导数--复合函数的导数练习题

函数求导

1. 简单函数的定义求导的方法（一差、二比、三取极限） （1）求函数的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；

（2）求平均变化率

x

x f x x f x y ∆-∆+=

∆∆)

()(00。 （3）取极限求导数=)(0'

x f x

x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000

2．导数与导函数的关系：特殊与一般的关系。函数在某一点)(0'

x f 的导数就是

导函数)(x f ，当0x x =时的函数值。 3．常用的导数公式及求导法则： （1）公式

①0'

=C ，（C 是常数）

②x x cos )(sin '

= ③x x sin )(cos '-=④1

'

)(-=n n nx x

⑤a a a x

x ln )('

=⑥x

x e e ='

)(

⑦a x x a ln 1)(log '

=

⑧x x 1)(ln '

= ⑨x x 2'cos 1)(tan =⑩（x

x 2'

sin 1)cot -

= （2）法则：'

'')]([)]([)]()([x g x f x g x f ±=±，

)()()()()]()(['''x f x g x g x f x g x f +=

)

()

()()()(])()([2'''x g x f x g x g x f x g x f -=

例：

（1）()

324y x x =- （2）sin x

y x

=

（3）3cos 4sin y x x =- （4）()2

23y x =+

（5）()ln 2y x =+

复合函数的导数

如果函数)(x ϕ在点x 处可导，函数f (u )在点u=)(x ϕ处可导，则复合函数y=

f (u )=f [)(x ϕ]在点x 处也可导，并且

(f [)(x ϕ])ˊ=[])(x f ϕ')(x ϕ' 或记作 x y '=u

y '•x u ' 熟记链式法则

若y= f (u )，u=)(x ϕ⇒ y= f [)(x ϕ]，则

x y '=)()(x u f ϕ''

若y= f (u )，u=)(v ϕ，v=)

(x ψ⇒ y= f [))((x ψϕ]，则

x y '=)()()(x v u f ψϕ'''

（2）复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成的，且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等函数。在求导时要由外到，逐层求导。

例1函数4

)31(1

x y -=

的导数.

解：4

)

31(1x y -=

4

)31(--=x ． 设4

-=u

y ，x u 31-=，则

x u x u y y '''⋅=x u x u )'31()'(4-⋅=- )3(45-⋅-=-u 55)31(1212---==x u 5

)

31(12

x -=

．

例2求5

1x

x

y -=的导数． 解：5

11⎪⎭

⎫

⎝⎛-=x x y ， '5

4

1151'⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⋅⎪

⎭⎫ ⎝⎛-=-x x x x y 2

5

4

)1()

1(1151x x x x x ----⋅

⎪⎭⎫

⎝⎛-=-

2

5

4)

1(1151x x x -⋅⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=-5

6

5

4

)1(51---=x x ． 例3 求下列函数的导数

x y 23-=

解：（1）x y

23-=

令u=3 -2x ，则有

y=

u ，u=3 -2x

由复合函数求导法则x u x u y y '•'='

有y ′=

()x u

x u )23('-'

=x

u 231)2(21--=-•

在运用复合函数的求导法则达到一定的熟练程度之后，可以不再写出中间变量u ，于是前面可以直接写出如下结果：

y ˊ=

x

x x

231)23(2321--

='-•-

在运用复合函数求导法则很熟练之后，可以更简练地写出求导过程：

y ˊ=

x

x

231)2(2321--

=-•-

例4求下列函数的导数 （1）y=

x 21-cos x （2）y=ln (x +2

1x +)

解：（1）y=x 21-cos x

由于y=

x 21-cos x 是两个函数x 21-与cos x 的乘积，

而其中x 21-又是复合函数，所以在对此函数求导时应先用乘积求导法则，而在求x 21-导数

时再用复合函数求导法则，于是

y ˊ=(x 21-)ˊcos x -x 21-sin x =

x x

cos 212)2(---x 21-sin x=

x

x 21cos ---x 21-sin x

（2）y=ln (x +21x +) 由于y=ln (x +

2

1x +)是u= x +

2

1x +与y=ln u 复合而成，所以对此函数求

导时，应先用复合函数求导法则，在求x u '时用函数和的求导法则，而求(

2

1x +)′的导数时再用一次复合函数的求导法则，所以

y ˊ=

2

11x x ++•[1+(

2

1x +)ˊ]=

2

11x x ++•⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛

++

21221x x

=2

11x

x ++•

2

2

11x

x x +++=

2

11x

+

例 5 设)1ln(++=x x y 求 y '. 解 利用复合函数求导法求导，得

)1(1

1])1[ln(2

22'++++='

++='x x x x x x y ])1(1[1122'++++=x x x