线性变换的核心与值域 (Kernel and Image of a Linear .

解：設 A 為題中之矩陣，將 A 化簡成列梯形矩陣
1 3 2 4 8
B 0 0
0 0
1 0
3 0
2 0
，設
x2
=
r，x4
=
s，x5
=
t，r,s,t
R
則
0 0 0 0 0
由 x3 – 3x4 + 2x5 = 0，得 x3 = 3s – 2t 由 x1 – 3x2 + 2x3 – 4x4 + 8x5 = 0，得 x1 = 3r – 2s – 4t
5-4
4
如果要找 Imf 中的一組基底，可由前面的列梯 形矩陣中觀察出第一行，第二行有領導係數 1 (Leading Coefficient 1)，因此原來的第一及第二
1 1
行向量為
Imf
之一組基底，也就是
11,
0 1
(此判斷方法請參閱向量空間單元)。
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5
練習
設 f : VW 為一線性變換，証明 kerT V 且 Imf W。
證明：
要証明 kerT 為 V 之子空間即要證 kerT 滿足加法封閉性及純
量設故因又因乘此設此fv(1積vvcv,11vv封2kv閉vek22kr)性eTerrk：,TceTfr所(T則vR1以),f則k(vef1rf)(Tv(2c)vfV()v02 )c0f0(v0)
c0
0
若設因再要此設w1證f,ww(v2I1mIfImvm2 )Wff,，cf (則v1 )R存，在f 則(vv12存,)v在2 wvV1使wV得2 即f (wv11
1 0 1
1 2 3
1 1
x y z
1 x 1
1
y
0
1 z 2
1
w
1
3 w
1
1 3
3
1 1 1 1
故 Imf 即為由
1,
0
,
2,
1
所衍生出來的空間。
1 1 3 3
1 1 1 1
即 Im
f
span11
,
0 1
,
2, 3
1 3
。
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9
3r 2s 4t
3r 2s 4t 3 2 4
故
ker
f
{
r 3s 2t
|
r,
s,
t
R}
而
r 3s 2t
1
0
) w1 ,
w2
f (v2
Im f
)
w2
使得 因此
Baidu Nhomakorabeacfw(v)
w
Im f
因此 所以
f (cv )
Imf W
cf
(v )
cw
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6
練習
設 f : R4R3 , f (x,y,z,w) = (x – 2y + z + w , –x + 2y + w , 2x – 4y + z)
線性變換的核心與值域
(Kernel and Image of a Linear Transformation)
若 f : VW 為一線性變換，則
ker f { f (v ) 0 v V }
Im f { f (v ) v V }
分別稱為 f 的核心與值域，而 kerf 又常被稱 為包含f 的V零中空的間所(有Nu向ll 量Spavc其e)函，數事值實上f (，v)為它零就向是 量者。而 Imf 包含 f 的所有函數值。kerf 與 Imf 分別為 V 與 W 的子空間，我們將在練習 中加以証明。
1 1
1 0
1 2
1 1
x y z
1
因此求 kerf , 即是求 R4 中使得 1
w 1 1
02
1 1 3
1
1
x y z
0 0
3w
的向量
x
1 1 3 3w 0
y
z
，也就是求下列齊次聯立方程式的解。
w
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2
x x x
yzw0
2z w 0 ，由 y 3z 3w 0
1
1 1
1 0 1
1 2 3
1
1 化簡成列梯形矩陣： 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 0 2 1 0 1 1 2 0 1 1 2 1 1 3 3 0 2 2 4 0 0 0 0 令 z = r ， w = s ， r, s R 為參數，則
由 y + z – 2w = 0 得 y = – r + 2s；
X
y
z
r 2s
r 1 0
s
0
2
故{1,
0
}
0 2
為
kerf
之一組基底
w s 0 1 0 1
1 2 1 1
而 Im
f
span{
1,
2
, 0, 1}
為
R3 中的一個子空間，其
2 4 1 0
1 1
一組基底為{ 1, 0} (取中的第一及第三行向量，因為領導係數
x – y + z + w = 0 得 x = – 2r + s
x 2r s 2 1
故解為
y
z
r
r
2s
r 1 1
s02，r,
s
R
w s 0 1
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3
2 1
因此
1
，
2
為 kerf
的一組基底，而
1 0
0 1
f
x
y
z
w
1
1 1
求 kerf 及 Imf ，並各求其一組基底。
解：以矩陣乘法表示 f ，則 f : R4R3，f ( X ) AX 此處
X
x
y
,
z
A
1 1
2 2
1 0
1 1 ，將 A 化簡為列梯形矩陣：
w
2 4 1 0
1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1
1 2 0 1 0 0
2 1
1產生於第一及第三行 )
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8
練習
設 f : R5R4,且
f
(
x1 x2 x3 x4 x5
)
1
3
2
1
3 9 6 3
2 6 5 6
4 12 11 16
8
24
18
16
x1 x2 x3 x4 x5
求 kerf 及 Imf，並各求其一組基底。
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1
範例
設 f : R4R3 , f (x,y,z,w) = (x – y + z + w , x + 2z – w , x + y + 3z – 3w) 為一線性變換，求 kerf 及 Imf ，並各求其一組基底。
解： 若以矩陣乘法表示此線性變換，則
f
:
x y z
1
2
0
0
1 2
2 4 1 0 0 0 1 2 0 0 0 0
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令 y = r，w = s，r,s R 為參數，則
由 z + 2w = 0 得 z = –2s
由 x – 2y + z + w = 0 得 x = 2r + s 故 AX 0 之解為
x 2r s 2 1 2 1