1 sˆ2
h1 h2
h0 h1
0
h0
sˆN 1
2E en
en h j
2Eenxn
j
0,
j 0, 1,
Eenxn j 0, j
任何时刻的估计误差都与用于估计的所有数据（即滤波器的输入） 正交
标准方程 (Wiener-Hopf equations):
Rsx m hi Rxx m i, m
i
Rxx m i E x n i x n m autocorrelation sequence of x n Rsx m E s n x n m cross-correlation sequence of s n and x n
将IIR滤波器分解为两部分
H(z) 1 G(z) B(z)
wn Az sn
xn
n
1 Bz G z sˆn
vn
Whitening Optimum causal
filter
filter for white
input
第一部分为白化滤波器（将输入信号变为白噪声） 第二部分为以白噪声为激励的最优因果滤波器。
维纳-霍夫方程 展开为矩阵形式
N 1
Rsx m hiRxxm i, m 0, 1, , N 1
i0
Rsx 0 Rxx0
Rsx 1
Rxx 1
Rsx 2
Rxx 2
Rxx 1 Rxx 0 Rxx 1
Rxx 2 Rxx 1 Rxx 0
RxxN 1 h0
RxxN 2
h1
Rxx
Ses z z1dz
Ses z Sssˆs z Sss z Ssˆs z
现代数字信号处理
第一章 维纳滤波
主要内容
• 1.1 维纳滤波问题描述 • 1.2 维纳FIR滤波器 • 1.3 维纳非因果IIR滤波器 • 1.4 维纳因果IIR滤波器 • 1.5 深入了解的预备知识 • 1.6 维纳IIR滤波器计算例子 • 1.7 维纳预测器
1.1 维纳滤波问题描述
xn 观察/测量数据
sn 真实信号
vn 加性噪声/干扰
sˆn x n hn i hi x n i 线性估计问题
en sn sˆn
估计误差
n E e2 n min hn
最小均方误差(MMSE)估计 (minimum mean-square error)
维纳滤波->对真实信号的最小均方误差估计问题.
线性估计根据其取值范围不同通常有下面几种情况:
minn
1
2j
u.c.
Sss z Hopt zSxsz z1dz
维纳滤波器的均方误差
minn
1
2j
u.c.
Sss z Hopt zSxsz z1dz
minn E e2n Eensn sˆn
Eensn Res0
Res m
1
2
j
c
Ses z zm1dz
min n
Res 0
1
2
j
u.c.
(1)dataP=E[s(n)x(n)], R=E[x(n)xT(n)] (2)hop =R-1P
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Wiener Filters
FIR维纳滤波器结构
x(m)
x(m 1)
x(m 2)
x(m p 1)
w Rxx1Pxs
s(m)
sˆ(m)
1.3 求解 Wiener-Hopf Equations --非因果 IIR滤波器
注意:
Wiener Filters
• A data-dependant linear least square error estimation
• Wiener-Hopf equation - solutions • Orthogonal equation - decorrelation
sˆn xnhn i hi x n i
hN 1
hN 2
hN 3
0 x0
0
x1
0 x2
h0 xN 1
问题在于估计滤波器的参数/单位冲激响应序列
维纳-霍夫（Wiener-Hopf）/标准方程
sˆn xnhn i hi x n i
en sn sˆn
正交方程 :
n E e2 n min hn
n h j
计算步骤
(1) 因式分解（谱分解定理）
Sxxz
2
Bz
B
z 1
(2) 分解为因果部分和非因果部分
Ssxz
B z1
Ssx z
B
z 1
Ssx z
B
z 1
(3) 计算系统函数
Hc
z
1
Bz
G(z)=
1
Bz
1
2
Ssx
z
B z1
(4) 计算冲激响应（逆Z变换）
(5) 计算最小均方误差
下标i的取值范围决定了FIR,非因果IIR，因果IIR
1.2 求解 Wiener-Hopf Equations --FIR滤波器
FIR (Finite Impulse Response) Wiener Filter
h h0 h1 hN 1T xn xn xn 1 xn N 1T
sˆn hTxn
RxxN 1 RxxN 2 RxxN 3
Rxx0
Esnxn
ExnxT n
P Rh or PT hT R
Solution:
hopt R 1P
sˆn hTxn PTR1xn E snxT n E xnxT n 1xn
练习
完成习题 2.9 (1)和2.9(2) 后 如何利用上面给出的公式计算 FIR 维纳滤波器的参数?
标准方程 :
Rsx m hiRxxm i, i
Solution :
m
Ssx z Hopt zSxxz
Hopt z
Ssx z Sxxz
hopt
n
1
2j
Hopt z z n1dz
1.4 求解 Wiener-Hopf Equations --因果 IIR滤波器
标准方程 :
Rsx m hiRxxm i, m 0 i0