变量间的相关关系与线性回归方程

11．3 变量间的相关关系与线性回归方程

1．变量间的相关关系

常见的两变量之间的关系有两类：一类是确定性的函数关系，另一类是________；与函数关系不同，相关关系是一种________关系，带有随机性． 2．两个变量的线性相关

(1)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有____________，这条直线叫________．

(2)从散点图上看，如果点分布在从左下角到右上角的区域内，那么两个变量的这种相关关系称为________；如果点分布在从左上角到右下角的区域内，那么两个变量的这种相关关系称为________． (3)相关系数r ＝

∑∑∑===---

-n

j j

n i i

n

i i

i

y y

x x y y x x 1

2

1

2

1

)(

)()

)((，当r ＞0时，表示两个变量正相关；当r ＜0时，表示两个变量负相关．r

的绝对值越接近________，表示两个变量的线性相关性越强；r 的绝对值越接近________，表示两个变量的线性相关性越弱．通常当r 的绝对值大于0.75时，认为两个变量具有很强的线性相关关系． 3．回归直线方程 (1)通过求Q （α，β）＝

∑=--n

i i

x y 1

2

i

)

(αβ的最小值而得出回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的

距离的平方和最小的方法叫做 ．该式取最小值时的α，β的值即分别为a

ˆ，b ˆ． (2)两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归方程为a x b y

ˆˆˆ+=，则 ⎪⎪

⎪

⎩⎪⎪⎪

⎨⎧

-=--=---=∑

∑∑∑====.

x b y a

x n x y

x n y x x x y y x x b n

i i n

i i i n i i n i i i ˆˆ,

)())((ˆ1

2

21121

自查自纠

1．相关关系 非确定性

2．(1)线性相关关系 回归直线 (2)正相关 负相关 (3)1 0 3．最小二乘法

某公司2012～2017年的年利润x(单位：百万元)与年广告支出y(单位：百万元)的统计资料如下表所示：

年份 2012 2013 2014 2015 2016 2017 利润x 12.2 14.6 16 18 20.4 22.3 支出y

0.62

0.74

0.81

0.89

1

1.11

根据统计资料，则( )

A ．利润中位数是16，x 与y 有正线性相关关系

B ．利润中位数是17，x 与y 有正线性相关关系

C ．利润中位数是17，x 与y 有负线性相关关系

D ．利润中位数是18，x 与y 有负线性相关关系

解：利润中位数是16＋18

2

＝17，随着x 增大y 增大， x 与y 正线性相关，故选B .

(2016·江西八所重点中学联考)为了解某商品的销售量y (件)与销售价格x (元/件)的关系，统计了(x ，y )的10组值，并画成如图所示的散点图，则其回归方程可能是( )

A.y ^＝－10x －198

B.y ^

＝－10x ＋198 C.y ^＝10x ＋198 D.y ^

＝10x －198

解：由图象可知回归直线方程的斜率小于零，截距大于零．故选B .

已知数组(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 10，y 10)满足线性回归方程y ^＝bx ＋a ，则“(x 0，y 0)满足线性回归方程y ^

＝bx

＋a ”是“x 0＝x 1＋x 2＋…＋x 1010，y 0＝y 1＋y 2＋…＋y 10

10”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解：x 0，y 0为这10组数据的平均值，又因为线性回归方程y ^

＝bx ＋a 必过样本中心(x —，y —)，因此(x —，y —

)一定满足线

性回归方程，但满足线性回归方程的除了(x —，y —

)外，可能还有其他样本点．故选B .

下列命题：

①线性回归方法就是由样本点去寻找一条贴近这些样本点的直线的数学方法； ②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示；

③通过回归直线y ^＝b ^x ＋a ^

，可以估计和预测变量的取值和变化趋势． 其中正确命题的序号是________． 解：易知①②③均正确，故填①②③.

(2017·山东)为了研究某班学生的脚长x (单位：厘米)和身高y (单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为y ^＝b ^x ＋.已知

10

1

i i x =∑=225，10

1

i

i y

=∑＝1600，b ^

＝4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为________厘米．

解：由已知得x —＝22.5，y —

＝160，则＝160－4×22.5＝70，当x ＝24时，y ^

＝4×24＋70＝166，故填166.

类型一 相关关系的判断

(2015·石家庄调研)下列结论正确的是( ) ①函数关系是一种确定性关系；