高一数学幂函数的图像和性质(教师版)
51 幂函数的图像和性质同步(讲师版)
高一同步课程“幂级数的图像和性质同步”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲内容：幂函数的定义、幂函数的图像、幂函数的性质掌握目标：会画几类基本幂函数的图像、了解幂函数的单调性及奇偶性分析、了解几类幂函数变形后的函数形式。
考试分析：幂函数的图像与性质是高考及其它考试的一个基本考察点，与指数函数、对数函数这几类高中接触的基本函数经常作区分性的考察。
知识梳理知识梳理1. 幂函数的定义和图像1．幂函数的概念：一般地，我们把形如y=xα的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数；注意：幂函数与指数函数的区别．2. 幂函数的性质：（1）都过原点；（2）任何幂函数都不过第四象限；（3）当0α>时，幂函数的图象过（1,1）．3．幂函数的图象在第一象限的分布规律：（1）在经过点(1,1)平行于y轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图象从下到上分布；（2）幂指数的分母为偶数时，图象只在第一象限；幂指数的分子为偶数时，图象在第一、第二象限关于y 轴对称；幂指数的分子、分母都为奇数时，图象在第一、第三象限关于原点对称．知识梳理2. 幂函数性质1. 幂函数图像和性质列表函数特征性质xy=2xy=3xy=21xy=1-=xy2．幂函数与图像平移函数()a y x m =+的图象可由幂函数ay x =的图象平移得到。
当0m >时，只需把a y x =的图象向左平移m 个单位；当0m <时，只需把a y x =的图象向右平移m个单位。
函数ay x n =+的图象可由幂函数a y x =的图象平移得到。
当0n >时，只需把a y x =的图象向上平移n 个单位；当0n <时，只需把a y x =的图象向下平移n 个单位。
例题精讲【试题来源】【题目】写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性： （1）3y x = （2）12y x = （3）2y x -= （4）22y x x -=+（5）1122y x x -=+ （6）1124()3()f x x x =+-【答案】（1）定义域是R,为奇函数（2）定义域是[0，+∞）,为非奇非偶函数（3）定义域是（-∞，0）∪（0，+∞）,为偶函数 （4）定义域是（-∞，0）∪（0，+∞）,为偶函数 （5）定义域是（0，+∞）,为非奇非偶函数 （6）定义域是{0}，既是奇函数又是偶函数【解析】求幂函数的定义域，宜先将分数指数幂写成根式，再确定定义域；#对应知识梳理1【知识点】幂函数的图像和性质同步 【适用场合】当堂例题图象定义域 R RR {x |x ≥0} {x |x ≠0} 值域 R {y |y ≥0} R {y |y ≥0} {y |y ≠0} 奇偶性奇偶 奇非奇非偶奇 单调性 增 (－∞，0]减(0，＋∞)增增 增 (－∞，0)和(0，＋∞)减公共点(1,1)【难度系数】2【试题来源】【题目】下列函数中不是幂函数的是（ ）【选项】Ａ．yＢ．3y x = Ｃ．2y x = Ｄ．1y x -=【答案】Ｃ 【解析】略#对应知识梳理1【知识点】幂函数的图像和性质同步 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】1【试题来源】【题目】讨论函数y ＝52x 的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图． 【答案】见解析【解析】函数y ＝52x 是幂函数． （1）要使y ＝52x ＝52x 有意义，x 可以取任意实数，故函数定义域为R ．（2）∵x ∈R ，∴x 2≥0．∴y ≥0． （3）f （－x ）＝52)(x －＝52x ＝f （x ），∴函数y ＝52x 是偶函数； （4）∵n ＝52＞0， ∴幂函数y ＝52x 在［0，＋∞］上单调递增． 由于幂函数y ＝52x 是偶函数，∴幂函数y ＝52x 在（－∞，0）上单调递减．（5）其图象如下图所示．#对应知识梳理1【知识点】幂函数的图像和性质同步 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3【试题来源】【题目】下图中曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为________．【答案】2，12，－12，－2【解析】法一：由幂函数的图象与性质，n <0时不过原点，故C 3，C 4对应的n 值均为负，C 1，C 2对应的n 值均为正；由增(减)快慢知n (c 1)>n (c 2)>n (c 3)>n (c 4)．故C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为2，12，－12，－2.法二：作直线x ＝2分别交C 1，C 2，C 3，C 4于点A 1，A 2，A 3，A 4，则其对应点的纵坐标显然为22，122，122，2－2，故n 值分别为2，12，－12，－2.#对应知识梳理1【知识点】幂函数的图像和性质同步【适用场合】当堂例题 【难度系数】2【试题来源】【题目】已知幂函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3在(0，＋∞)上是增函数，则m ＝________ 【答案】-1【解析】∵函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3是幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1. 当m ＝2时，－5m －3＝－13，函数y ＝x－13在(0，＋∞)上是减函数；当m ＝－1时，－5m －3＝2，函数y ＝x 2在(0，＋∞)上是增函数． ∴m ＝－1.#对应知识梳理2【知识点】幂函数的图像和性质同步 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2【试题来源】【题目】已知12(21)2(),()a a f x xg x x--==，且11()()22f g >，则实数a 的取值范围是_______【答案】2(,)3-∞-【解析】根据性质可知12122a a -<-，解得23a <-#对应知识梳理2【知识点】幂函数的图像和性质同步【适用场合】当堂练习题 【难度系数】2【试题来源】【题目】把函数14(2)1y x =+-沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上2个单位，得到的图象对应的解析式为______________ 【答案】14(4)1y x =++【解析】根据性质把14(2)1y x =+-沿x 轴向左平移2个单位，得到函数14(4)1y x =+-的图象，再沿y 轴向上2个单位，得到函数14(4)1y x =++的图象#对应知识梳理2【知识点】幂函数的图像和性质同步 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】2【试题来源】 【题目】已知5()f x x =，且2ab =，则下列性质正确的是③ ()()f a f b +是定值②()()f a f b 是定值④()()f a f b -是定值【答案】②【解析】根据性质可知5()()()(2)232f a f b f ab f ====#对应知识梳理2【知识点】幂函数的图像和性质同步 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】2习题演练【试题来源】 【题目】已知函数3()f x x =，则(2008)(1004)f f 的值为【答案】8【解析】(2008)(10042)(1004)(2)(2)8(1004)(1004)(1004)f f f f f f f f ⨯⨯==== 【知识点】幂函数的图像和性质同步【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】1【试题来源】【题目】下列不等式关系正确的是 ③ 5232-<- ②3221-<- ③5232+>+④2265<-【答案】③【解析】据性质可知对于函数()1f x x x =+-在[)0,+∞上单调递增，故(4)(2)f f >，即5232->-，整理可得5232+>+【知识点】幂函数的图像和性质同步 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3【试题来源】【题目】若f (x )既是幂函数又是二次函数，则f (x )＝________ 【答案】f (x )＝x 2【解析】形如f (x )＝x α的函数是幂函数，其中α是常数，则f (x )＝x 2 【知识点】幂函数的图像和性质同步 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】1【试题来源】【题目】设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为________ 【答案】1,3【解析】在函数y ＝x －1，y ＝x ，y ＝x 12，y ＝x 3中，只有函数y ＝x 和y ＝x 3的定义域是R ，且是奇函数，故α＝1,3.【知识点】幂函数的图像和性质同步 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】2【试题来源】【题目】已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如下表： 则不等式f (|x |)≤2的解集是________． 【答案】{x |－4≤x ≤4}【解析】由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22⇒α＝12，即f (x )＝x 12，故f (|x |)≤2⇒|x|12≤2⇒|x |≤4，故其解集为{x |－4≤x ≤4}【知识点】幂函数的图像和性质同步 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】2【试题来源】）【选项】 B (1,0) C (1,0)- D (0,1) 【答案】C【解析】的图象可以由1y x -=的图象向左平移1个单位得到，而1y x -=的图的对称中心为(1,0)-【知识点】幂函数的图像和性质同步 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】2【试题来源】【题目】已知f (x )＝x12，若0<a <b <1，则f (a )、f (b )、f ⎝⎛⎭⎫1a 、f ⎝⎛⎭⎫1b 的大小关系为__________________．(从小到大排列)【答案】f (a )<f (b )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a【解析】因为函数f (x )＝x 12在(0，＋∞)上是增函数，又0<a <b <1b <1a，故f (a )<f (b )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a . 【知识点】幂函数的图像和性质同步【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】2【试题来源】【题目】如图3，曲线是幂函数y x α=在第一象限的图象，已知α可取14,4±±，则对应于曲线2C 的α值为【答案】1/43可知1234,,,C C C C 的α值逐渐减小 【知识点】幂函数的图像和性质同步 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】2【试题来源】【题目】对于函数y ＝x 2，f (x )＝x 12有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增； ③它们的图象关于直线y ＝x 对称； ④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)； ⑥两个函数的图象都是抛物线型．其中正确的有________． 【答案】①②⑤⑥【解析】从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质去进行比较． 【知识点】幂函数的图像和性质同步 【适用场合】课后两周练习 【难度系数】2【试题来源】【题目】下列不等式关系正确的是③【答案】②【解析】可在区间[)0,+∞上单调递增，故(3)(1)f f >，即【知识点】幂函数的图像和性质同步【适用场合】课后两周练习 【难度系数】3【试题来源】 【题目】，且两个正数,a b 满足()()4f a f b ⋅=，则a b +的最小值为_____________故8ab =，【知识点】幂函数的图像和性质同步 【适用场合】课后一个月练习 【难度系数】3【试题来源】【题目】分别指出幂函数y x α=的图象具有下列特点之一时的α的值，其中111{2,1,,,,1,2,3}232α∈---（1）图象过原点，且随x 的增大而上升；（2）图象不过原点，不与坐标轴相交，且随x 的增大而下降； （3）图象关于y 轴对称，且与坐标轴相交； （4）图象关于y 轴对称，但不与坐标轴相交； （5）图象关于原点对称，且过原点； （6）图象关于原点对称，但不过原点；【答案】 （1）α∈{13，,12,1,2,3}（2）α∈{−12,−1} （3）α∈{2}（4）α∈{−2}（5）α∈{1,3}（6）α∈{−1} 【解析】根据幂函数的性质可以很快断定 【知识点】幂函数的图像和性质同步 【适用场合】随便练练 【难度系数】2【试题来源】【题目】如果幂函数21322(x)x(p Z)-++=∈p p f 是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．求p 的值，并写出相应的函数f (x )的解析式 【答案】p=1【解析】∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴－12p 2＋p ＋32>0，即p 2－2p －3<0.∴－1<p <3.又∵f (x )是偶函数且p ∈Z ， ∴p ＝1，故f (x )＝x 2.【知识点】幂函数的图像和性质同步 【适用场合】阶段测验 【难度系数】3【试题来源】【题目】已知幂函数图象过点（2，4），则幂函数的解析式为 __________【答案】y=x 2【解析】设幂函数为y=x a，因为幂函数图象过点（2，4）， 所以4=2a，解得a=2， 所以幂函数的解析式为y=x 2． 【知识点】幂函数的图像和性质同步 【适用场合】课后两周练习 【难度系数】2【试题来源】【题目】若f （x ）是幂函数，且满足)2()4(f f =3，则f （21）=（） A.3 B.-3 C.31 D.-31 【答案】C【解析】∵f （x ）为幂函数，∴设f （x ）=x a； ∴)2()4(f f =24a a =2a =3，而f （21）=2a =21a =31 ∴选择C 选项【知识点】幂函数的图像和性质同步【适用场合】随便练练【难度系数】2。
3.3 幂函数 课件(共48张PPT)高一数学必修第一册(人教A版2019)
(3) 在区间(0, )上,函数y x, y x2 , y x3 , y x 2单调递增, 函数y x1单调递减;
(4) 在第一象限内, 函数y x1的图象向上与y轴无限接近,向右与x轴 无限接近.
学习新知 例 证明函数f ( x) x是增函数.
证明：函数的定义域是[0, ). x1, x2 [0, ), 且x1 x2 ,
[0,+∞)递增
(-∞,0)和(0,+∞) 递减
图象
公共点
(1,1) ( R) (0,0) ( 0时)
①为偶数, y x是偶函 数. ②为—奇—数, y x是奇函 数.
3.3 幂函数
02 幂函数的图象 与性质
应用新知 1 幂函数的概念
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
本节我们利用这些知识研究一类新的函数．
学习新知
先看几个实例： (1)如果卢老师以1元/kg的价格购买了某种蔬菜t千克，那么他需要支付
的钱数P=t元，这里P是t的函数；
(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数；
(3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=b3，这里V是b的函数；
或
m＝0.
当
m＝2
时，f(x)＝
x
1 2
，图象过点(4,2)；
当
m＝0
时，f(x)＝
x
3 2
，图象不过点(4,2)，舍去．
综上，f(x)＝
x
1 2
.
能力提升 题型三：利用幂函数的单调性比较大小
【练习
3】已知幂函数
f(x)＝m2
2m
1
m 3
x2
的图象过点(4,2)．
高中数学人教A版必修1第二章 基本初等函数——幂函数(共14张PPT)
f(x 1 )f(x2 )x 1x2(x 1x x 2 1 )+ (x x 2 1+x2)
x1 x2 x1 + x2
方法技巧:分子有理化
因 x 1 x 2 , x 为 1 , x 2 [ 0 , + ) 所 ,x 1 x 2 以 0 ,x 1 + x 2 0 ,
所 f(x 以 1 )f(x2 )即 , 幂 f(x) 函 x在 [0 数 ,+)上 的 .
课堂小结
(1) 幂函数的定义； (2)五个基本幂函数的图像画法及特征； (3) 幂函数的性质。
作业：P79习题2.3： 1，2，3。
谢谢指导
不知道自己缺点的人，一辈子都不会想要改善。成功的花，人们只惊慕她现时的明艳！然而当初她的芽儿，浸透了奋斗的泪泉，洒遍了牺牲的血雨。成功的条件在于勇气和 信乃是由健全的思想和健康的体魄而来。成功了自己笑一辈子，不成功被人笑一辈子。成功只有一个理由，失败却有一千种理由。从胜利学得少，从失败学得多。你生而有 前进，形如蝼蚁。你一天的爱心可能带来别人一生的感谢。逆风的方向，更适合飞翔。只有承担起旅途风雨，才能最终守得住彩虹满天只有创造，才是真正的享受，只有拚 活。知识玩转财富。志不立，天下无可成之事。竹笋虽然柔嫩，但它不怕重压，敢于奋斗、敢于冒尖。阻止你前行的，不是人生道路上的一百块石头，而是你鞋子里的那一 爱，不必呼天抢地，只是相顾无言。最值得欣赏的风景，是自己奋斗的足迹。爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。生活不可能像你想 不会像你想的那么糟。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你什么叫幼稚。不要总在过去的回忆里缠绵，昨天的太阳，晒不干今天的衣裳。实现梦想往往是一个艰苦的坚持的 到位，立竿见影。那些成就卓越的人，几乎都在追求梦想的过程中表现出一种顽强的毅力。世界上唯一不变的字就是“变”字。事实胜于雄辩，百闻不如一见。思路决定出 细节决定成败，性格决定命运虽然你的思维相对于宇宙智慧来说只不过是汪洋中的一滴水，但这滴水却凝聚着海洋的全部财富；是质量上的一而非数量上的一；你的思维拥 所有过不去的都会过去，要对时间有耐心。人总会遇到挫折，总会有低潮，会有不被人理解的时候。如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希 个人不知道他要驶向哪个码头，那么任何风都不会是顺风。沙漠里的脚印很快就消逝了。一支支奋进歌却在跋涉者的心中长久激荡。上天完全是为了坚强你的意志，才在道 碍。拥有资源不能成功，善用资源才能成功。小成功靠自己，大成功靠团队。炫耀什么，缺少什么；掩饰什么，自卑什么。所谓正常人，只是自我防御比较好的人。真正的 防而又不受害。学习必须如蜜蜂一样，采过许多花，这才能酿出蜜来态度决定高度。外在压力增加时，就应增强内在的动力。我不是富二代，不能拼爹，但为了成功，我可 站在万人中央成为别人的光。人一辈子不长不短，走着走着，就进了坟墓，你是要轰轰烈烈地风光下葬，还是一把骨灰撒向河流山川。严于自律：不能成为自己本身之主人 他周围任何事物的主人。自律是完全拥有自己的内心并将其导向他所希望的目标的惟一正确的途径。生活对于智者永远是一首昂扬的歌，它的主旋律永远是奋斗。眼泪的存 伤不是一场幻觉。要不断提高自身的能力，才能益己及他。有能力办实事才不会毕竟空谈何益。故事的结束总是满载而归，就是金榜题名。一个人失败的最大原因，是对自 的信心，甚至以为自己必将失败无疑。一个人炫耀什么，说明内心缺少什么。一个人只有在全力以赴的时候才能发挥最大的潜能。我们的能力是有限的，有很多东西飘然于 之外。过去再优美，我们不能住进去；现在再艰险，我们也要走过去！即使行动导致错误，却也带来了学习与成长；不行动则是停滞与萎缩。你的所有不甘和怨气来源于你 你可以平凡，但不能平庸。懦弱的人只会裹足不前，莽撞的人只能引为烧身，只有真正勇敢的人才能所向披靡。平凡的脚步也可以走完伟大的行程。平静的湖面锻炼不出精 生活打造不出生活的强者。人的生命似洪水在奔流，不遇着岛屿、暗礁，难以激起美丽的浪花人生不怕重来，就怕没有将来。人生的成败往往就在于一念之差。人生就像一 为你在看别人耍猴的时候，却不知自己也是猴子中的一员！人生如天气，可预料，但往往出乎意料。人生最大的改变就是去做自己害怕的事情。如果不想被打倒，只有增加 你向神求助，说明你相信神的能力；如果神没有帮助你，说明神相信你的能力。善待自己，不被别人左右，也不去左右别人，自信优雅。活是欺骗不了的，一个人要生活得 象这杯浓酒,不经三番五次的提炼呵,就不会这样一来可口！生命不止需要长度，更需要宽度。时间就像一张网，你撒在哪里，你的收获就在哪里。世上最累人的事，莫过于 你感到痛苦时，就去学习点什么吧，学习可以使我们减缓痛苦。当世界都在说放弃的时候，轻轻的告诉自己：再试一次。过错是暂时的遗憾，而错过则是永远的遗憾！很多 结果，但是不努力却什么改变也没有。后悔是一种耗费精神的情绪后悔是比损失更大的损失，比错误更大的错误所以不要后悔。环境不会改变，解决之道在于改变自己。积 成功者的最基本要素。激情，这是鼓满船帆的风。风有时会把船帆吹断；但没有风，帆船就不能航行。即使道路坎坷不平，车轮也要前进；即使江河波涛汹涌，船只也航行 粹取出来的。浪费时间等于浪费生命。老要靠别人的鼓励才去奋斗的人不算强者；有别人的鼓励还不去奋斗的人简直就是懦夫。不要问别人为你做了什么，而要问你为别人 遥远的梦想和最朴素的生活，即使明天天寒地冻，金钱没有高贵，低贱之分。金钱在高尚人的手中，就会变得高尚；金钱在庸俗人手中，就会变得低级庸俗。涓涓细流一旦 大海也就终止了��
幂函数及函数图像变换(教师)
幂函数及函数图像变换知识点1 幂函数 1．幂函数的定义一般地，形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数．2.幂函数的性质：（1）幂函数的图象都过点 ；（2）当0α>时，幂函数在[0,)+∞上 ；当0α<时，幂函数在(0,)+∞上 ； （3）当2,2α=-时，幂函数是 ；当11,1,3,3α=-时，幂函数是 ． （4）任何幂函数都不过 象限；（5）当0α>时，幂函数的图象过 ． 3．幂函数的图象在第一象限的分布规律：（1）在经过点(1,1)平行于y 轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图象从 到 分布； （2）幂指数的分母为偶数时，图象只在 象限；幂指数的分子为偶数时，图象在第一、第二象限关于 轴对称；幂指数的分子、分母都为奇数时，图象在第一、第三象限 关于 对称．考向一 幂函数的定义【例1】►讨论下列函数的定义域、值域，奇偶性与单调性： （1）5y x = （2）43y x-= （3）54y x =（4）35y x-=（5）12y x-=分析：要求幂函数的定义域和值域，可先将分数指数式化为根式． 解：（1）定义域R ，值域R ，奇函数，在R 上单调递增．（2）定义域(,0)(0,)-∞⋃+∞，值域(0,)+∞，偶函数，在(,0)-∞上单调递增， 在(0,)+∞ 上单调递减．（3）定义域[0,)+∞，值域[0,)+∞，偶函数，非奇非偶函数，在[0,)+∞上单调递增． （4）定义域(,0)(0,)-∞⋃+∞，值域(,0)(0,)-∞⋃+∞，奇函数，在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递减．（5）定义域(0,)+∞，值域(0,)+∞，非奇非偶函数，在(0,)+∞上单调递减． 【训练1】比较大小：（1）11221.5,1.7 （2）33( 1.2),( 1.25)-- （3）1125.25,5.26,5.26--- （4）30.530.5,3,log 0.5 解：（1）∵12y x =在[0,)+∞上是增函数，1.5 1.7<，∴11221.5 1.7< （2）∵3y x =在R 上是增函数， 1.2 1.25->-，∴33( 1.2)( 1.25)->- （3）∵1y x -=在(0,)+∞上是减函数，5.25 5.26<，∴115.25 5.26-->；∵ 5.26x y =是增函数，12->-，∴125.26 5.26-->；综上，1125.25 5.26 5.26--->>（4）∵300.51<<，0.531>，3log 0.50<，∴30.53log 0.50.53<<考向二 二次函数的图像和性质【例2】►（2010大连一模）函数f (x )＝x 2－2x ＋2在闭区间[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值记为g (t )．(1)试写出g (t )的函数表达式； (2)作g (t )的图象并写出g (t )的最小值．[审题视点] 分类讨论t 的范围分别确定g (t )解析式． 解 (1)f (x )＝(x －1)2＋1.当t ＋1≤1，即t ≤0时，g (t )＝t 2＋1. 当t <1<t ＋1，即0<t <1时，g (t )＝f (1)＝1 当t ≥1时，g (t )＝f (t )＝(t －1)2＋1 综上可知g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1≤0，t ≤0，1，0<t <1，t 2－2 t ＋2，t ≥1.(2)g (t )的图象如图所示，可知g (t )在(－∞，0]上递减，在[1，＋∞)上递增，因此g (t )在[0,1]上取到最小值1.【训练2-1】 ►(2010·安徽)设abc ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )．[审题视点] 分类讨论a ＞0，a ＜0.解析 若a ＞0，则bc ＞0，根据选项C 、D ，c ＜0，此时只有b ＜0，二次函数的对称轴方程x ＝－b2a ＞0，选项D 有可能；若a ＜0，根据选项A ，c ＜0，此时只能b ＞0，二次函数的对称轴方程x ＝－b2a ＞0，与选项A 不符合；根据选项B ，c ＞0，此时只能b ＜0，此时二次函数的对称轴方程x ＝－b2a ＜0，与选项B 不符合．综合知只能是选项D.答案 D【训练2-2】 （2011沈阳模拟）已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值．(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数． 解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－5,5]， ∴x ＝1时，f (x )取得最小值1； x ＝－5时，f (x )取得最大值37.(2)函数f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2的图象的对称轴为直线x ＝－a ， ∵y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数， ∴－a ≤－5或－a ≥5，故a 的取值范围是a ≤－5或a ≥5.考向三 幂函数的图象和性质【例3】►已知幂函数f (x )＝223m m x -- (m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足33(1)(32)m m a a --+<-的a 的取值范围．[审题视点] 由幂函数的性质可得到幂指数m 2－2m －3＜0，再结合m 是整数，及幂函数是偶数可得m 的值．解 ∵函数在(0，＋∞)上递减， ∴m 2－2m －3＜0，解得－1＜m ＜3.∵m ∈N *，∴m ＝1,2. 又函数的图象关于y 轴对称， ∴m 2－2m －3是偶数， 而22－2×2－3＝－3为奇数， 12－2×1－3＝－4为偶数， ∴m ＝1.而f (x )＝x －13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，∴(a ＋1)－13＜(3－2a )－13等价于a ＋1＞3－2a ＞0或0＞a ＋1＞3－2a 或a ＋1＜0＜3－2a . 解得a ＜－1或23＜a ＜32.故a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ＜－1或23＜a ＜32.【训练3】已知幂函数223mm y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，求m 的值．分析：幂函数图象与x 轴、y 轴都无交点，则指数小于或等于零；图象关于原点对称，则函数为奇函数．结合m Z ∈，便可逐步确定m 的值． 解：∵幂函数223mm y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，∴2230m m --≤，∴13m -≤≤；∵m Z ∈，∴2(23)m m Z --∈，又函数图象关于原点对称， ∴223m m --是奇数，∴0m =或2m =． 知识点2 函数图像 (1)平移变换①水平平移：y ＝f (x ±a )(a ＞0)的图象，可由y ＝f (x )的图象向左(＋)或向右(－)平移a 个单位而得到．②竖直平移：y ＝f (x )±b (b ＞0)的图象，可由y ＝f (x )的图象向上(＋)或向下(－)平移b 个单位而得到． (2)对称变换①y ＝f (－x )与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称． ②y ＝－f (x )与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称． ③y ＝－f (－x )与y ＝f (x )的图象关于原点对称．由对称变换可利用y ＝f (x )的图象得到y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)的图象．①作出y ＝f (x )的图象，将图象位于x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变，得到y ＝|f (x )|的图象；②作出y ＝f (x )在y 轴上及y 轴右边的图象部分，并作y 轴右边的图象关于y 轴对称的图象，即得y ＝f (|x |)的图象． (3)伸缩变换①y ＝af (x )(a ＞0)的图象，可将y ＝f (x )图象上每点的纵坐标伸(a ＞1时)或缩(a ＜1时)到原来的a 倍，横坐标不变．②y ＝f (ax )(a ＞0)的图象，可将y ＝f (x )的图象上每点的横坐标伸(a ＜1时)或缩(a ＞1时)到原来的1a 倍，纵坐标不变． (4)翻折变换①作为y ＝f (x )的图象，将图象位于x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变，得到y ＝|f (x )|的图象；②作为y ＝f (x )在y 轴上及y 轴右边的图象部分，并作y 轴右边的图象关于y 轴对称的图象，即得y ＝f (|x |)的图象．考向一 作函数图象【例1】►分别画出下列函数的图象： (1)y ＝|lg x |； (2)y ＝2x ＋2；(3)y ＝x 2－2|x |－1； (4)y ＝x ＋2x －1.[审题视点] 根据函数性质通过平移，对称等变换作出函数图象．解 (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x (x ≥1)，－lg x (0＜x ＜1).图象如图①.(2)将y ＝2x 的图象向左平移2个单位．图象如图②.(3)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1 (x ≥0)x 2＋2x －1 (x ＜0).图象如图③.(4)因y ＝1＋3x －1，先作出y ＝3x 的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y ＝x ＋2x －1的图象，如图④.【训练1-1】作出下列函数的图象：(1)y＝2x＋1－1；(2)y＝sin|x|；(3)y＝|log2(x＋1)|.解(1)y＝2x＋1－1的图象可由y＝2x的图象向左平移1个单位，得y＝2x＋1的图象，再向下平移一个单位得到y＝2x＋1－1的图象，如图①所示．(2)当x≥0时，y＝sin|x|与y＝sin x的图象完全相同，又y＝sin|x|为偶函数，其图象关于y轴对称，如图②所示．(3)首先作出y＝log2x的图象c1，然后将c1向左平移1个单位，得到y＝log2(x＋1)的图象c2，再把c2在x轴下方的图象翻折到x轴上方，即为所求图象c3：y＝|log2(x＋1)|.如图③所示(实线部分)．【训练1-2】把函数y＝f(x)＝(x－2)2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数的解析式是()A．y＝(x－3)2＋3B．y＝(x－3)2＋1C．y＝(x－1)2＋3 D．y＝(x－1)2＋1解析：把函数y＝f(x)的图象向左平移1个单位，即把其中x换成x＋1，于是得y＝[(x ＋1)－2]2＋2＝(x－1)2＋2，再向上平移1个单位，即得到y＝(x－1)2＋2＋1＝(x－1)2＋3.答案：C考向二函数图象的识辨【例2】►函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝21－x在同一直角坐标系下的图象大致是()．[审题视点] 在同一个坐标系中判断两个函数的图象，可根据函数图象上的特征点以及函数的单调性来判断．解析 f (x )＝1＋log 2x 的图象由函数f (x )＝log 2x 的图象向上平移一个单位而得到，所以函数图象经过(1,1)点，且为单调增函数，显然，A 项中单调递增的函数经过点(1,0)，而不是(1,1)，故不满足；函数g (x )＝21－x ＝2×⎝⎛⎭⎫12x ，其图象经过(0,2)点，且为单调减函数，B 项中单调递减的函数与y 轴的交点坐标为(0,1)，故不满足；D 项中两个函数都是单调递增的，故也不满足． 综上所述，排除A ，B ，D.故选C. 答案 C【训练2-1】 (2010·山东)函数y ＝2x －x 2的图象大致是( )．解析 当x ＞0时，2x ＝x 2有两根x ＝2,4；当x ＜0时，根据图象法易得到y ＝2x 与y ＝x 2有一个交点，则y ＝2x －x 2在R 上有3个零点，故排除B 、C ；当x →－∞时，2x →0.而x 2→＋∞，故y ＝2x －x 2＜0，故选A. 答案 A【训练2-2】(2011·郑州模拟)若函数f (x )＝ka x －a －x (a ＞0且a ≠1)在(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，则g (x )＝log a (x ＋k )的图象是( )．考向三 函数图象的应用【例3】►已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|.(1)求函数f (x )的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}． [审题视点] 作出函数图象，由图象观察．解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)2－1， x ∈(－∞，1]∪[3，＋∞)，－(x －2)2＋1， x ∈(1，3)， 作出图象如图所示．(1)递增区间为[1,2]和[3，＋∞)，递减区间为(－∞，1]和[2,3]．(2)由图象可知，y ＝f (x )与y ＝m 图象，有四个不同的交点，则0＜m ＜1， ∴集合M ＝{m |0＜m ＜1}．【训练3】 (2010·湖北)若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是( )．A ．[－1,1＋22]B ．[1－22，1＋22]C ．[1－22，3]D ．[1－2，3]解析 在同一坐标系下画出曲线y ＝3－4x －x 2(注：该曲线是以点C (2,3)为圆心、2为半径的圆不在直线y ＝3上方的部分)与直线y ＝x 的图象，平移该直线，结合图形分析可知，当直线沿y 轴正方向平移到点(0,3)的过程中的任何位置相应的直线与曲线y ＝3－4x －x 2都有公共点；注意到与y ＝x 平行且过点(0,3)的直线的方程是y ＝x ＋3；当直线y ＝x ＋b 与以点C (2,3)为圆心、2为半径的圆相切时(圆不在直线y ＝3上方的部分)，有|2－3＋b |2＝2，b ＝1－2 2.结合图形可知，满足题意的只有C 选项． 答案 C基础练习：1．(人教A 版教材习题改编)已知a ＝log 0.70.8，b ＝log 1.10.9，c ＝1.10.9，则a ，b ，c 的大小关系是( )． A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜b解析 将三个数都和中间量1相比较：0＜a ＝log 0.70.8＜1，b ＝log 1.10.9＜0，c ＝1.10.9＞1. 答案 C2．(2011·安徽)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝( )． A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (1)＝－f (－1)＝－3.答案 A3．(2011·浙江)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0，x 2，x ＞0.若f (α)＝4，则实数α等于( )．A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ α≤0，－α＝4或⎩⎪⎨⎪⎧α＞0，α2＝4，得α＝－4或α＝2，故选B.答案 B4．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2的定义域和值域均为[1，b ]，则b 等于( )． A ．3 B ．2或3 C ．2 D ．1或2 解析 函数f (x )＝x 2－2x ＋2在[1，b ]上递增， 由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧f ＝1，fb ＝b ，b >1，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2－3b ＋2＝0，b >1.解得b ＝2.答案 C 5．(人教A 版)为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点( )．A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度解析 y ＝lg x ＋310＝lg(x ＋3)－1可由y ＝lg x 的图象向左平移3个单位长度，向下平移1个单位长度而得到． 答案 C6．(2011·安徽)若点(a ，b )在y ＝lg x 图象上，a ≠1，则下列点也在此图象上的是( )A.⎝⎛⎭⎫1a ，b B ．(10a,1－b ) C.⎝⎛⎭⎫10a ，b ＋1 D ．(a 2,2b )解析 本题主要考查对数运算法则及对数函数图象，属于简单题．当x ＝a 2时，y ＝lg a 2＝2lg a ＝2b ，所以点(a 2,2b )在函数y ＝lg x 图象上． 答案 D7．函数y ＝1－1x －1的图象是( )．解析 将y ＝－1x 的图象向右平移1个单位，再向上平移一个单位，即可得到函数y ＝1－1x －1的图象． 答案 B8．已知图①中的图象对应的函数为y ＝f (x )，则图②的图象对应的函数为( )．A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝|f (x )|C ．y ＝f (－|x |)D ．y ＝－f (|x |)解析 y ＝f (－|x |)＝⎩⎪⎨⎪⎧f (－x )，x ≥0，f (x )，x ＜0.答案 C9．设函数y ＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，求函数的最小值g (a )．[尝试解答] ∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，∴对称轴为直线x ＝1，而x ＝1不一定在区间[－2，a ]内，应进行讨论．当－2＜a ＜1时，函数在[－2，a ]上单调递减，则当x ＝a 时，y min ＝a 2－2a ；当a ≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，y min ＝－1.综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ，－2＜a ＜1，－1，a ≥1.。
10.高一寒假数学讲义：幂函数的图像与性质(应用)【讲师版】
高一寒假数学讲义“幂函数的图像与性质（应用）”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位熟练掌握幂函数的概念，幂函数的图像及幂函数的性质，会解决幂函数的综合问题及应用问题。
知识梳理一、幂函数的定义一般地，形如y xα=（x∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数.如11234,,y x y x y x-===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.幂函数的几个特点：（1）以自变量为底的幂；（3）指数为常数；（4）自变量前的系数为1；（5）幂前的系数也为1。
特别的：y=x0（x≠0）也是幂函数，因为00没有意义，所以要去掉点（0,1）；而y=1不是幂函数，是常数函数，定义域是x∈R。
二、幂函数的图像α取值范围不同，图像也不相同，α的正负：α＞0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立注意判断幂函数的定义域的方法可概括为（对指数）“先看正负，是负去零，再看奇偶，是偶非负”。
比如幂函数11234,,y x y x y x -===定义域分别为x ∈R ，x ∈R ，x ≠0。
三、 幂函数的性质（1）所有的幂函数在x ∈（0，+∞）都有定义,并且图象都通过点(1,1) （2）指数是偶数的幂函数是偶函数,指数是奇数的幂函数是奇函数 （3）α>0(1)图象都经过点（0，0）和（1，1） (2)图象在第一象限,函数是增函数. α<0(1)图象都经过点（1，1）； (2)图象在第一象限是减函数;(3)在第一象限内,图象向上与Y 轴无限接近,向右与X 轴无限地接近.四、 幂函数的运算（一）两个重要公式①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ；②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。
（二）有理数指数幂 （1）幂的有关概念①正数的正分数指数幂:(0,,1)m n m na a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 11(0,,1)mn m nmnaa m n N n a a-*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。
人教A版高中数学必修1课件2.3幂函数的图像及性质课件
幂函数的图像及性质
【幂函数的图像】
在同一平面直角坐标系下，幂函数y＝x，y＝x2，y 1 3 ＝x ，y＝ x 2 ，y＝x－1的图象 分别如下图.
幂函数的图像及性质
【典型例题】
2 1、已知f(x)＝ 2 ， x
(1)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性并证明； (2)当x∈[1，＋∞)时，求f(x)的最大值. 解：函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数． 证明如 下： 任取x1、x2∈(0，＋∞)，且x1<x2， 2 2 2( x x 2( x1 x2 )( x2 x1 ) 2 2 2 1 ) f(x1)－f(x2)＝
2
m2 2 m 3
幂函数的图像及性质
【变形训练】
故所求幂函数为y＝x－3.这个函数是奇函数，其 定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，根据函数在 x∈(0，＋∞)上为减函数，推知函数在(－∞，0)上 也为减函数.
幂函数的图像及性质
【典型例题】 2、已知幂函数y=xp-3 (p∈N*）的图象关于y轴 对称，且在 (0，＋∞)上是减函数，求满足 p p (a 1) 3 (3 2a) 3 的a的取值范围． 解：∵函数y＝xp－3在(0，＋∞)上是减函数， ∴p－3<0，即p<3， 又∵p∈N*，∴p＝1，或p＝2. ∵函数y＝xp－3的图象关于y轴对称，∴p－3是偶数， －2， ∴取p＝ 1 ，即 y ＝ x 1 1 1 3 在(－∞，＋∞)上是增 由 (a 1) 3 (3 2a) 3 ， ∵函数 y x 1 1 函数，∴由 (a 1) 3 (3 2a) 3 ，得a-1<3+2a即a>-4 . ∴所求a的取值范围是(－4，＋∞)．
知识点—— 幂函数的图像及性质
高中数学2.3.1幂函数的图像、性质及应用课件新人教A必修1
f(x)＝x3.
点评：幂函数y＝xα(α∈R)其中α为常数，其本质特征是以幂的
底x为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为
幂函数的重要依据和唯一标准．对例1来说，还要根据单调性验
根，以免增根．
►跟踪训练
1．已知函数f(x)＝(2m2＋m)xm2＋m－1为幂函数且是奇函数，
则实数m的值是____．
2．3 幂 函 数 2．3.1 幂函数的图象、性质与应用
栏 目 链 接
1．通过具体实例了解幂函数的图象和性质．
2．类比研究指数函数、对数函数的过程与方法，研究幂 函数的图象和性质．
3．体会幂函数图象的变化规律及蕴含其中的对称性，并 能进行简单的应用．
栏 目 链 接
题型1 幂函数概念的理解应用
解析：∵f(x)为幂函数，∴2m2＋m＝1，得m＝21或m＝－1.
栏
当m＝12时，f(x)＝x－41＝
1 4
，
目 链 接
x
定义域为x＞0，显然不具有奇偶性；
当m＝－1时，f(x)＝x－1＝x1是奇函数．
答案：－1
题型2 利用你幂函数的性质比较大小
例2 比较下列各组中两个数的大小：
6
6
(1)0.611与0.711；
间数31.5，利用幂函数和指数函数的单调性可以发现31.4<31.5<51.5，∴
31.4<51.5.
题型3 求幂函数的解析式
例3 幂函数f(x)的图象过点(3，4 27)，求f(x)的表达式．
解析：设f(x)＝y＝xα(α∈R)，则4 27 ＝3α，
栏 目 链
即334＝3α，∴α＝43，故f(x)＝x43.
即－17023>－ 22－23>1.1－43.
北师大版高中数学必修第一册2.4.2简单幂函数的图象和性质课件
教材要点 要点一 幂函数的概念 一般地，形如___y＝__x_α__(α为常数)的函数，即底数是自变量、指数是 常数的函数称为幂函数．
要点二 幂函数的图象和性质
函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
定义域
R
R
R
{_x_|_x_≥___0_}
{_x_|_x_≠___0_}
值域
R
6．(13分)已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时f(x)： (1)是幂函数；
解析：∵f(x)是幂函数， 故m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0， 解得m＝2或m＝－1.
(2)是正比例函数；
(3)是反比例函数；
(4)是二次函数．
解析：若f(x)是二次函数，则－5m－3＝2， 即m＝－1，此时m2－m－1≠0，故m＝－1.
解析：过原点的指数α>0，不过原点的α<0，所以n<0， 当x>1时，在直线y＝x上方的α>1，下方的α<1，所以p>1，0<m<1，0<q<1；x>1 时，指数越大，图象越高，所以m>q.综上所述n<q<m<p.
答案：B
四
状元随笔 比较幂的大小的关键是弄清底数与指数是否相同．若指 数相同，则利用幂函数的单调性比较大小；若底数、指数均不同，则 考虑用中间值法比较大小，中间值可以是“0”或“1”．
答案：B
3．[多选题]已知幂函数f(x)＝xα(α是常数)，下列说法错误的是( ) A．f(x)的定义域为R B．f(x)在(0，＋∞)上单调递增 C．f(x)的图象一定经过点(1，1) D．f(x)的图象有可能经过点(1，－1)
高一数学《幂函数》PPT课件
函数的性质不同
指数函数的底数是一个大于0且 不等于1的常数，而幂函数的底 数可以是任意实数。此外，指 数函数的值域为正实数集，而 幂函数的值域为非负实数集。
图像的形状不同
指数函数的图像是一条经过点 (0,1)的曲线，而幂函数的图像 是一条经过原点的曲线。
02
常见幂函数类型及其特点
一次幂函数
表达式
幂的乘方法则
幂的乘方
底数不变，指数相乘。公式： (a^m)^n = a^(m×n)
举例
(2^3)^4 = 2^(3×4) = 2^12； (x^2)^5 = x^(2×5) = x^10
积的乘方法则
积的乘方
把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。公式： (ab)^n = a^n × b^n
举例
在幂函数中，指数a可以取任意实数，但不同的a值会导致函数性质的不
同。学生需要注意区分不同a值对应的函数性质。
02 03
函数定义域
幂函数的定义域与指数a的取值有关。例如，当a≤0时，函数定义域为 非零实数集；当a>0且a为整数时，函数定义域为全体实数集。学生需 要注意根据指数a的取值来确定函数的定义域。
幂函数性质
幂函数的性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性等。例如，当a>0时，幂函数在定义域内 单调递增；当a<0时，幂函数在定义域内单调递减。
幂函数图像
幂函数的图像根据a的不同取值而呈现出不同的形态，如直线、抛物线、双曲线等。通过图像 可以直观地了解幂函数的性质。
易错难点剖y = x^n（n为实数）
图像
02
一条直线（n=1时）或射线（n≠1时）
性质
03
当n>0时，函数在(0, +∞)上单调递增；当n<0时，函数在(0,
幂函数的图像和性质(第一课时)课件-高一上学期数学湘教版(2019)必修第一册
新知探究| 几个常见的幂函数
其他的幂函数 也可以这样去 研究它的性质
分子有理化
利用函数性质指导作图再检验，更科学！！！
新知探究| 归纳幂函数的性质
பைடு நூலகம்
新知探究| 归纳幂函数的性质
所有幂函数都在y轴右侧有图像，并且都出现在第一象限，如何解释？
新知探究| 归纳幂函数的性质
幂函数图像都过点(1,1),你能在解析式中找到答案吗？
新知探究| 归纳幂函数的性质
代关数于方这法些的一证般明性验结证论了，我能们用观代察数图方像法得证到明的吗结？论。
新知探究|归纳幂函数的性质
后期我们就可以利用奇偶性把幂函数的图像补充完整。
新知探究| 幂函数性质的应用
思考题
新知探究| 幂函数性质的应用
思考题
3 典型例题
典型例题
典型例题
指数幂的方程或 不等式，优先考 虑化为同底
湘教版高中必修第一册
幂函数的图像和性质
教学课件
1 新课导入
新课导入
上述函数的解析式有什么共同特征呢？
2 新知探究
新知探究| 幂函数的定义
新知探究| 幂函数的定义
正整数次幂函数
整数次幂函数
幂函数
负整数次幂函数
分数次幂函数
这几个常见的幂函数是我们研究幂函数性质的窗口！！！
新知探究| 几个常见的幂函数
4 课堂练习
课堂练习
5 课堂小结
课堂小结
利用奇偶性就可以把图像补充完整。
6 作业布置
作业布置 书面作业：习题4.1 8、13 补充作业：
沪教版(上海)数学高一上册-4.1 幂函数的性质与图像课件 优秀课件PPT
用微笑告诉别人，今天的我，比昨天更强。瀑布跨过险峻陡壁时，才显得格外雄伟壮观。勤奋可以弥补聪明的不足，但聪明无法弥补懒惰的缺陷。孤独是 每个强者必须经历的坎。有时候，坚持了你最不想干的事情之后，会得到你最想要的东西。生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。只有经历人生 的种种磨难，才能悟出人生的价值。没有比人更高的山，没有比脚更长的路学会坚强，做一只沙漠中永不哭泣的骆驼！一个人没有钱并不一定就穷，但没 有梦想那就穷定了。困难像弹簧，你强它就弱，你弱它就强。炫丽的彩虹，永远都在雨过天晴后。没有人能令你失望，除了你自己人生舞台的大幕随时都 可能拉开，关键是你愿意表演，还是选择躲避。能把在面前行走的机会抓住的人，十有八九都会成功。再长的路，一步步也能走完，再短的路，不迈开双 脚也无法到达。有志者自有千计万计，无志者只感千难万难。我成功因为我志在成功！再冷的石头，坐上三年也会暖。平凡的脚步也可以走完伟大的行程。 有福之人是那些抱有美好的企盼从而灵魂得到真正满足的人。如果我们都去做自己能力做得到的事，我们真会叫自己大吃一惊。只有不断找寻机会的人才 会及时把握机会。人之所以平凡，在于无法超越自己。无论才能知识多么卓著，如果缺乏热情，则无异纸上画饼充饥，无补于事。你可以选择这样的“三 心二意”：信心恒心决心；创意乐意。驾驭命运的舵是奋斗。不抱有一丝幻想，不放弃一点机会，不停止一日努力。如果一个人不知道他要驶向哪个码头， 那么任何风都不会是顺风。行动是理想最高贵的表达。你既然认准一条道路，何必去打听要走多久。勇气是控制恐惧心理，而不是心里毫无恐惧。不举步， 越不过栅栏；不迈腿，登不上高山。不知道明天干什么的人是不幸的！智者的梦再美，也不如愚人实干的脚印不要让安逸盗取我们的生命力。别人只能给 你指路，而不能帮你走路，自己的人生路，还需要自己走。勤奋可以弥补聪明的不足，但聪明无法弥补懒惰的缺陷。后悔是一种耗费精神的情绪，后悔是 比损失更大的损失，比错误更大的错误，所以，不要后悔！复杂的事情要简单做，简单的事情要认真做，认真的事情要重复做，重复的事情要创造性地做。 只有那些能耐心把简单事做得完美的人，才能获得做好困难事的本领。生活就像在飙车，越快越刺激，相反，越慢越枯燥无味。人生的含义是什么，是奋 斗。奋斗的动力是什么，是成功。决不能放弃，世界上没有失败，只有放弃。未跌过未识做人，不会哭未算幸运。人生就像赛跑，不在乎你是否第一个到 达终点，而在乎你有没有跑完全程。累了，就要休息，休息好了之后，把所的都忘掉，重新开始！人生苦短，行走在人生路上，总会有许多得失和起落。 人生离不开选择，少不了抉择，但选是累人的，择是费人的。坦然接受生活给你的馈赠吧，不管是好的还是坏的。现在很痛苦，等过阵子回头看看，会发 现其实那都不算事。要先把手放开，才抓得住精彩旳未来。可以爱，可以恨，不可以漫不经心。我比别人知道得多，不过是我知道自己的无知。你若不想 做，会找一个或无数个借口；你若想做，会想一个或无数个办法。见时间的离开，我在某年某月醒过来，飞过一片时间海，我们也常在爱情里受伤害。1、 只有在开水里，茶叶才能展开生命浓郁的香气。人生就像奔腾的江水，没有岛屿与暗礁，就难以激起美丽的浪花。别人能做到的事，我一定也能做到。不 要浪费你的生命，在你一定会后悔的地方上。逆境中，力挽狂澜使强者更强，随波逐流使弱者更弱。凉风把枫叶吹红，冷言让强者成熟。努力不不一定成 功，不努力一定不成功。永远不抱怨，一切靠自己。人生最大的改变就是去做自己害怕的事情。每一个成功者都有一个开始。勇于开始，才能找到成功的 路。社会上要想分出层次，只有一个办法，那就是竞争，你必须努力，否则结局就是被压在社会的底层。后悔是一种耗费精神的情绪后悔是比损失更大的 损失，比错误更大的错误所以不要后悔。每个人都有潜在的能量，只是很容易:被习惯所掩盖，被时间所迷离,被惰性所消磨。与其临渊羡鱼，不如退而结网。 生命之灯因热情而点燃，生命之舟因拼搏而前行。世界会向那些有目标和远见的人让路。不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。骐骥一跃，不 能十步；驽马十驾，功在不舍。锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。若不给自己设限，则人生中就没有限制你发挥的藩篱。赚钱之道很多，但是 找不到赚钱的种子，便成不了事业家。最有效的资本是我们的信誉，它小时不停为我们工作。销售世界上第一号的产品——不是汽车，而是自己。在你成
高一数学幂函数的图像与性质2(教师版)
学科教师辅导讲义【典型例题分析】例1、已知函数(),(),()(0,)n nn nx xf x x R x f xx x-+--=∈+∞+为非零有理数，判断在上是增函数还是减函数。
并证明你的结论。
解析：22()11n nn n nx xf xx x x---==-++接下来用函数单调性的地宫一，既取值、做差、变形、定号、结论去验证函数的单调性，单调递减变式练习：求证322()(1,)(1)xf xx=+∞-函数在区间上是减函数。
答案：略例2、已知幂函数223(),m mf x x m Z--=∈=为偶函数，且在区间(0,)+∞上单调递减。
（1）求函数()f x的解析式（2）讨论函数()()()bg x a f xx f x=-⋅的奇偶性解析：（1）4()f x x-=（2）32(),0()ag x bx b g xx=-=≠≠当是是偶函数，当a=0时，g(x)是奇函数，当a=0且b=0时，g(x)是既奇又偶函数，当a0,且b0时，g(x)为非奇非偶函数。
例3、求曲线21y x=+分别与下列直线的交点个数(1)y=x+b(b∈R)；(2)y=kx-1(k∈R)．解析：方程是y=-2x-1。
由图乙可见，当-2＜k ≤0时没有交点；对k 的其他值有一个交点。
例4、由于对某种商品开始收税，使其定价比原定价上涨x 成（即上涨率为10x），涨价后，商品卖出个数减少bx 成，税率是新定价的a 成，这里a,b 均为正常数，且a <10，设售货款扣除税款后，剩余y 元，要使y 最大，求x 的值.解：设原定价A 元，卖出B 个，则现在定价为A(1+10x )， 现在卖出个数为B(1－10bx)，现在售货金额为A(1+10x ) B(1－10bx )=AB(1+10x )(1－10bx )，应交税款为AB(1+10x )(1－10bx )·10a，剩余款为y = AB(1+10x)(1－10bx ))101(a -= AB )1101100)(101(2+-+--x b x b a ， 所以bb x )1(5-=时y 最大 要使y 最大，x 的值为bb x )1(5-=.例5、已知函数222()(0)[1,3]1x bx cf x b x ++=<+的值域为 （1）求实数b,c 的值（2）判断函数()y f x =在[1,1]x ∈-上的单调性，并给出证明。
幂函数 课件-高一上学期数学人教A版必修第一册
y x 1
[0，+∞） ，0 （0，+） [0，+∞） ，0 （0，+）
奇偶性 奇函数 偶函数
奇函数
非奇非偶 函数
奇函数
R上 单调性
公共点
在（－∞,0]
上
R上
在(0, +∞） 上
（1，1）
在(0，+∞) 在( －∞,0)，
上
(0, +∞）上
幂函数性质：
1)定点：所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点 （1，1）； 当α ＞0时，幂函数的图象都通过原点
y
y
y
y
o
x
o
x
o
x
o
x
A
B
C
D
(2)当α∈{－1，1，1,3}时，幂函数 y＝xα的图象不可能经过第_二__、__四__象限． 2
题型三
角度1 比较幂的大小 探究问题]
1．幂函数 y＝xα在(0，＋∞)上的单调性与α有什么关系？ 提示：当α>0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；当α<0时，幂
2)单调性：当α ＞0时，在区间[0，+∞)上是增函数 当α＜0时，幂函数在区间(0，+∞)上是减函数.
3)奇偶性： 当α为奇数时,幂函数为奇函数, 当α为偶数时,幂函数为偶函数
题型一
1．已知幂函数 f(x)的图象过点(2,2 2)，则 f(4)的值为( )
A．4
B．8
C．2 2
[D解．析1] 设 f(x)＝xα，∴2 2＝
⑤ x3 ⑥
1
yx 2
中，是幂函数的是（①⑤⑥）
.
(2) 已知幂函数 y＝f (x)的图象过点(3， 3)，则 f (9)＝ 3 .
沪教版数学高一上册4.1幂函数的性质与图像课件(2
0 x1 x2 0 x1k x2k
即0
1 x1k
1 x2k
2
4
6
8
10
x1k x2k
-2
x
1
1
4
2-3
1
23
x2 16.0 4.0
1.0
0.3 0.1
-4
1
x2
2.0
-15 .4
1.0
0.7
0.6
二、幂函数的图像研究
课堂练习1
研究 y
x2 , y
1
x2
的定义域，奇偶性，单调性
并画出5 大致图像
图像必过 (0,0), (1,1)
在 [0, ) 上为增函数
证：设 k n , n, m N *
m
6
7
0 x1 x2
0 x1n x2n 0 m x1n m x2n
x1k x2k
3
1.7 9.0
x3
0.0
0.1 1.0
8.0 27.0
二、幂函数4.54 的图像研究
3.5 3
2.5 2
2
0 k 1
1.8
1.6
1.4
1.2
1
k 0
0.8
-1
-8 -10
-6
-6
-10 -4
0.6
0.4 7
k0
0.2
6
6
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
-0.2
7
5
5
四、幂函数的奇偶性 -0.4
6
4
4
-0.6
5
3
3
4
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学科教师辅导讲义 年 级：高一 辅导科目： 数学 课时数：
课 题 测试卷 幂函数的图像和性质
教学目的 1、掌握幂函数的图像与性质；
2、查漏补缺。
教学内容
一、填空题
1、若幂函数()y f x =的图像过点2,22⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，则函数()y f x =的解析式为
2、已知函数()()22144m m f x m m x --=--是幂函数，则实数m 的值为
3、幂函数223n n y x --=（n Z ∈）的图像与两坐标轴无交点且关于y 轴对称，则n 的值等于
4、设1112,1,,,,1,2,3232α⎧
⎫∈---⎨⎬⎩⎭
，已知幂函数()f x x α=是偶函数，且在区间()0,+∞上是减函数，则满足要求的α值的个数是 ．
5、已知函数()1
a x f x x a -=--的图像的对称中心是(3，-1)，则函数()f x 的单调递增区间是 6、若二次函数()2f x ax bx c =++的图像如右图所示，且1x 、2x 是函数()f x 的
零点，则2x =
7、若二次函数()2
f x ax bx =+有()()()1212f x f x x x =≠，则()12f x x +的值等于
8、已知()
()1133132x x --+<-，则实数x 的取值范围是
二、选择题
9、如图，,,,M N P Q 分别为幂函数图像上的点，且它们的纵坐标相同，若四个幂函数为①3y x -=；②2y x -=；③23y x -=；④13
y x -=，则,,,M N P Q 与四个函数序号的对应顺序只可能是（ ）
A ．①②③④
B ．②③④①
C ．②①③④
D ．③②①④
10、已知函数()32f x ax bx cx d =+++的图像如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A ．(),0b ∈-∞
B ．()0,1b ∈
C ．()1,2b ∈
D ．()2,b ∈+∞
11、方程211880x x x --+-=的解的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12、设()y f x =和()y g x =是两个不同的幂函数，集合()(){}M x f x g x ==，则集合中的元素的个数是（ ）
A ．1或2或0
B ．1或2或3
C ．1或2或3或4
D ．0或1或2或3
三、解答题
13、研究函数23y x =的定义域、值域、奇偶性和单调性，并画出其大致图像。
14、已知函数()()11113333,55x x
x x
f x
g x ---+==；
（1）证明()f x 是奇函数，并求()f x 的单调区间；。