构造直角三角形巧解题

构造直角三角形巧解题
有些几何题，若能仔细观察、把握特征、抓住本质、恰当地构造直角三角形进行转化，就会收到化难为易、事半功倍的效果.下面举例介绍构造直角三角形解题的若干常用方法，供同学们复习时参考.
一、利用已知直角构造直角三角形
例1：如图1，在四边形ABCD 中，∠A=060，∠B=∠D=090，AB=2，CD=1.则BC 和AD 的长分别为_______和_______.
解析:考虑到图中含有090和060的角，若延长AD 、BC 相交于E ，则可以构造出Rt △AEB 和Rt △CED ，易知∠E=030，从而可求出DE=3，AE=4，BE=23，故AD=4-3，BC=23-2.
二、利用勾股定理构造直角三角形
例2：如图2，在四边形ABCD 中，AB=AD=8，∠A=060，∠ADC=0150，已知四边形ABCD 的周长为32，求四边形ABCD 的面积.
解析:四边形ABCD 是一个不规则的四边形，要求其面积，可设法变成特殊的三角形求解.连接BD ，则△ABD 是等边三角形， △BDC 是直角三角形，由于AB=AD=BD=8，，求△ABD 的面积不难解决，关键是求△BDC 的面积.可运用周长和勾股定理联合求出DC ，从而求出△BDC 的面积.
解答:连接BD.∵AB=AD ，∠A=060，∴△ABD 是等边三角形. ∴∠ADB=060，BD=AD=AB=8. 因为∠ADC=0150，∴∠BDC=090， 故△BDC 是直角三角形，
因为四边形ABCD 的周长为32， AB=AD=8， ∴BC+DC=32-16=16，BC=16-DC.
在Rt △BDC 中，222BC DC BD =+， 即()2
22168DC DC -=+.解得DC=6.
∴248621
=⨯⨯=∆BDC S .用勾股定理求出等边△ABD 的高为
3482
3
=⨯. 3163482
1
=⨯⨯=
∆ABD S .∴24316+=+=∆∆BDC ABD ABCD S S S 四. 说明:⑴求不规则的图形面积应用割补法把图形分解为特殊的图形;⑴四边形中通过添
图1
E
A
C
B
D
A
B
C D
图2
加辅助线构造直角三角形;⑶边长为a 的等边三角形的高为
a 2
3
，面积为243a . 三、利用高构造直角三角形
例3：如图3，等腰△ABC 的底边长为8cm ，腰长为5cm ，一动点P 在底边上从B 向C 以0.25cm/s 的速度移动，请你探究：当P 运动几秒时，P 点与顶点A 的连线PA 与腰垂直.
解析：本题是一道探究性的动态问题，假设P 在某一时刻有PA ⊥AC ，此时P 点运动了几秒，这是解决问题的着手点.设BP=x ，PC=8-x ，在Rt △PAC 中，由于PA 不知道，无法建立关系式.考虑△ABC 是等腰三角形，如作底边上的高AD ，则可用x 的代数式表示AP ，用勾股定理便可求出x ，进而求出运动时间.当P 点运动到D 与C 之间时，也存在AP ⊥AB 的情况，故要分类讨论.
解答：作底边BC 的高AD ，则AD ⊥BC ，垂足为D. 设BP=xcm ，PA ⊥AC.
由等腰三角形的性质知BD=DC=
2
1
BC=4cm. 在Rt △ADB 中，222AB BD AD =+， 94522222=-=-=BD AB AD ，∴AD=3 (cm). 在Rt △PAC 中， 222PC AC AP =+，∴()()2
22
28543x x -=+-+.
解得x=
47，即BP=4
7
(cm). P 点移动的时间为
4
7
÷0.25=7(s). 当P 点移动到D 点与C 点之间时，作P 点关于D 点的对称点P '， 则47=
'C P (cm).4
25478=-='P B (cm). 此时P 点的运动时间为
2525.04
25
=÷(s). 答：当P 点移动7(s)或25(s)时，PA 与腰垂直.
说明：动态探究问题的解答关键是把它在某一瞬间看做不动，即动中求静，抓住运动中的不变量进行探究.本例中等腰三角形“三线合一”的性质与勾股定理是构成解决问题的纽带，由于点P 是运动的，故要分类讨论.
四、利用勾股定理的逆定理构造直角三角形
例4:如图4，在△ABC 中，AB=5，AC=13，BC 边上的中线AD=6，求BC 的长.
A
B
C D
E
图4
A
C
图3
D
B
P
解析:注意到5，12，13恰为一组勾股数，因此加倍延长中线AD 到E ，连接CE ，将AB ，AC ，2AD 集中到同一△ACE 中，构成直角三角形，运用勾股定理求BC 的长.
解答:延长AD 到E ，使DE=AD ，连接CE. ∵AD 是BC 边上的中线， ∴BD=CD.
又AD=ED ， ∠ADB=∠EDC ， ∴△ADB ≌△EDC(SAS)， ∴CE=BA=5. 又AC=13，AE=2AD=12， ∴22213169125==+，即222AC AE CE =+， ∴△AEC 是直角三角形且∠E=090.
在Rt △DEC 中，222CE DE CD +=， ∴CD=，615622=+BC=2CD=2，61 ∴BC 边的长为261.
说明:遇到中线问题往往加倍延长，同时对勾股数应有灵敏的感觉，只要已知三角形三边的长，就应该用勾股定理的逆定理来判断三角形的形状.
灵活应用勾股定理
勾股定理在几何计算或验证中，均有十分广泛的应用，请看以下几例
一、计算问题
例1一个零件如图所示，已知AC=3厘米,AB=4厘米,BD=12厘米，求CD的长.
解：在Rt△ABC中,根据勾股定理知：
BC2＝AC2+AB2=32+42=25
在Rt△CBD中,根据勾股定理知：
CD2＝BC2+BD2=25+122=169
∵CD＞0
∴CD=13厘米
例2 如图在四边形ABCD中，已知四条边的比AB:BC:CD:DA＝2：2：3：1，且∠B ＝90°，则∠DAB的度数
分析：这道题涉及到角度的求解，需要利用到勾股定理的逆定理（如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．）
解：
设DA=m（m＞0）则AB＝2m BC=2m CD = 3m
在Rt△ABC中，由AB＝BC=2m知∠BAC＝45°，又由勾股定理得
AC2＝AB2+BC2=（2m）2+（2m ）2=8m 2
AC2+AD2=（8m）2 +m2=9m2
CD2=（3m）2=9m2
∴AC2+AD2 =CD2
从而∠DAC＝90°
∴∠DAB＝∠DAC+∠CAB=90°+45°=135°
二、推理验证
例3如图在长方形ABCD中，AB=5厘米．在CD边上找一点E，沿直线AE把△ABE 折叠，若点D恰好落在BC边上点Ｆ处，且△ABF的面积是30平方厘米，求DE的长．分析：本题涉及到折叠翻转的知识，需要注意的是在折叠或翻转过程中形成的轴对称关
系，然后利用勾股定理，通过设未知数解方程来求解．
解:因为△ABF 的面积是30平方厘米，AB=5厘米
所以
2
1
×5·BF ＝30 ，BF ＝12 在Rt △ABF 中，由勾股定理，得 AF 2=52+122＝169 所以AF=13
由题意，知△AFE ≌△A ＤＥ 所以AD ＝AF ＝13
所以BC=13 所以FC ＝BC －BF ＝13－12＝1 设EF ＝DE=x 则EC=5－x 在Rt △EFC 中，由勾股定理，得 EF 2＝EC 2+FC 2
所以x 2=（5－x ）2+12 解得
cm 513 即DE 的长是cm 5
13 三、折纸问题
近年来出现的折纸问题往往考察学生对轴对称 勾股定理等知识的理解及应用能力．下面举例说明：
例4 （山东初中数学竞赛）如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，将矩形沿AC 折叠，点D 落在D′处，则重叠部分△AFC 的面积为
解：△DCA 和 △D′CA 关于AC 对称，∴∠DCA=∠D′CA 又∵DC ∥AB ∴∠DCA=∠CAB ∴∠CAB=∠D′CA ∴AF=CF
设AF=x 则CF ＝X,BF=8－X
在Rt △BCF 中，由勾股定理得x 2=42+（8－x ）2 从而解得x=5 ∴Ｓ△ＡＦＣ＝102
4
52=⨯=⨯BC AF
例5 （北京市中学生数学邀请赛初二）如图正方形纸片ABCD 中,E 为BC 重点，折叠正方形，使点A 与点E 重合，压平后，得折痕MN ，设梯形ADMN 的面积为S 1 梯形BCMN 的面积为S 2 ，求S 1：S 2 的值．
解：过E 作EG ∥AB ，交MN 于F ，交AD 于G ． 很明显MN 垂直平分AE ，所以AN=NE ，△EFH ≌△ANH 所以EF=AN
设AN ＝NE ＝x,AB=2a 则BE ＝a,
BN=2a －x 由勾股定理：x 2=a 2+（2a －x ）2, 得x= a 4
5
那么FG ＝2a －
a 45=a 4
3 评析：以上题目，无论求面积，还是求长度，都有规律可循：首先根据图形特点及轴对称知识，找出一些相等的关系，设适当的未知数，然后归结到一个直角三角形中，把三个边长度标示出来，再运用勾股定理，列出方程，求出未知数，解这问题就迎刃而解了．。