2019年高中三年级数学下期末试题(附答案)
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15．若x，y满足约束条件 ，则 的最小值为______．
16．已知 ， ，则 __________．
17．在平行四边形ABCD中， ，边AB，AD的长分别为2和1，若M，N分别是边BC，CD上的点,且满足 ，则 的取值范围是_________．
18．已知圆C经过 两点，圆心在 轴上，则C的方程为__________．
A．20种B．30种C．40种D．60种
7．如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（）
A． B．
C． D．
8．命题：三角形的内角至多有一个是钝角，若用反证法证明，则下列假设正确的是（）
A．假设至少有一个钝角B．假设至少有两个钝角
C．假设三角形的三个内角中没有一个钝角D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角
解析：
【解析】
【分析】
结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示成圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.
【详解】
方法1：由题意可知 ，
由中位线定理可得 ，设 可得 ，
联立方程
可解得 （舍），点 在椭圆上且在 轴的上方，
求得 ，所以
方法2：焦半径公式应用
解析1：由题意可知 ，
由中位线定理可得 ，即
求得 ，所以 .
【点睛】
本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.
14．【解析】【分析】将平移到和相交的位置解三角形求得线线角的余弦值【详解】过作过作画出图像如下图所示由于四边形是平行四边形故所以是所求线线角或其补角在三角形中故【点睛】本小题主要考查空间两条直线所成角的
解析：
【解析】
【分析】
将 平移到和 相交的位置，解三角形求得线线角的余弦值.
【详解】
过 作 ，过 作 ，画出图像如下图所示，由于四边形 是平行四边形，故 ，所以 是所求线线角或其补角.在三角形 中， ，故 .
【点睛】
本小题主要考查空间两条直线所成角的余弦值的计算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
9．B
解析：B
【解析】
【分析】
先求出函数y=g(x)的解析式，再利用三角函数的图像和性质对每一个选项逐一分析判断.
【详解】
设点P(x,y)是函数 图像上的任意一点，则点Q 在函数y=f(x)的图像上，
，
对于选项A,函数y=g(x)的最大值为1，但是 ，所以图象不关于直线 对称，所以该选项是错误的；
对于选项B, ，所以函数g(x)是奇函数，解
6．A
解析：A
【解析】
【分析】
【详解】
根据题意，分析可得，甲可以被分配在星期一、二、三；据此分3种情况讨论，计算可得其情况数目，进而由加法原理，计算可得答案．
解：根据题意，要求甲安排在另外两位前面，则甲有3种分配方法，即甲在星期一、二、三；
分3种情况讨论可得，
甲在星期一有A42=12种安排方法，
甲在星期二有A32=6种安排方法，
18．【解析】【分析】由圆的几何性质得圆心在的垂直平分线上结合题意知求出的垂直平分线方程令可得圆心坐标从而可得圆的半径进而可得圆的方程【详解】由圆的几何性质得圆心在的垂直平分线上结合题意知的垂直平分线为令
解析： .
【解析】
【分析】
由圆的几何性质得，圆心在 的垂直平分线上,结合题意知，求出 的垂直平分线方程，令 ，可得圆心坐标，从而可得圆的半径，进而可得圆的方程.
考点：向量垂直与坐标运算
2．C
解析：C
【解析】
因为 ，故选C.
考点：本题主要考查复数的乘法运算公式.
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
本题首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式求解．
【详解】
设其中做过测试的3只兔子为 ，剩余的2只为 ，则从这5只中任取3只的所有取法有 ， 共10种．其中恰有2只做过测试的取法有 共6种，
【分析】
画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出 ， 的坐标，然后通过二次函数求出数量积的范围．
【详解】
解：建立如图所示的直角坐标系，则 ， ，
，设 ， ，则 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
因为 ，二次函数的对称轴为： ，所以 时， ．
故答案为：
【点睛】
本题考查向量的综合应用，平面向量的坐标表示以及数量积的应用，二次函数的最值问题，考查计算能力，属于中档题．
【详解】
画出约束条件 表示的平面区域如图所示，
由图形知，当目标函数 过点A时取得最小值，由 ，解得 ，代入计算 ，所以 的最小值为 ．
故答案为 ．
【点睛】
本题考查了线性规划的应用问题，也考查了数形结合的解题方法，是基础题．
16．【解析】【详解】因为所以①因为所以②①②得即解得故本题正确答案为
解析：
【解析】
所以恰有2只做过测试的概率为 ，选B．
【点睛】
本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”，可最大限度的避免出错．
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
由正弦定理结合条件可得 ，从而得三角形的三个内角，进而得三角形的形状.
19．等边三角形 与正方形 有一公共边 ，二面角 的余弦值为 ， 分别是 的中点，则 所成角的余弦值等于．
20．已知正三棱锥 的底面边长为3，外接球的表面积为 ，则正三棱锥 的体积为________.
三、解答题
21．某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：
， ,所以函数在 上单调递减，所以该选项是正确的；
对于选项C,由前面分析得函数y=g(x)的增区间为 ,且函数y=g(x)不是偶函数，故该选项是错误；
对于选项D,函数的周期为 ，解 所以函数图像的对称中心为 ,所以该选项是错误的.
故选：B
【点睛】
本题主要三角函数的解析式的求法，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
甲在星期三有A22=2种安排方法，
总共有12+6+2=20种；
故选A．
7．C
解析：C
【解析】
由算法流程图知s＝0＋ ＋ ＋ ＝ .选C.
8．B
解析：B
【解析】
用反证法证明数字命题时，应先假设要证的命题的否定成立，而要证命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，所以应假设三角形的内角至少有两个钝角，故选 ．
11．D
解析：D
【解析】
解：利用展开图可知，线段AB与CD是正方体中的相邻两个面的面对角线，仅仅异面，所成的角为600，因此选D
12．B
解析：B
【解析】
设 ，由 ， ，故选B.
二、填空题
13．【解析】【分析】结合图形可以发现利用三角形中位线定理将线段长度用坐标表示成圆的方程与椭圆方程联立可进一步求解利用焦半径及三角形中位线定理则更为简洁【详解】方法1：由题意可知由中位线定理可得设可得联立
下面的临界值表仅供参考：
P（K2≥k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（参考公式： ，其中n=a+b+c+d）
22．设函数 .
（1）求不等式 的解集；
（2）如果关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
10．B
解析：B
【解析】
【分析】
首先选项C中函数 的周期为 ,故排除C,将 ,代入A,B,D求得函数值,而函数 在对称轴处取最值,即可求出结果.
【详解】
先选项C中函数 的周期为 ,故排除C,将 ,代入A,B,D求得函数值为 ,而函数 在对称轴处取最值.
故选: .
【点睛】
本题考查三角函数的周期性、对称性,难度较易.
A．相交
B．平行
C．异面而且垂直
D．异面但不垂直
12．已知复数z满足 ，则复数 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知椭圆 的左焦点为 ，点 在椭圆上且在 轴的上方，若线段 的中点在以原点 为圆心， 为半径的圆上，则直线 的斜率是_______.
14．如图所示，平面BCC1B1⊥平面ABC，ABC＝120，四边形BCC1B1为正方形，且AB＝BC＝2，则异面直线BC1与AC所成角的余弦值为_____．
求 的单调区间；
若 在区间 上恒成立，求实数a的取值范围．
26．已知数列 与 满足： ，且 为正项等比数列， ， .
（1）求数列 与 的通项公式；
（2）若数列 满足 ， 为数列 的前 项和，证明： .
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
【详解】
试题分析： ，由 与 垂直可知
喜欢游泳
不喜欢游泳
合计
男生
10Βιβλιοθήκη 女生20合计已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为 ．
（1）请将上述列联表补充完整；
（2）并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；
（3）已知在被调查的学生中有5名来自甲班，其中3名喜欢游泳，现从这5名学生中随机抽取2人，求恰好有1人喜欢游泳的概率．
【详解】
由圆的几何性质得，圆心在 的垂直平分线上,结合题意知， 的垂直平分线为 ，令 ，得 ，故圆心坐标为 ，所以圆的半径 ，故圆的方程为 .
【点睛】
本题主要考查圆的性质和圆的方程的求解,意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.
2019年高中三年级数学下期末试题(附答案)
一、选择题
1．已知平面向量 =（1，－3）， =（4，－2）， 与 垂直，则 是（）
A．2B．1C．－2D．－1
2．设 是虚数单位，则复数 （）
A．3+3iB．-1+3iC．3+iD．-1+i
3．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为
【详解】
由正弦定理可知 ，又 ，
所以 ，有 .
所以 .所以 .
所以 为等腰直角三角形.
故选C.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理解三角形，属于基础题.
5．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据平方运算可求得 ，利用 求得结果.
【详解】
由题意可知： ，解得：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.
第一周
第二周
第三周
第四周
甲组
20
25
10
5
乙组
8
16
20
16
用方式一与方式二进行培训，分别估计员工受训的平均时间 精确到 ，并据此判断哪种培训方式效率更高？
在甲乙两组中，从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人来自甲组的概率．
25．已知函数 ．
15．-1【解析】【分析】画出约束条件表示的平面区域由图形求出最优解再计算目标函数的最小值【详解】画出约束条件表示的平面区域如图所示由图形知当目标函数过点A时取得最小值由解得代入计算所以的最小值为故答案为
解析：-1
【解析】
【分析】
画出约束条件表示的平面区域，由图形求出最优解，再计算目标函数 的最小值．
23．设函数 （Ⅰ）求 单调区间（Ⅱ）求所有实数 ，使 对 恒成立
注： 为自然对数的底数
24．某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式：
方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试
方式二：周六一天培训4小时，周日测试
公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组 记为甲组、乙组 先培训；甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如表：
A． B．
C． D．
4．若满足 ，则 为（）
A．等边三角形B．有一个内角为 的直角三角形
C．等腰直角三角形D．有一个内角为 的等腰三角形
5．已知向量 ， 满足 ， ，且 ，则向量 与 的夹角的余弦值为（）
A． B． C． D．
6．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有（）
【详解】
因为 ，
所以 ，①
因为 ，
所以 ，②
① ②得 ，
即 ，
解得 ，
故本题正确答案为
17．【解析】【分析】画出图形建立直角坐标系利用比例关系求出的坐标然后通过二次函数求出数量积的范围【详解】解：建立如图所示的直角坐标系则设则所以因为二次函数的对称轴为：所以时故答案为：【点睛】本题考查向量
解析：
【解析】
9．函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，则关于函数 以下说法正确的是（ ）
A．最大值为1，图象关于直线 对称B．在 上单调递减，为奇函数
C．在 上单调递增，为偶函数D．周期为 ，图象关于点 对称
10．下列函数中，最小正周期为 ，且图象关于直线 对称的函数是（）
A． B．
C． D．
11．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB与CD的位置关系为
16．已知 ， ，则 __________．
17．在平行四边形ABCD中， ，边AB，AD的长分别为2和1，若M，N分别是边BC，CD上的点,且满足 ，则 的取值范围是_________．
18．已知圆C经过 两点，圆心在 轴上，则C的方程为__________．
A．20种B．30种C．40种D．60种
7．如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（）
A． B．
C． D．
8．命题：三角形的内角至多有一个是钝角，若用反证法证明，则下列假设正确的是（）
A．假设至少有一个钝角B．假设至少有两个钝角
C．假设三角形的三个内角中没有一个钝角D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角
解析：
【解析】
【分析】
结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示成圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.
【详解】
方法1：由题意可知 ，
由中位线定理可得 ，设 可得 ，
联立方程
可解得 （舍），点 在椭圆上且在 轴的上方，
求得 ，所以
方法2：焦半径公式应用
解析1：由题意可知 ，
由中位线定理可得 ，即
求得 ，所以 .
【点睛】
本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.
14．【解析】【分析】将平移到和相交的位置解三角形求得线线角的余弦值【详解】过作过作画出图像如下图所示由于四边形是平行四边形故所以是所求线线角或其补角在三角形中故【点睛】本小题主要考查空间两条直线所成角的
解析：
【解析】
【分析】
将 平移到和 相交的位置，解三角形求得线线角的余弦值.
【详解】
过 作 ，过 作 ，画出图像如下图所示，由于四边形 是平行四边形，故 ，所以 是所求线线角或其补角.在三角形 中， ，故 .
【点睛】
本小题主要考查空间两条直线所成角的余弦值的计算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
9．B
解析：B
【解析】
【分析】
先求出函数y=g(x)的解析式，再利用三角函数的图像和性质对每一个选项逐一分析判断.
【详解】
设点P(x,y)是函数 图像上的任意一点，则点Q 在函数y=f(x)的图像上，
，
对于选项A,函数y=g(x)的最大值为1，但是 ，所以图象不关于直线 对称，所以该选项是错误的；
对于选项B, ，所以函数g(x)是奇函数，解
6．A
解析：A
【解析】
【分析】
【详解】
根据题意，分析可得，甲可以被分配在星期一、二、三；据此分3种情况讨论，计算可得其情况数目，进而由加法原理，计算可得答案．
解：根据题意，要求甲安排在另外两位前面，则甲有3种分配方法，即甲在星期一、二、三；
分3种情况讨论可得，
甲在星期一有A42=12种安排方法，
甲在星期二有A32=6种安排方法，
18．【解析】【分析】由圆的几何性质得圆心在的垂直平分线上结合题意知求出的垂直平分线方程令可得圆心坐标从而可得圆的半径进而可得圆的方程【详解】由圆的几何性质得圆心在的垂直平分线上结合题意知的垂直平分线为令
解析： .
【解析】
【分析】
由圆的几何性质得，圆心在 的垂直平分线上,结合题意知，求出 的垂直平分线方程，令 ，可得圆心坐标，从而可得圆的半径，进而可得圆的方程.
考点：向量垂直与坐标运算
2．C
解析：C
【解析】
因为 ，故选C.
考点：本题主要考查复数的乘法运算公式.
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
本题首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式求解．
【详解】
设其中做过测试的3只兔子为 ，剩余的2只为 ，则从这5只中任取3只的所有取法有 ， 共10种．其中恰有2只做过测试的取法有 共6种，
【分析】
画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出 ， 的坐标，然后通过二次函数求出数量积的范围．
【详解】
解：建立如图所示的直角坐标系，则 ， ，
，设 ， ，则 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
因为 ，二次函数的对称轴为： ，所以 时， ．
故答案为：
【点睛】
本题考查向量的综合应用，平面向量的坐标表示以及数量积的应用，二次函数的最值问题，考查计算能力，属于中档题．
【详解】
画出约束条件 表示的平面区域如图所示，
由图形知，当目标函数 过点A时取得最小值，由 ，解得 ，代入计算 ，所以 的最小值为 ．
故答案为 ．
【点睛】
本题考查了线性规划的应用问题，也考查了数形结合的解题方法，是基础题．
16．【解析】【详解】因为所以①因为所以②①②得即解得故本题正确答案为
解析：
【解析】
所以恰有2只做过测试的概率为 ，选B．
【点睛】
本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”，可最大限度的避免出错．
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
由正弦定理结合条件可得 ，从而得三角形的三个内角，进而得三角形的形状.
19．等边三角形 与正方形 有一公共边 ，二面角 的余弦值为 ， 分别是 的中点，则 所成角的余弦值等于．
20．已知正三棱锥 的底面边长为3，外接球的表面积为 ，则正三棱锥 的体积为________.
三、解答题
21．某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：
， ,所以函数在 上单调递减，所以该选项是正确的；
对于选项C,由前面分析得函数y=g(x)的增区间为 ,且函数y=g(x)不是偶函数，故该选项是错误；
对于选项D,函数的周期为 ，解 所以函数图像的对称中心为 ,所以该选项是错误的.
故选：B
【点睛】
本题主要三角函数的解析式的求法，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
甲在星期三有A22=2种安排方法，
总共有12+6+2=20种；
故选A．
7．C
解析：C
【解析】
由算法流程图知s＝0＋ ＋ ＋ ＝ .选C.
8．B
解析：B
【解析】
用反证法证明数字命题时，应先假设要证的命题的否定成立，而要证命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，所以应假设三角形的内角至少有两个钝角，故选 ．
11．D
解析：D
【解析】
解：利用展开图可知，线段AB与CD是正方体中的相邻两个面的面对角线，仅仅异面，所成的角为600，因此选D
12．B
解析：B
【解析】
设 ，由 ， ，故选B.
二、填空题
13．【解析】【分析】结合图形可以发现利用三角形中位线定理将线段长度用坐标表示成圆的方程与椭圆方程联立可进一步求解利用焦半径及三角形中位线定理则更为简洁【详解】方法1：由题意可知由中位线定理可得设可得联立
下面的临界值表仅供参考：
P（K2≥k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（参考公式： ，其中n=a+b+c+d）
22．设函数 .
（1）求不等式 的解集；
（2）如果关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
10．B
解析：B
【解析】
【分析】
首先选项C中函数 的周期为 ,故排除C,将 ,代入A,B,D求得函数值,而函数 在对称轴处取最值,即可求出结果.
【详解】
先选项C中函数 的周期为 ,故排除C,将 ,代入A,B,D求得函数值为 ,而函数 在对称轴处取最值.
故选: .
【点睛】
本题考查三角函数的周期性、对称性,难度较易.
A．相交
B．平行
C．异面而且垂直
D．异面但不垂直
12．已知复数z满足 ，则复数 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知椭圆 的左焦点为 ，点 在椭圆上且在 轴的上方，若线段 的中点在以原点 为圆心， 为半径的圆上，则直线 的斜率是_______.
14．如图所示，平面BCC1B1⊥平面ABC，ABC＝120，四边形BCC1B1为正方形，且AB＝BC＝2，则异面直线BC1与AC所成角的余弦值为_____．
求 的单调区间；
若 在区间 上恒成立，求实数a的取值范围．
26．已知数列 与 满足： ，且 为正项等比数列， ， .
（1）求数列 与 的通项公式；
（2）若数列 满足 ， 为数列 的前 项和，证明： .
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
【详解】
试题分析： ，由 与 垂直可知
喜欢游泳
不喜欢游泳
合计
男生
10Βιβλιοθήκη 女生20合计已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为 ．
（1）请将上述列联表补充完整；
（2）并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；
（3）已知在被调查的学生中有5名来自甲班，其中3名喜欢游泳，现从这5名学生中随机抽取2人，求恰好有1人喜欢游泳的概率．
【详解】
由圆的几何性质得，圆心在 的垂直平分线上,结合题意知， 的垂直平分线为 ，令 ，得 ，故圆心坐标为 ，所以圆的半径 ，故圆的方程为 .
【点睛】
本题主要考查圆的性质和圆的方程的求解,意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.
2019年高中三年级数学下期末试题(附答案)
一、选择题
1．已知平面向量 =（1，－3）， =（4，－2）， 与 垂直，则 是（）
A．2B．1C．－2D．－1
2．设 是虚数单位，则复数 （）
A．3+3iB．-1+3iC．3+iD．-1+i
3．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为
【详解】
由正弦定理可知 ，又 ，
所以 ，有 .
所以 .所以 .
所以 为等腰直角三角形.
故选C.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理解三角形，属于基础题.
5．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据平方运算可求得 ，利用 求得结果.
【详解】
由题意可知： ，解得：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.
第一周
第二周
第三周
第四周
甲组
20
25
10
5
乙组
8
16
20
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用方式一与方式二进行培训，分别估计员工受训的平均时间 精确到 ，并据此判断哪种培训方式效率更高？
在甲乙两组中，从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人来自甲组的概率．
25．已知函数 ．
15．-1【解析】【分析】画出约束条件表示的平面区域由图形求出最优解再计算目标函数的最小值【详解】画出约束条件表示的平面区域如图所示由图形知当目标函数过点A时取得最小值由解得代入计算所以的最小值为故答案为
解析：-1
【解析】
【分析】
画出约束条件表示的平面区域，由图形求出最优解，再计算目标函数 的最小值．
23．设函数 （Ⅰ）求 单调区间（Ⅱ）求所有实数 ，使 对 恒成立
注： 为自然对数的底数
24．某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式：
方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试
方式二：周六一天培训4小时，周日测试
公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组 记为甲组、乙组 先培训；甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如表：
A． B．
C． D．
4．若满足 ，则 为（）
A．等边三角形B．有一个内角为 的直角三角形
C．等腰直角三角形D．有一个内角为 的等腰三角形
5．已知向量 ， 满足 ， ，且 ，则向量 与 的夹角的余弦值为（）
A． B． C． D．
6．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有（）
【详解】
因为 ，
所以 ，①
因为 ，
所以 ，②
① ②得 ，
即 ，
解得 ，
故本题正确答案为
17．【解析】【分析】画出图形建立直角坐标系利用比例关系求出的坐标然后通过二次函数求出数量积的范围【详解】解：建立如图所示的直角坐标系则设则所以因为二次函数的对称轴为：所以时故答案为：【点睛】本题考查向量
解析：
【解析】
9．函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，则关于函数 以下说法正确的是（ ）
A．最大值为1，图象关于直线 对称B．在 上单调递减，为奇函数
C．在 上单调递增，为偶函数D．周期为 ，图象关于点 对称
10．下列函数中，最小正周期为 ，且图象关于直线 对称的函数是（）
A． B．
C． D．
11．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB与CD的位置关系为