构造直角三角形巧解题

构造直角三角形巧解题

有些几何题，若能仔细观察、把握特征、抓住本质、恰当地构造直角三角形进行转化，就会收到化难为易、事半功倍的效果.下面举例介绍构造直角三角形解题的若干常用方法，供同学们复习时参考.

一、利用已知直角构造直角三角形

例1：如图1，在四边形ABCD 中，∠A=060，∠B=∠D=090，AB=2，CD=1.则BC 和AD 的长分别为_______和_______.

解析:考虑到图中含有090和060的角，若延长AD 、BC 相交于E ，则可以构造出Rt △AEB 和Rt △CED ，易知∠E=030，从而可求出DE=3，AE=4，BE=23，故AD=4-3，BC=23-2.

二、利用勾股定理构造直角三角形

例2：如图2，在四边形ABCD 中，AB=AD=8，∠A=060，∠ADC=0150，已知四边形ABCD 的周长为32，求四边形ABCD 的面积.

解析:四边形ABCD 是一个不规则的四边形，要求其面积，可设法变成特殊的三角形求解.连接BD ，则△ABD 是等边三角形， △BDC 是直角三角形，由于AB=AD=BD=8，，求△ABD 的面积不难解决，关键是求△BDC 的面积.可运用周长和勾股定理联合求出DC ，从而求出△BDC 的面积.

解答:连接BD.∵AB=AD ，∠A=060，∴△ABD 是等边三角形. ∴∠ADB=060，BD=AD=AB=8. 因为∠ADC=0150，∴∠BDC=090， 故△BDC 是直角三角形，

因为四边形ABCD 的周长为32， AB=AD=8， ∴BC+DC=32-16=16，BC=16-DC.

在Rt △BDC 中，222BC DC BD =+， 即()2

22168DC DC -=+.解得DC=6.

∴248621

=⨯⨯=∆BDC S .用勾股定理求出等边△ABD 的高为

3482

3

=⨯. 3163482

1

=⨯⨯=

∆ABD S .∴24316+=+=∆∆BDC ABD ABCD S S S 四. 说明:⑴求不规则的图形面积应用割补法把图形分解为特殊的图形;⑴四边形中通过添

图1

E

A

C

B

D

A

B

C D

图2

加辅助线构造直角三角形;⑶边长为a 的等边三角形的高为

a 2

3

，面积为243a . 三、利用高构造直角三角形

例3：如图3，等腰△ABC 的底边长为8cm ，腰长为5cm ，一动点P 在底边上从B 向C 以0.25cm/s 的速度移动，请你探究：当P 运动几秒时，P 点与顶点A 的连线PA 与腰垂直.

解析：本题是一道探究性的动态问题，假设P 在某一时刻有PA ⊥AC ，此时P 点运动了几秒，这是解决问题的着手点.设BP=x ，PC=8-x ，在Rt △PAC 中，由于PA 不知道，无法建立关系式.考虑△ABC 是等腰三角形，如作底边上的高AD ，则可用x 的代数式表示AP ，用勾股定理便可求出x ，进而求出运动时间.当P 点运动到D 与C 之间时，也存在AP ⊥AB 的情况，故要分类讨论.

解答：作底边BC 的高AD ，则AD ⊥BC ，垂足为D. 设BP=xcm ，PA ⊥AC.

由等腰三角形的性质知BD=DC=

2

1

BC=4cm. 在Rt △ADB 中，222AB BD AD =+， 94522222=-=-=BD AB AD ，∴AD=3 (cm). 在Rt △PAC 中， 222PC AC AP =+，∴()()2

22

28543x x -=+-+.

解得x=

47，即BP=4

7

(cm). P 点移动的时间为

4

7

÷0.25=7(s). 当P 点移动到D 点与C 点之间时，作P 点关于D 点的对称点P '， 则47=

'C P (cm).4

25478=-='P B (cm). 此时P 点的运动时间为

2525.04

25

=÷(s). 答：当P 点移动7(s)或25(s)时，PA 与腰垂直.

说明：动态探究问题的解答关键是把它在某一瞬间看做不动，即动中求静，抓住运动中的不变量进行探究.本例中等腰三角形“三线合一”的性质与勾股定理是构成解决问题的纽带，由于点P 是运动的，故要分类讨论.

四、利用勾股定理的逆定理构造直角三角形

例4:如图4，在△ABC 中，AB=5，AC=13，BC 边上的中线AD=6，求BC 的长.

A

B

C D

E

图4

A

C

图3

D

B

P

解析:注意到5，12，13恰为一组勾股数，因此加倍延长中线AD 到E ，连接CE ，将AB ，AC ，2AD 集中到同一△ACE 中，构成直角三角形，运用勾股定理求BC 的长.

解答:延长AD 到E ，使DE=AD ，连接CE. ∵AD 是BC 边上的中线， ∴BD=CD.

又AD=ED ， ∠ADB=∠EDC ， ∴△ADB ≌△EDC(SAS)， ∴CE=BA=5. 又AC=13，AE=2AD=12， ∴22213169125==+，即222AC AE CE =+， ∴△AEC 是直角三角形且∠E=090.

在Rt △DEC 中，222CE DE CD +=， ∴CD=，615622=+BC=2CD=2，61 ∴BC 边的长为261.

说明:遇到中线问题往往加倍延长，同时对勾股数应有灵敏的感觉，只要已知三角形三边的长，就应该用勾股定理的逆定理来判断三角形的形状.