线性代数重要知识点及典型例题答案

线性代数知识点总结
第一章 行列式
二三阶行列式
N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和
n n
n nj j j j j j j j j n
ij a a a a ...)1(21212121)
..(∑-=
τ
（奇偶）排列、逆序数、对换
行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。

（转置行列式T
D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。

推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。

③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。

推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。

④行列式具有分行（列）可加性
⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1(
定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。

克莱姆法则：
非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j D
D x j j ⋯⋯==、
齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式：
①转置行列式：33
23133222123121
11333231232221
131211
a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a =
③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零
④三线性行列式:33
31
2221
13
1211
0a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。

化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:
行列式运算常用方法（主要）
行列式定义法（二三阶或零元素多的） 化零法（比例）
化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、
第二章 矩阵
n （零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) ---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律
乘法
n
m l
kj ik n l kj l m ik b a b a B A *1
**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义
一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0 转置A A T T =)( T
T T B A B A +=+)( T T kA kA =)( T
T T A B AB =)((反序定理) 方幂：212
1k k k k
A A
A +=
212
1)
(k k k k A A +=
对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵，k 是数，则kA 、A+B 、 数量矩阵：相当于一个数（若……）
单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……） 对称矩阵 反对称矩阵
阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 注：把分出来的小块矩阵看成是元素
N 阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的，
|A|=0、伴随矩阵)
2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆
倍乘阵 倍加阵） ⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=O O
O I D r
r
矩阵的秩r(A)：满秩矩阵 降秩矩阵 若A 可逆，则满秩 若A 是非奇异矩阵，则r （AB ）=r （B ） 初等变换不改变矩阵的秩
求法：1定义2转化为标准式或阶梯形
矩阵与行列式的联系与区别：
都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=，行列式
n
ij n n ij a k ka =
逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。

矩阵的逆矩阵满足的运算律：
1、可逆矩阵A 的逆矩阵也是可逆的，且A A =--1
1)
(
2、可逆矩阵A 的数乘矩阵kA 也是可逆的，且11
1)(--=
A k
kA 3、可逆矩阵A 的转置T
A 也是可逆的，且T T A A )()
(11
--=
4、两个可逆矩阵A 与B 的乘积AB 也是可逆的，且111
)
(---=A B AB
但是两个可逆矩阵A 与B 的和A+B 不一定可逆，即使可逆，但1
1
)(--+≠+B A B A A 为N 阶方阵，若|A|=0，则称A 为奇异矩阵，否则为非奇异矩阵。

5、若A 可逆，则1
1
--=A A
伴随矩阵：A 为N 阶方阵，伴随矩阵：⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=22211211
*
A A
A A A （代数余子式） 特殊矩阵的逆矩阵：（对1和2，前提是每个矩阵都可逆）
1、分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C O B A D 则⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-----11111
C O BC A A
D 2、准对角矩阵⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎭⎫
⎝
⎛=43
2
1
A A A A A ， 则⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=-----141
3
1
2
111
A A A A A 3、 I A A A AA ==*
*
4、1
*
-=A A A （A 可逆）
5、1
*
-=n A
A 6、()()A A
A A 1
*
11
*
=
=--（A 可逆） 7、()()*
*
T T
A A = 8、()
***
A B AB =
判断矩阵是否可逆：充要条件是0≠A ，此时*
11A A
A =- 求逆矩阵的方法：
定义法I AA =-1
伴随矩阵法A
A A *
1
=-
初等变换法()()
1||-=A I
I A n
n
只能是行变换
初等矩阵与矩阵乘法的关系： 设()
n m ij a
A *=是
m*n 阶矩阵，则对A 的行实行一次初等变换得到的矩阵，等
于用同等的m 阶初等矩阵左乘以A ：对A 的列实行一次初等变换得到的矩阵，等于用同种n 阶初等矩阵右乘以A （行变左乘，列变右乘）
第三章 线性方程组
消元法 非齐次线性方程组：增广矩阵→简化阶梯型矩阵
r(AB)=r(B)=r 当r=n 时，有唯一解；当n r ≠时，有无穷多解 r(AB)≠r(B)，无解
齐次线性方程组：仅有零解充要r(A)=n 有非零解充要r(A)<n 当齐次线性方程组方程个数<未知量个数，一定有非零解
当齐次线性方程组方程个数=未知量个数，有非零解充要|A|=0 齐次线性方程组若有零解，一定是无穷多个
N 维向量：由n 个实数组成的n 元有序数组。

希腊字母表示（加法数乘）
特殊的向量：行（列）向量，零向量θ，负向量，相等向量，转置向量 向量间的线性关系: 线性组合或线性表示
向量组间的线性相关（无）：定义179P 向量组的秩：极大无关组（定义P188）
定理：如果r j j j ααα,.....,21是向量组s ααα,.....,21的线性无关的部分组，则它是 极大无关组的充要条件是：s ααα,.....,21中的每一个向量都可由r j j j ααα,.....,21线性表出。

秩:极大无关组中所含的向量个数。

定理：设A 为m*n 矩阵，则r A r =)(的充要条件是：A 的列（行）秩为r 。

现性方程组解的结构：齐次非齐次、基础解系
线性组合或线性表示注：两个向量αβ，若βαk =则α是β线性组合 单位向量组
任意向量都是单位向量组的线性组合 零向量是任意向量组的线性组合
任意向量组中的一个都是他本身的线性组合 向量组间的线性相关（无）注： n 个n 维单位向量组一定是线性无关 一个非零向量是线性无关，零向量是线性相关 含有零向量的向量组一定是线性相关 若两个向量成比例，则他们一定线性相关
向量β可由n ααα,..,21线性表示的充要条件是)...()...(2121T T n T T T n T T
r r βαααααα=
判断是否为线性相关的方法：
1、定义法：设n k k k ....21，求n k k k ....21（适合维数低的）
2、向量间关系法183P ：部分相关则整体相关，整体无关则部分无关
3、分量法（n 个m 维向量组）180P ：线性相关（充要）n r T n T T
<⇒)....(21ααα
线性无关（充要）n r T n T T
=⇒)....(21
ααα
推论①当m=n 时，相关，则0321=T
T
T
ααα；无关，则0321≠T
T
T
ααα ②当m<n 时，线性相关
推广：若向量s ααα,...,21组线性无关，则当s 为奇数时，向量组13221,...,αααααα+++s 也线性无关；当s 为偶数时，向量组也线性相关。

定理：如果向量组βααα,,...,21s 线性相关，则向量β可由向量组s ααα,...,21线性表出，且 表示法唯一的充分必要条件是s ααα,...,21线性无关。

极大无关组注：向量组的极大无关组不是唯一的，但他们所含向量的个数是确定的； 不全为零的向量组的极大无关组一定存在； 无关的向量组的极大无关组是其本身； 向量组与其极大无关组是等价的。

齐次线性方程组（I ）解的结构：解为...,21αα
（I ）的两个解的和21αα+仍是它的解； （I ）解的任意倍数αk 还是它的解；
（I ）解的线性组合s s c c c ααα+++....2211也是它的解，s c c c ,...,21是任意常数。

非齐次线性方程组（II ）解的结构：解为...,21μμ （II ）的两个解的差21μμ-仍是它的解；
若μ是非齐次线性方程组AX=B 的一个解，v 是其导出组AX=O 的一个解，则u+v 是（II ）的一个解。

定理：
如果齐次线性方程组的系数矩阵A 的秩n r A r <=)(，则该方程组的基础解系存在，且在每个基础解系中，恰含有n-r 个解。

若μ是非齐次线性方程组AX=B 的一个解，v 是其导出组AX=O 的全部解，则u+v 是（II ）的全部解。

第四章 向量空间
向量的内积 实向量
定义：（α，β）=n n T
b a b a b a +++=....2211αβ
性质：非负性、对称性、线性性 (α,k β)=k(α,β); (k α,k β)=2
k (α,β);
(α+β,δγ+)=(α,γ)+(α,δ)+(β,γ)+(β,δ); ),(),(
1
1
1
1
j i s
j j r i i j s
j j
r i i
i l k l
k βαβα∑∑∑∑===== n R ∈δγβα,,,,
向量的长度),(ααα=
0=α的充要条件是α=0；α是单位向量的充要条件是（α，α）=1
单位化 向量的夹角
正交向量：αβ是正交向量的充要条件是（α，β）=0 正交的向量组必定线性无关 正交矩阵：ｎ阶矩阵Ａ I A A AA T
T
==
性质：1、若A 为正交矩阵，则Ａ可逆，且T A A =-1，且1
-A 也是正交矩阵； ２、若A 为正交矩阵，则1±=A ；
３、若A 、Ｂ为同阶正交矩阵，则ＡＢ也是正交矩阵；
４、ｎ阶矩阵Ａ＝（ij a ）是正交矩阵的充要条件是Ａ的列（行）向量组是 标准正交向量；
第五章 矩阵的特征值和特征向量
特征值、特征向量
A 是N 阶方阵，若数λ使AX=λX ，即（λI-A ）=0有非零解，则称λ为A 的一 个特征值，此时，非零解称为A 的属于特征值λ的特征向量。

|A|=n λλλ...**21
注： 1、AX=λX
2、求特征值、特征向量的方法
0=-A I λ 求i λ 将i λ代入（λI-A ）X=0求出所有非零解
3、对于不同的矩阵，有重根、单根、复根、实根（主要学习的）
特殊：n I )(λ的特征向量为任意N 阶非零向量或)(21不全为零i n c c c c ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛
4、特征值： 若)0(≠λλ是A 的特征值 则1
-A --------λ
1 则m A --------m
λ 则kA --------λk
若2
A =A 则-----------λ=0或1 若2A =I 则-----------λ=-1或1 若k A =O 则----------λ=0
迹tr(A )：迹（A ）=nn a a a +⋯⋯++2211
性质：
1、N 阶方阵可逆的充要条件是A 的特征值全是非零的
2、A 与1-A 有相同的特征值
3、N 阶方阵A 的不同特征值所对应的特征向量线性无关
4、
5、P281 相似矩阵
定义P283：A 、B 是N 阶矩阵，若存在可逆矩阵P ，满足B AP P =-1，则矩阵A 与B 相似，记作A~B
性质1、自身性：A~A,P=I
2、对称性：若A~B 则B~A B AP P =-1 1-=PBP A A BP
P =---1
11)(
3、传递性：若A~B 、B~C 则A~C B AP P =-11
1 C BP P =-21
2- --C P P A P P =-)()(211
21
4、若AB ，则A 与B 同（不）可逆
5、若A~B ，则11~--B A B AP P =-1两边同取逆，111---=B P A P
6、若A~B ，则它们有相同的特征值。

（特征值相同的矩阵不一定相似）
7、若A~B ，则)()(B r A r = 初等变换不改变矩阵的秩 例子：B AP P =-1则1100100-=P PB A O AP P =-1
A=O I AP P =-1
A=I I AP P λ=-1 A=I λ
矩阵对角化 定理：N 阶矩阵A 与N 阶对角形矩阵相似的充要条件是A 有N 个线性无关的特征向量
注：1、P 与^中的i i x λ与顺序一致
2、A~^,则^与P 不是唯一的
推论：若n 阶方阵A 有n 个互异的特征值，则~^A （P281）
定理：n 阶方阵~^A 的充要条件是对于每一个i K 重特征根i λ，都有
i i K n A I r -=-)(λ
注：三角形矩阵、数量矩阵I λ的特征值为主对角线。

约当形矩阵
约当块：形如⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛=λλ
λλ11
1
J 的n 阶矩阵称为n 阶约当块； 约当形矩阵：由若干个约当块组成的对角分块矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛=n J J J J 2
1
（i J 是约当块）称为约当形矩阵。

定理：任何矩阵A 都相似于一个约当形矩阵，即存在n 阶可逆矩阵J AP P =-1。

第六章 二次型
二次型与对称矩阵
只含有二次项的n 元多项式f()称为一个n 元二次型，简称二次型。

标准型：形如 的二次型，称为标准型。

规范型：形如 的二次型，称为规范型。

线性变换
矩阵的合同：设AB 是n 阶方阵，若存在一个n 阶可逆矩阵C ，使得 则称A 与B 是合同的，记作A B 。

合同的性质：反身性、对称性、传递性、秩、
化二次型为标准型：配方法、做变换（二次型中不含有平方项）
壱拾
第一章 行列式
一．行列式的定义和性质
1. 余子式ij M 和代数余子式ij A 的定义
例1行列式
111101111011
1
1
------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ ）
A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2
测试点 余子式和代数余子式的概念
解析
111101111011
1
1
------,21
21211
11111(1)
1
0101
211
10
1
A M +--=-=--=--=--- 答案 B
2．行列式按一行或一列展开的公式 1）1
1
,1,2,
;(,1,2,
)n
n
ij
ij ij ij
ij ij n
n
i j A a a A j n A a a A i n ========∑∑
2）11 ; 00n
n ij ik ij kj i j k j k i A A
a A a A k j k i ====⎧⎧==⎨⎨≠≠⎩⎩
∑∑ 例2 设某3阶行列式的第二行元素分别为1,2,3,-对应的余子式分别为3,2,1--则此行列式的值为 .
测试点 行列式按行(列)展开的定理
解 212223
212223212223(1)23(1)(1)2(1)3(1)D A A A M M M +++=-⋅++=--+-+-
34310=---=-
例3 已知行列式的第一列的元素为1,4,3,2-，第二列元素的代数余子式为2,3,4,x 问x = . 测试点 行列式的任意一行(列)与另一行(列)元素的代数余子式的乘积之和为零.
解 因第一列的元素为1,4,3,2-，第二列元素的代数余子式为2,3,4,x ,故1243(3)420x ⨯+⨯+-⨯+= 所以1x =-
3．行列式的性质 1）.T A A =
2）用数k 乘行列式的某一行（列）所得新行列式＝原行列式的k 倍.推论 3）互换行列式的任意两行（列）所得新行列式等于原行列式的相反数. 推论 4）如果行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式值为0. 5）行列式可以按任一行（列）拆开.
6）行列式的某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，所得新行列式与原行列式的值相等.
例4 已知11
121321
222331
32
33
3a a a a a a a a a =，那么111213
21
222331
32
33
222222a a a a a a a a a =---（ ） A.24- B.12- C.6-
D. 12
测试点 行列式的性质
解析 11
1213111213
21
222321
222331
32
33
31
32
33
2222(2)12.222a a a a a a a a a a a a a a a a a a =⨯-=---- 答案 B 例5设行列式2211b a b a =1，2211c a c a =2，则2
22
111c b a c b a
++=（ ）
A ．3-
B ．1-
C ．1
D ．3
测试点 行列式的性质
解
1
111
11
1
2
222222
3a b c a b a c a b c a b a c +=+=+ 故应选 D 答案 D
二．行列式的计算
1．二阶行列式和三角形行列式的计算.
2.对一般数字行列式，利用行列式的性质将其降阶以化成二阶行列式或三角形行列式的计算. 3．对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开. 4．行列式中各行元素之和为一个常数的类型. 5.范德蒙行列式的计算公式
测试点 行列式的计算
解
1114
1114
0231131002302103(3)61211010310
003
1111
0003
--=
=-=-=---
例7计算3阶行列式 .7
673679492493
23123
解 (1)(1)(2)
(2)(1)(3)
123233
100
233
100203249
4992004992004090.367677
300677
300607
+-+-==
= 例8 计算行列式：
x a a a
a x a a a a
x a a a a
x
测试点 各行元素之和为常数的行列式的计算技巧.
解 333000300030
x a a a
x a a a a x a a a a a x a a x a
x a a x a D a a
x a x a a
x a x a a a a x
x a a a
x
x a
+++-=
==
=+-+-
3(3)().x a x a =+-
例9计算行列式00
000
0000 00000
0n a b a b
a D a
b b a
=
测试点 行列式中有一行只有两个元素不为零的行列式的计算和三角形行列式的计算
1100000000 =00000
a
aA a b b a
+例10计算行列式6000100
20
050060
00
D =
解 3
6(1)(6)(2)(5)
(3)(4)
0001100000
20
02
00
(1)6!0500
00506000
00
06
D ↔↔↔=
=-=- 例11设2311248
()139********
x x x D x =
问（1）()D x 中，3
x 项的系数＝？（2）方程()0D x =有几个根？试写出所有的根。

测试点 1.范德蒙行列式的判别和计算公式;2.行列式按行(列)展开的定理.
解（1）3
x 项的系数5
1412
4
(1)13
9(32)(42)(43)21416
A ==-=----=-
(2)因为()(2)(3)(4)(32)(42)(43)D x x x x =------ 所以方程()0D x =有三个根:1232,3, 4.x x x ===
第二章 矩阵
一、矩阵的概念
1.要弄清矩阵与行列式的区别
2.两个矩阵相等的概念
3.几种特殊矩阵（0矩阵，单位阵，三角阵，对角阵，数量阵） 二、矩阵的运算
1． 矩阵,A B 的加、减、乘有意义的充分必要条件
例1设矩阵(1,2)A =,1234B ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 123456C ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，则下列矩阵运算中有意义的是（ ）
A ．AC
B B ．AB
C C ．BAC
D ．CAB
测试点: 矩阵相乘有意义的充分必要条件 答案: B
例2设矩阵120210001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 100021013B ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，则2A B + =_____________.
测试点: 矩阵运算的定义
解 1202003202210042252001026027A B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
.
例3设矩阵12A ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 23B ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，则T A B =____________. 测试点: 矩阵运算的定义 解 2(1,2)8.3T A B ⎛⎫== ⎪⎝⎭
2．矩阵运算的性质
比较矩阵运算（包括加、减、数乘、乘法等）的性质与数的运算性质的相同点和不同点（加法的交换律和结合律；乘法关于加法的分配律；）重点是矩阵乘法没有交换律（由此产生了矩阵运算公式与数的运算的公式的不同点.
(+ ;+;A B A AB BA B A B A B A BA AB B ±=+++=2
2
2
2
2
()()(-)--
22(); ()2k k k AB ABAB AB A B A E A A E =≠±=±+
如果AB O =，可能,.A O B O ≠≠例如1122,1122A B ⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥
----⎣⎦⎣⎦
都不为零，但AB O =. 3．转置 对称阵和反对称阵 1）转置的性质
(); () ;()T T T T T T T T T A B A B A A ABC C B A λλ±=±==
2）若()T
T
A A A A ==-，则称A 为对称（反对称）阵 例4矩阵,,A
B
C 为同阶方阵，则()T
ABC =（ ）
A ．T T T
A B C B ．T T T
C B A C ．T
T
T
C A B
D ．T
T
T
A C B
答案: B
例5设(1,2,3),(1,1,1),αβ==-令T
A αβ=,试求5A . 测试点 矩阵乘法的一个常用技巧
解 因为111222333T
A αβ⎛-⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
-⎝
⎭⎝⎭,所以
5()()()()T T T T T T T T T T A αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ==
55511111111()[(1,1,1)2]2(1,1,1)222232222.33333333T T βααβ--⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥==--=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥
⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦
答案 11132222.333-⎡⎤
⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
例6A 为任意n 阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（ ） A ．T A A +
B ．T A A -
C ．T
AA
D ．T
A A
解析 ()()T T
T
T T
T
T
A A A A A A A A +=+=+=+.故T
A A +为对称阵. ()()T T
T
T
A A A A A A -=-=--.故T
A A -为反对称阵. ().T T
T
AA AA =故T AA 为对称阵.同理T
A A 也为对称阵.
答案 B
例7已知矩阵1123A -⎡⎤=⎢
⎥
⎣⎦
,E 为2阶单位矩阵,令2
32,B A A E =-+求B 测试点 方阵多项式的概念;
211111110323223232301B A A E ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=-+=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
1433202187690220-----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=-+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
4. 方阵的行列式的性质
; ; ; T n A A A A AB A B λλ===
1
11 ; ;.k
n k A A A A A A
--*==
= 例7设A 为n 阶方阵，λ为实数，则A λ=（ ）
A ．A λ
B ．A λ
C ．n A λ
D ．
n
A λ
答案: C 例8矩阵1212,3445A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，则行列式1
T A B -=___________. 解析 1
1112
(2).(3)3
T
T A B
A B A
B --===-⋅=- 答案 2
.3
5.逆矩阵
1）方阵A 可逆(也称非异，A 满秩)的充分必要条件是0A ≠.当A 可逆时，
11A A A
-*
=
. 其中方阵A 的伴随阵A *
的定义112111222212n n n
n
nn A A A A A A A A A A *⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦。

特别 当0ad bc -≠时，1
1a b d b c d c a ad bc --⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦
重要公式
AA A A A E **==；1
n A A
-*=； A *与1
A -的关系
2）重要结论：若n 阶方阵,A B 满足AB E =，则,A B 都可逆，且1
1,A B B A --==.
3）逆矩阵的性质：
11();A A --=;当0λ≠时，111111
();()A A AB B A λλ
-----=
=；11()()T T A A --=;11
A A
-=
. 4）消去律：设方阵A 可逆，且()AB AC BA CA ==，则必有B C =.（若不知A 可逆，
仅知0A ≠结论不一定成立。

） 6．分快矩阵
矩阵运算时，分快的原则：保证运算能顺利进行（包括分块矩阵和子块的运算）如
1111213111122133221
22
23211
2222333,,B A A A A B A B A B A B B AB A A A A B A B A B B ⎡⎤
++⎡⎤⎡⎤⎢⎥===⎢
⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦
； 分快矩阵的运算规则；特别是分快矩阵的转置
11
12111
2112122212
22
21
2
12T
T
T
T
k m T
T T k m T T T m m mk k
k
mk A A A A A A A A A A A A A A A A A A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦⎣⎦
准对角阵的逆矩阵： 如果 12,,,k A A A 都是可逆阵，则
1
1
1
11221k k A O O A O
O O A O O
A O O
O
A O
O
A ----⎡⎤⎡⎤⎢
⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦⎣⎦ 例9 二阶矩阵a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，则A *
＝（ ）
A ．⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--a c b d
B ．⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛--a b
c d C ．⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛--a c
b d D ．⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--a b c d
测试点 伴随矩阵的定义,二阶方阵的伴随阵 答案: A
例10 三阶阵100220333A ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，则A A *
= _____________.
测试点 重要公式 AA A A A E *
*
==.
答案6006060006E ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
例11 200363532A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，则A *
=____________.
解 31
2636A A
-*
===
例12 设A 为2阶可逆矩阵，且已知112(2)34A -⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
，则A =（ ）
A ．12234⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
B ．
121342⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
C ．1
12234-⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
D ．1
121342-⎡⎤⎢⎥⎣⎦
测试点 逆矩阵的性质
解 由 112(2)34A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
,所以1
12234A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 故1
121342A -⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦ 答案 D
例13设101210,325A ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪--⎝⎭
　求1A -.
测试点 求逆矩阵的方法 解
[]101100101100210 010012 210,325001022301AE ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−−−−→--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭
(2)+(-2)(1)(3)+3(1)
1
(3)(3)(2)(2)2
10110010110001221001221000272171001122+-⎡
⎤
⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−−→--−−−→--→⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥-⎣⎦-⎢⎥⎣⎦
所以1
511
225
117112
2A -⎡⎤--⎢⎥⎢⎥
=-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥
⎣⎦
注意 一定要验算
例14 已知2
28,A A E O --=则1
()A E -+=_____________。

测试点 关于逆矩阵的重要推论
若,A B 都是n 阶矩阵，且满足,n AB E =则,A B 都可逆，且1
1,.A
B B A --==
解 由2
28A A E O --=得2
3350A A A E E +---=，即()(3)5A E A E E +-=，
即 (3)()
5A E A E E -+=，故 11
()(3).5
A E A E -+=- 答案 1
1
()
(3).5
A E A E -+=- 例15设A 是n 阶方阵，且2
()A E O +=，证明A 可逆. 测试点 若AB E =则,A B 都可逆,且1
1,.A
B B A --==
证 因为2
()A E O +=,即2
20A A E ++=,所以(2)A A E E -+=
故A 可逆,且1
(2)A
A E -=-+.
例16设n 阶方阵A 满足m
A O =，其中m 为正整数，证明E A -可逆，且
121()m E A E A A A ---=++++
分析 只要检查2
1()()m E A E A A A E --++++=即可
证 因为 2
1()()m E A E A A A --+++
+=
22m E A A A A A =-+-+-+-
m E A E =-=.
故 1
21()m E A E A A A ---=++++
三、矩阵的初等变换和初等矩阵 1．初等变换的定义和性质
称矩阵的下列三种变换为初等行变换： （1）两行互换；
（2）某一行乘一个非零的数； （3）某一行的k 倍加到另一行上。

类似地可定义初等列变换，初等行变换，初等列变换统称为初等变换.
方阵经初等变换后的行列式是否变化？（分别就三种初等变换说明行列式变化的情况）
初等变换不改变方阵的可逆性；初等变换不改变矩阵的秩；行初等变换必能将矩阵化为行最简形，初等变换必能将矩阵A 化为标准形r E O O O ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
，其中r 为矩阵A 的秩. 如果矩阵A 经过有限次的初等变换变成,B 则称矩阵A 与B 等价.等价矩阵有相等的秩，从而有相等的等价标准形.
2.初等矩阵的定义和性质
1）初等矩阵的定义;初等阵都可逆，且其逆也是同类型的初等阵. 2) 初等变换和矩阵乘法之间的关系
3)对任意m n ⨯阶矩阵A ，总存在一系列m 阶初等阵12,,
,k P P P 和一系列n 阶初等阵12,,,,l Q Q Q 使得
1212
.r
k l E
O PP P AQ Q Q O O ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
4)矩阵m n ⨯阶A 与B 等价的充分必要条件是存在一系列m 阶初等阵12,,
,k P P P 和一系列n 阶初等阵
12,,,,l Q Q Q 使得1212.k l PP P AQ Q Q B =
例17 下列矩阵中，是初等矩阵的为（ ）
A ．1000⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
B ．011101001-⎡⎤
⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ C ．100010101⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
D ．010003100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
测试点 初等矩阵的定义和性质
解析C.100010101⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
是由单位矩阵经第三行加第一行得到的，故是初等矩阵。

答案 C
例18设三阶矩阵11
12132122233132
33a a a A a a a a a a ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
,若存在初等矩阵P ,使得 1131
1232
133321
222331
32
33222,a a a a a a PA a a a a a a ---⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
则P = 【 】 A.100010201⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ B.102010001-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ C.100210001⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ D.120010001-⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
测试点 矩阵的初等变换和用初等矩阵乘的关系 答案 B
四、矩阵的k 阶子式和矩阵秩的概念，求矩阵秩的方法 1 矩阵的k 阶子式的概念
2 矩阵秩的概念 定义O 矩阵的秩为0，对于非零矩阵A ，如果有一个r 阶子式不等于0,而所有的1r +阶子式（如果有的话）都等于0,则称矩阵A 的秩为r .显然n 阶可逆矩阵的秩等于n ，故可逆阵又称是满秩的.阶梯形矩阵的秩等于其非零行的个数.
3. 等价矩阵有相等的秩（初等变换不改变矩阵的秩）;从而矩阵A 左乘（右乘）可逆阵其秩不变.反之两个
同形矩阵只要秩相等，则二者必等价. 4.求矩阵秩的方法
例19设矩阵101002340005A -⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪⎝⎭
，则A 中（ ）
A ．所有2阶子式都不为零
B ．所有2阶子式都为零
C ．所有3阶子式都不为零
D ．存在一个3阶子式不为零
测试点 矩阵的k 阶子式的概念. 答案 D
例20设矩阵101020001A ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，矩阵B A E =-，则矩阵B 的秩()r B =______________.
测试点 矩阵秩的概念
解 001010000B A E ⎡⎤
⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
答案 ()2r B =
例21设矩阵121348412363A a -⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪-⎝⎭
，问a 为何值时，
（1）秩()1A =； （2）秩()2A =. 测试点 求矩阵秩的方法
解 (2)(4)(1)(3)(3)(1)121312131213484120000000936300090000A a a a +-+----⎛⎫⎡⎤⎡⎤ ⎪⎢⎥⎢⎥=-−−−−→→- ⎪⎢⎥⎢⎥
⎪⎢⎥⎢⎥--⎝⎭⎣
⎦⎣⎦
所以 当9a =时, 秩()1A =;当9a ≠时, 秩()2A =
例22设A 为m ×n 矩阵，C 是n 阶可逆矩阵，矩阵A 的秩为r ，则矩阵B AC =的秩为__________. 测试点 用可逆矩阵左(右)乘任意矩阵A ,则A 的秩不变. 答案 r
例23设3阶方阵A 的秩为2，则与A 等价的矩阵为（ ）
A ．111000000⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
B ．111011000⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
C ．111222000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
D ．111222333⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
答案 B
测试点 矩阵等价的概念；等价矩阵有相等的秩；反之同形的两个矩阵只要其秩相等，必等价. 解 因为A,C,D 的矩阵的秩都为1，B 的矩阵的秩等于2.故答案应为B .
五、矩阵方程的标准形及解的公式
1111
1212;;
.
AX B X A B XA B X BA A XA B X A BA ----=⇒==⇒==⇒=
例24设矩阵2153A ⎛⎫=
⎪⎝⎭， 1320B ⎛⎫
= ⎪⎝⎭，求矩阵方程XA B =的解X .
测试点 解矩阵方程的方法 解 1
13311251205262X BA A ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦
验算!
例25设,A B 均为3阶矩阵,E 为3阶单位矩阵,且满足:2
AB E A B +=+.若已知101020,101A -⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
求矩阵
B .
测试点 解矩阵方程的方法
解 因为2AB E A B +=+，故2
AB B A E -=- 从而 2
()()()A E B A E A E A E -=-=-+，又
101100001020010010,101001100A E --⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦显然
A E -可逆，应用消去律得
201030102B A E -⎡⎤
⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
. 验算 101201100020030010101102001AB E --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦
303100403060010070303001304--⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦
2202201403040030070202102304A B ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦
所以确有 2AB E A B +=+ 例
26
已知2331011120,,,,1021120101A B C D ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
====⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
矩阵X 满足方程AX BX D C +=-，求X 。

测试点 求矩阵方程的解
解 由AX BX D C +=- 得()A B X D C +=- 故 1
()()X A B D C -=+- 其中12131,.11021A B D C --⎡⎤⎡⎤+=-=⎢
⎥⎢⎥
--⎣⎦⎣⎦
[]12131121311102111021A B D C -----⎡⎤⎡⎤
+-=−−→−−→⎢⎥⎢⎥
----⎣⎦⎣⎦ 12131121310115201152------⎡⎤⎡⎤
−−→−−→−−→⎢⎥⎢⎥
----⎣⎦⎣⎦ 1017301152-⎡⎤
−−→⎢⎥
-⎣⎦
所以 173152X -⎡⎤
=⎢⎥
-⎣⎦
验算
第三章 向量空间
一、n 维向量线性运算的定义和性质;
例1．已知12352αααβ-+=其中，12(3,4,1),(1,0,3),(0,2,5),ααβ=-==- 则3α= ____________.
测试点 n 维向量线性运算的定义和性质 解 因为12352αααβ-+=,所以
312031111(5)[2450]122513112T T T T
αβαα⎡⎤
⎢⎥
⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+=-+=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥
⎣⎦
故 311
(1,1,
)2α=-(请验算) 答案 311(1,1,
)2
α=-. 例2设向量123(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0),(0,1,1),T T T T
αααβ====则β由123,,ααα线性表出的表示式为
_____________.
测试点 向量由向量组线性表示;组合系数的求法 解 考虑 112233x x x αααβ++= 该线性方程组的增广矩阵
[]123
111011101101001110010111A αααβ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥==−−→-→⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦
111011011001011101000100001100110011⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥→-−−→−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦
所以 13βαα=- 答案 13βαα=-(验算!) 二、n 维向量组的线性相关性
1．向量组的线性相关性的定义和充分必要条件：
1）定义: 设12,,
,m ααα是一组n 维向量.如果存在m 个不全为零的数12,,
,m λλλ，使得
11220m m λαλαλα++
+=,
则称向量组12,,
,m ααα线性相关，否则，即如果11220m m λαλαλα++
+=，必有
120m λλλ====，则称向量组12,,
,m ααα线性无关.
2) m 个n 维向量12,,,(2)m m ααα≥线性相关的充分必要条件是至少存在某个i α是其余向量的线性组合.
即12,,
,(2)m m ααα≥线性无关的充分必要条件是其中任意一个向量都不能表示为其余向量的线性组合.
例3设向量组12,,,s ααα线性相关，则必可推出（ ）
A ．12,,,s ααα中至少有一个向量为零向量
B ．12,,,s ααα中至少有两个向量成比例
C ．12,,,s ααα中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合
D ．12,,
,s ααα中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合
测试点 向量组线性相关的概念 答案 C
例4向量组12,,,s ααα线性无关的充分条件是
A. 12,,,s ααα都不是零向量
B. 12,,,s ααα中任意两个向量都不成比例
C. 12,,,s ααα中任意一个向量都不能表为其余向量的线性组合
D. 12,,
,s ααα中任意1s -个向量都线性无关
测试点 向量组线性相关的概念; 充分条件;必要条件;充分必要条件. 解 1212,12αα⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
都不是零向量,但12,αα线性相关.
1231010,1,1000ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
中任意两个向量都不成比例,且其中任意312-=个向量都线性无关,但123,,ααα线性相关.故A,B,D 都不正确. 答案 C
例5.设向量组12,αα线性无关，证明向量组112212,βααβαα=+=-也线性无关. 测试点 向量组线性无关的定义; 证 设 11220k k ββ+=
因为 112212,βααβαα=+=- 则 112212()()0k k αααα++-=
即 121122()()0k k k k αα++-=
因为12,αα线性无关,故1212
0k k k k +=⎧⎨-=⎩,所以只能120k k ==.
这表明若11220k k ββ+=,必有120k k ==.据向量组线性无关的定义,知12,ββ也线性无关 例6.若向量组123(3,1,),(4,,0),(1,0,)a a a ααα===线性无关,则a 可能的取值应满足 . 测试点 n 个n 维向量线性无关⇔相应的行列式0≠;
解(3)()(1)
21
23341
341
10
1
0422(2)00240
a T
T
T
D a a
a a a a a a
a a ααα+-===
=-+=-≠--
所以 0,a ≠ 且2a ≠. 答案 0,a ≠ 且2a ≠.
2. 关于线性相关的几个定理 1) 如果向量组12,,,m ααα线性无关,而12,,,,m αααβ线性相关,则β可由12,,,m ααα线性表示,且表
示法唯一.
2) 线性相关的向量组再增加向量所得的新向量组必线性相关.(部分相关,则整体相关;或整体无关,则部分无关)
3) 若向量组12(,,,),1,2,
,i i i in a a a i m α==线性无关,则接长向量组 12(1)(,,,,),1,2,
,i i i in i n a a a a i m β+==
必线性无关.
3．判断向量组线性相关性的方法 1)一个向量α线性相关0α⇔=； 2)含有零向量的向量组必线性相关； 3)向量个数＝向量维数时，n 维向量组12,,
,n ααα线性相关
120n A ααα⇔==.
4)向量个数>向量维数时, 向量组必线性相关；
5)部分相关，则整体必相关；（整体无关，则部分必无关）. 6)若向量组线性无关，则其接长向量组必线性无关；
7)向量组线性无关⇔向量组的秩＝所含向量的个数，向量组线性相关⇔向量组的秩<所含向量的个数; 8)向量组12,,
n ααα线性相关（无关）的充分必要条件是齐次方程组
11220n n x x x ααα++
+=
有（没有）非零解.
例7.设n 维向量组12,,
,(2)m m ααα≥线性无关,则
A. 组中减少任意一个向量后仍线性无关
B. 组中增加任意一个向量后仍线性无关
C. 存在不全为零的数12,,
,m k k k ,使1
0m
i i i k α==∑
D. 组中至少有一个向量可以由其余向量线性表出
解析 因为若向量组线性相关，则增加任何一个向量后仍线性相关，其等价的定理是向量组相性无关，则组中减少任意一个向量后仍线性无关 答案 A
例8设向量111122221111122222(,,),(,,),(,,,),(,,,)a b c a b c a b c d a b c d ααββ====，下列命题中正确的是（ ）
A ．若12,αα线性相关，则必有12,ββ线性相关
B ．若12,αα线性无关，则必有12,ββ线性无关
C ．若12,ββ线性相关，则必有12,αα线性无关
D ．若12,ββ线性无关，则必有12,αα线性相关 答案 B
例9.设向量组123,,ααα线性无关,而向量组234,,ααα线性相关.证明:向量4α必可表为123,,ααα的线性组合.
测试点 关于线性相关性的几个定理
证1因为234,,ααα线性相关，故1234,,,αααα线性相关，又因为123,,ααα线性无关,所以4α必可表为
123,,ααα的线性组合. 证毕.
证2 因为123,,ααα线性无关,故23,αα必线性无关,又因为234,,ααα线性相关 故4α必能由23,αα线性表示,当然可表为123,,ααα的线性组合. 证毕.
三、向量组的极大无关组及向量组的秩 1．极大无关组的定义： 设12,,
,r ααα是向量组T 的一个部分组.如果（1）12,,,r ααα线性无关；（2）任给T β∈，都有
12,,,
,r βααα线性相关，则称12,,,r ααα是向量组T 的一个极大无关组.
2．向量组的秩，向量组的秩与矩阵的秩；求向量组的极大无关组,并将其余向量由该极大无关组线性表示的
的方法
例10101316A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
的行向量组的秩= ____________. 测试点 矩阵的秩与向量组的秩之间的关系; 答案 2
例11设1234,,,αααα是一个4维向量组，若已知4α可以表为123,,ααα的线性组合，且表示法惟一，则向量
组1234,,,αααα的秩为（ ） A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
测试点 （1）向量组的秩的概念；（2）向量由向量组线性表示的概念 （3）向量组线性相关和线性无关的概念
解 因为4α可以表为123,,ααα的线性组合，且表示法惟一，必有123,,ααα线性无关,因为 设1122330λαλαλα++=，由4α可以表为123,,ααα的线性组合，即4112233k k k αααα=++ 故 441122*********k k k αααααλαλαλα=+=+++++ 111222333()()()k k k λαλαλα=+++++ 由表示法惟一，有
111222333,,k k k k k k λλλ+=+=+=
于是有1230λλλ===，故123,,ααα线性无关，又4α可以表为123,,ααα的线性组合，所以123,,ααα为向量组1234,,,αααα的一个极大无关组，故向量组1234,,,αααα的秩为3. 答案 C
例12设向量组1234(1,1,2,1),(2,2,4,2),(3,0,6,1),(0,3,0,4)T T T T
αααα=-=--=-=
（1）求向量组的秩和一个极大线性无关组； （2）将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合.
测试点 求向量组的极大无关组,并将其余向量由该极大无关组线性表示的的方法
解 [](2)(1)(3)(2)(1)(4)(1)(1)1
23
41230123
0120300332460000012140444A αααα++-+-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢
⎥⎢
⎥==−−−−→→⎢⎥
⎢⎥⎢
⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦
(1)(3)(3)(1)(2)(2)(2)(1)(3)123
01
203011101020011001100000
000+-+-+--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢
⎥−−→−−−−→−−−−→⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎢
⎥
⎣⎦⎣⎦
100
1010200110000⎡⎤
⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
所以 原向量组的秩为3， 123,,ααα为所求的极大无关组.41232αααα=-+
四、子空间的定义，基、维数、向量在一组基下的坐标
1. n 维向量空间的定义：n 维实向量的全体构成的集合称为n 维向量空间，记为n R .
2. 子空间的定义：设V 是n R 的一个非空子集，且满足对加法运算和数乘运算封闭，则称V 是n R 的一个子空间,简称为向量空间V .
3.生成子空间的定义：设12,,
,,n m R ααα∈则由它们的所有线性组合构成n R 的一个子空间，称它为由
12,,,m ααα生成的子空间.
例13 设1123123{(,,,0),,},V x x x x x x x R ==∈2123123{(,,,1),,}V x x x x x x x R ==∈
31212{(,,,)0}n n V x x x x x x x ==+++=，说明哪个是子空间，那个不是.
解析 在1V 中，任取1231231(,,,0),(,,,0),x x x y y y V k αβ==∈为任意数，都有
1122331(,,,0),x y x y x y V αβ+=+++∈
1231(,,,0)k kx kx kx V α=∈
所以1V 是子空间.
类似地，可以证明31212{(,,
,)0}n n V x x x x x x x ==+++=也是子空间.
但对2123123{(,,,1),,}V x x x x x x x R ==∈，取(1,0,0,1),(0,1,0,1)αβ==都属于2,V 而
2(1,1,0,2).V αβ+=∉这表明2V 对加法运算不封闭，故2V 不是子空间.
4. 向量空间的基和维数的定义 向量空间V 的一个向量组12,,
,r ααα线性无关，且V 中每个向量都能由它线性表示，则称它为向量空间的
一个基.零空间{0}没有基，定义它为0维，否则，称向量空间的基所含向量个数r 为该空间的维数.设
1122r r x x x αααα=++
+
称12(,,
,)r x x x 为α在这组基下的坐标.
例14向量空间1212{(,,0),V x x x x x ==为实数}的维数为_______________. 测试点 向量空间维数的概念。