《电磁场理论》练习题与参考答案(最新版)

第1~2章 矢量分析 宏观电磁现象的基本规律
1. 设：直角坐标系中，标量场zx yz xy u ++=的梯度为A
，则M （1，1，1）处 A = ，=⨯∇A 0 。

2. 已知矢量场xz e xy e z y e A z y x ˆ4ˆ)(ˆ2
+++= ，则在M （1，1，1）处=⋅∇A 9 。

3. 亥姆霍兹定理指出，若唯一地确定一个矢量场（场量为A
），则必须同时给定该场矢量
的 旋度 及 散度 。

4. 任一矢量场在无限大空间不可能既是 无源场 又是 无旋场 ，但在
局部空间 可以有 以及 。

5. 写出线性和各项同性介质中场量D 、E 、B 、H
、J 所满足的方程（结构方
程）： 。

6. 电流连续性方程的微分和积分形式分别为 和 。

7. 设理想导体的表面A 的电场强度为E 、磁场强度为B
，则
（a ）E 、B
皆与A 垂直。

（b ）E 与A 垂直，B
与A 平行。

（c ）E 与A 平行，B
与A 垂直。

（d ）E 、B 皆与A 平行。

答案：B
8. 两种不同的理想介质的交界面上，
（A ）1212 , E E H H == （B ）1212 , n n n n E E H H == (C) 1212 , t t t t E E H H ==
ˆˆˆ222x y z e e e ++A
⋅∇A ⨯∇E
J H B E D σ=μ=ε= , ,t q S d J S
∂∂-=⋅⎰ t
J ∂ρ
∂-=⋅∇ 0A ∇⋅=0
A ∇⨯=
(D) 1212 , t t n n E E H H ==
答案：C
9. 设自由真空区域电场强度(V/m) )sin(ˆ0βz ωt E e
E y -=
，其中0E 、ω、β为常数。

则空间位移电流密度d J
（A/m 2）为：
（a ） )cos(ˆ0βz ωt E e
y - （b ） )cos(ˆ0βz ωt ωE e y -
（c ） )cos(ˆ00βz ωt E ωe
y -ε （d ） )cos(ˆ0βz ωt βE e y -- 答案：C 10. 已知无限大空间的相对介电常数为4=εr ，电场强度(V/m) 2cos ˆ0d
x
e
E x πρ= ，其中0ρ、d 为常数。

则d x =处电荷体密度ρ为：
（a ）d 04πρ-
（b ）d 004ρπε- （c ）d 02πρ- （d ）d
02ρπε- 答案：d 11. 已知半径为R 0球面内外为真空，电场强度分布为
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>θ+θ<θ+θ-=θθ )R ( )sin ˆcos 2ˆ()
R ( )sin ˆcos ˆ(2
0300
r e e r
B r e e R
E r r
求（1）常数B ；（2）球面上的面电荷密度；（3）球面内外的体电荷密度。

Sol. (1) 球面上
由边界条件 t t E E 21=得：
sin sin 230
0θ=θR B
R 202R B =→
（2）由边界条件s n n D D ρ=-21得：
θε=
-ε=-ε=ρcos 6)()(0
210210R E E E E r r n n s （3）由ρ=⋅∇D
得：
⎩
⎨⎧><=θ∂θ∂θε+∂∂ε=⋅∇ε=ρθ )R ( 0)R (
0)sin (sin 1)(10002200r r E r r E r r E r
即空间电荷只分布在球面上。

12. 已知半径为R 0、磁导率为μ 的球体，其内外磁场强度分布为
⎪⎩⎪
⎨⎧>θ+θ<θ-θ=θθ )R ( )sin ˆcos 2ˆ(A
)R ( )sin ˆcos ˆ(203
0r e e r
r e e H r r
且球外为真空。

求（1）常数A ；（2）球面上的面电流密度J S 大小。

Sol. 球面上（r =R 0）：r H 为法向分量；θH 为法向分量 （1）球面上由边界条件n n B B 21=得：r r H H 201μ=μ3
00
R A μμ=→ （2）球面上由边界条件s t t J H H =-21得
θμμ
+
-=-==θθsin )2(|)(0
210R r s H H J
第3章 静电场及其边值问题的解法
1. 静电场中电位φ 与电场强度E
的关系为 ；在两种不同的电介质（介电常数
分别为1ε和2ε）的分界面上，电位满足的边界条件为 。

2. 若无限大真空中静电场的电位分布为()r φ，则空间电荷分布为 。

3. 设无限大真空区域自由电荷体密度为ρ，则静电场：=⨯∇E
0 ，
E
⋅∇= -ρ / ε0 。

4. 电位φ 和电场强度E 满足的泊松方程分别为 、 。

5. 介电常数为ε 的线性、各向同性的媒质中的静电场储能密度为 。

6. 对于两种不同电介质的分界面，电场强度的 切向 分量及电位移的 法向 分量总是
连续的。

7. 理想导体与电介质的界面上，表面自由电荷面密度s ρ与电位沿其法向的方向导数
n
∂φ
∂的关系为 。

8. 如图，1E
、2E
分别为两种电介质内静电场在界面上的电场强度，ε2 = 3ε1 ，θ1 = 30°，
则θ2 = 60° ，=||||21E E。

9. 尺寸为a b ⨯、横截面为矩形的无限长金属槽各边电位分布如图，内部真空、无电荷分
布，则齐次边界条件为 ，若应用分离变量法，则通解
1
θ2
θ1
E 2E 1ε2
εx
o y
ε0
φ=0
φ=0
φ=0
U φ=a
b
（第8题图） （第9题图）
E φ=-∇12
1212 n n φφ
φφεε∂∂==∂∂；2
ρφε∇=-2 E ρε∇∇=2
E 21
ε=m w 3s n ρ-=∂φ
∂ε2
0ρεφ=∇-(,0)(,)0 (0)
x x b x a φφ==≤≤
中与坐标x 有关的函数为 ，与坐标y 有关的函数为
10. 如图，两块位于x = 0 和 x = d 处无限大导体平板的电位分别为0、U 0，其内部充满体
密度ρ = ρ0 (1- e x -d ) 的电荷（设内部介电常数为ε0）。

（1）利用直接积分法计算0 < x < d
区域的电位φ 及电场强度E ；（2）x = 0处导体平板的表
面电荷密度。

Sol. 为一维边值问题：)(x φ=φ )1(d d 00222
d x
e x
--ερ-=φ
⇒ερ-=φ∇
边界条件：0)0(==φx ， 0)(U d x ==φ
（1）直接积分得：
x e d d d U e x e x d d d x )]1([)2()(2000200---+-ερ
-++-ερ=φ
)]1()([ˆˆ)(200000d d x x x e d d
d U x
e e dx d e x E --+-ερ-+-ερ-=φ
-=φ-∇= （2）由s n
ρ-=∂φ
∂ε得：000
00
)(==ε=∂φ∂ε-=∂φ∂ε-=ρx x s x E x n
)]11(1[20000d
e d d d U d -+--ρερ-=-
11. 如图所示横截面为矩形的无限长直导体槽，内填空气。

已知侧壁和底面的电位为零，而
顶盖的电位为V 0 。

写出导体槽内电位所满足的微分方程及其边界条件，并利用直角坐标系分离变量法求出该导体槽内的电位分布。

Sol. （略）见教材第82页例3.6.1
12. 如图所示，在由无限大平面和突起的半球构成的接地导体上方距离平面为d 处有一个点
电荷q 0 。

利用镜像法求z 轴上z > a 各点的电位分布。

Sol. 空间电荷对导体表面上部空间场分布的影响等效于：
无限大接地导体平面 + 接地导体球
1=φ0
2U =φo
x
d
z
d x
q o a
z 'q '
2z 1z 1
q 2q
n x n x b b
A B e e ππ+-cos sin
n y n y A B b b ππ+
边界条件：0=φ=φ球面平面
使0=φ平面，引入镜像电荷：0,q q d z -='-='
使0=φ球面，引入镜像电荷：
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧=''-=-='-=-==022
220121
||,||,q d a q z a q d a z a z q d a q d a z z 轴上z > a 各点的电位：
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+'+-+-+-πε=
φd z q z z q z z q d z q 221100
||41
⎥⎦⎤⎢⎣⎡+----πε=d z a d z a d z q 12||14422300
13. 已知接地导体球半径为R 0 ，在x 轴上关于原点（球心）对称放置等量异号电荷+q 、-q ，
位置如图所示。

利用镜像法求（1）镜像电荷的位置及电量大小；（2）球外空间电位；（3）x 轴
上x >2R 0各点的电场强度。

Sol. (1) 引入两个镜像电荷： 22001q q R R q -=-=，22002
01R R R x ==
2)(2002q
q R R q =--=，2
2002
02R R R x -=-=
（2）=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛'-++πε=φR q R q R q R q z y x 22110
41
),,(（略）
2220)2(z y R x R ++-=， 22201)2/(z y R x R ++-=
22202)2/(z y R x R +++=，2220)2(z y R x R +++='
（3）x 轴上x >2R 0各点的电场强度：
⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++--+-=20202020)2()2/(2/)2/(2/)
2(ˆR x q
R x q R x q R x q e E x
14. 已知一半径为a 的金属球电位为V ，在距其球心d 处放置一点电荷q ，试用镜像法确
定镜像电荷，并写出球外空间任一点的电位φ的表示式。

o q
+q
-x
R 0
R 0
R 1
q 1
x 2x 2
q q
a
1
q 2q x
y
Sol. 镜像电荷1q ：在oq 连线上距离o 为2a d ，电量为a
q d
-
镜像电荷2q ：在球心处，电量为04aV πε 建立坐标系如图所示，则球外空间任一点的电位为：
12012012
11(,,)44q q q q a a
x y z V R R R R R d R φπεπε⎛⎫⎛⎫=
++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- 其中2
2
2
()R x d y z =++-，2222
1()a R x y z d
=++-，2222R x y z =++
15. 如图所示，两块半无限大相互垂直的接地导体平面，在其平分线上放置一点电荷q ，求
（1）各镜像电荷的位置及电量；（2）两块导体间的电位分布。

Sol. （1）01q q -=，)0 ,0 ,(a - 02q q +=，)0 , ,0(a -
03q q -=，)0 ,0 ,(a
（2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++πε=
φ3322110
00
41),,(R q R q R q R q z y x
=（略）
其中：
2220)(z a y x R +-+= 2221)(z y a x R +++= 2222)(z a y x R +++=
2223)(z y a x R ++-=
y
x
0q 45 ()0,,0P a
45
1
q 2
q 3
q )
0 ,,0(a -)0 ,0 ,(a -)0 ,0 ,(a
第4章 恒定电场与恒定磁场
1. 线性和各项同性的均匀导电媒质内部电荷体密度等于 0 ，净余电荷只能分布
在该导电媒质的 表面 上。

2. 线性和各项同性的均匀导电媒质中，=⋅∇J 0 ；=⋅∇D
0 。

3. 在电导率不同的导电媒质分界面上，电场强度E
和电流密度J 的边界条件
为： 、 。

4. 在电导率为σ 的导电媒质中，功率损耗密度p c 与电场强度大小E 的关系为 。

5. 恒定磁场的矢量磁位A 与磁感应强度B
的关系为 ；A 所满足的泊松方程
为 。

6. 对线性和各项同性磁介质（磁导率设为μ ），恒定磁场（磁场强度大小为H ）的磁能密度=m w ，V 空间磁能W m = 。

7. 已知恒定电流分布空间的矢量磁位为：Cxyz e x y e y x e
A z y x ˆˆˆ2
2++= ，C 为常数，且A 满足库仑规范。

求（1）常数C ；（2）电流密度J ；（3）磁感应强度B。

（直角坐标系中：)(ˆ)(ˆ)(ˆy
a x a e x a z a e z a y a e
a x y z z x y y z x ∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=⨯∇
） Sol. (1) 库仑规范：0=⋅∇A 4022-=⇒=++=∂∂+∂∂+∂∂⇒C Cxy xy xy z A y A x A z
y x (2) 由J μA -=∇2
，xyz e x y e y x e
A z y x 4ˆˆˆ22-+= 得： ()x e y e z A y A x A A J y x 2ˆ2ˆ1
12222222+μ-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂μ-=μ∇-= (3) A B
⨯∇=)(ˆ4ˆ4ˆ22x y e yz e xz e
z y x -++-= 8. 已知半径为a 的无限长直柱形导体（0μμ≈）的外部为真空，其内外磁位分布为：
t t E E 21=n
n J J 21=2
E p c σ=A B ⨯∇=J
μA -=∇2
2
2
1
H μdV
H
V
⎰μ221
20012[ln ] ()
ln ()
z z e J C a A e C a μρρρρρ⎧+≤=⎨
>⎩，其中0J 为常数，0μ为真空磁导率，1C 、2C 为待定常数。

求：（1）1C 、2C ；（2）H ；（3）J 。

Sol. （1）柱体内外磁场强度分布为：
10002
012 ()d 1d ()
z C e J a A A H e z C e
a ϕϕϕμρρμρμμρμρ
⎧
⎛
⎫+≤ ⎪⎪∇⨯⎪
⎝⎭===
⎨⎪>⎪⎩
--- 在柱轴线上（0ρ=）H 应有限，则：10C =
在柱表面上（a ρ=），即有源区和无源区的交界面上：12t t H H =，即12H H ϕϕ=
得：22002C J a μ=
（2）将1C 、2C 代入H 的分布式中得：
0202 ()1
2 ()e J a H e J a a ϕϕρρρρ≤⎧⎪
=⎨⋅>⎪⎩
-- （3）将1C 、2C 代入A 的分布式中得：
2
002
00 ()2ln ()
z z e J a A e J a a μρρμρρ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ 由磁位方程2
A J μ∇=-可知：
2
0d 1
1
1d d d z z A J A e ρμμρρρ⎛⎫=∇= ⎪⎝⎭--04 ()
0 ()z e J a a ρρ≤⎧=⎨>⎩
-
9. (P.136. 习题 4.2) 在平板电容器的两个极板间填充两种不同的导电媒质（11,εσ和
22,εσ），其厚度分别为1d 和2d 。

若在两极板上加上恒定的电压0U 。

试求板间的电位
Φ、电场强度E 、电流密度J 以及各分界面上的自由电荷密度。

Sol. 用静电比拟法计算。

用电介质（ε1和ε2）替代导电媒质，静电场场强分别设为E 1、E 2
⎩⎨
⎧ε=ε→==+22112102211E E D D U d E d E ⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧<<ε+εε-=<<ε+εε-=⇒)( ˆ)(0 ˆ21211201212112021d x d d d U e E d x d d U e E x
x
电位移：2
1120
211121ˆd d U e E D D x ε+εεε-=ε==
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
<<ε+εε-ε+ε=-+<<ε+εε==φ⇒)( )()()(0 )(2021121121121112112021
d x d U d d d x d x E d E d x x d d U x E x 1
静电比拟： φ⇔φ⇔⇔⇔，，，
ε σD J E E
，则导电媒质中的恒定电场： ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
<<σ+σσ-σ+σ=φ<<σ+σσ=φ)( )()(0 2021121121212112021d x d U d d d x d x x d d U 1 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<σ+σσ-<<σ+σσ-=)( ˆ)0( ˆ)(221120
112
11202d x d d d U e d x d d U e x E 1x x
2
1120
21ˆd d U e J x σ+σσσ-= 2
11202111110d d U x n x s σ+σσε-=∂φ
∂ε-=∂φ∂ε-=ρ=
2
1120122
222)(2
1d d U x n d d x s σ+σσε=-∂φ∂ε-=∂φ∂ε-=ρ+=
2
1120122
122112211)(111
d d U x x n n d x d x d x s
σ+σσε-σε=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂φ∂ε-∂φ
∂ε=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂φ∂ε-∂φ∂ε=ρ===
可知：非理想电容器两极上的电荷密度为非等量异号2
10
d d x s
x s +==ρ-≠ρ。

只有理想电容器
才有电容定义。

10. 一横截面为正方形的扇形均匀导电媒质，其内、外半径分别为a 、2a ，电导率为σ 。

如图建立圆柱坐标，若电位02
U πϕφ==（常量）及00ϕφ==。

求（1）导电媒质上电位
分布 以及恒定电场的电场强度E ；（2）该情况下导电媒质的直流电阻R 。

Sol. 由边界条件可知，导电媒质上电位φ仅与坐标ϕ有关，即()φφϕ=
o x
a
a
2a
ρ
P y
)ϕ
（1）2
0φ∇= 22
2
1d 0 d A B φ
φϕρϕ
⇒=⇒=+ 由02
U πϕφ==及00ϕφ==得：0
2()U φϕϕπ
=
E 0211z U e e e e z ρ
ϕϕφφφ
φρρϕπρ
∂∂∂∇==∂∂∂=----- （2）021
U J E e ϕ
σσπρ
==-
2200
221
d (d )(d )ln 2a
a
S
a
a
U aU I J S J a a σσρρπρ
π
=⋅=
⋅⋅=
⋅⋅=
⎰⎰⎰
直流电阻：02ln 2
U R I a π
σ=
=
11. 一横截面为正方形的扇形均匀导电媒质，其内、外半径分别为a 、2a ，电导率为σ 。

如图建立圆柱坐标，若电位0a
U ρφ
==（常量）及20a ρφ==。

求（1）导电媒质上电位
分布以及导电媒质上恒定电场的电场强度E ；（2）该情况下导电媒质的直流电阻R 。

Sol. 由边界条件可知，导电媒质上电位φ仅与坐标ρ有关，即()φφρ= （1）2
0φ∇= 1d d
0 ln d d u A B ρφρρρρ⎛⎫
⇒=⇒=+ ⎪⎝⎭
由0a
U ρφ
==及20a
ρφ==得：00()ln ln(2)ln 2ln 2
U U
a φρρ=+-
E 01ln 2U e e ρ
ρφ
φρρ
∂∇==∂=-- （2）01
ln 2U J E e ρσσρ
==
d ()22ln 2
S
aU I J S J a σππρ
=⋅=⋅⋅
=
⎰
直流电阻：02ln 2
U R I a
σπ=
=
o x
a
a
2a
ρ
（第10题 图）
P
y
)ϕ
第5章电磁波的辐射
1. 时谐场复数形式的Maxwell 方程中两个旋度方程为 。

2. 坡印亭矢量S
的瞬时表示式是 ，时谐场中坡印亭矢量的平均值 是 。

3. 坡印亭定理的物理意义是 。

4. 自由空间中时变电磁场的电场满足的波动方程为02
22
=∂∂-∇t
E E με，这个方程在正弦电磁场的情况下变为。

5. 在无损耗的均匀媒质()με,中，正弦电磁场的磁场满足的亥姆霍兹方程为
022
=+∇H k H ，其中 A 。

(A) μεω22=k (B) 2222εμω=k
(C) μεω22
=k (D) με
ω221=k
6. 在时变电磁场中，磁感应强度B 与位的关系为 ，
电场强度E 与位的关系为
.
7. 已知某一理想介质()004,5,0εεμμσ=== 中））时谐电磁场的角频率为ω ，位移电
流复矢量为j d 0πcos
e z
x y J e J a
β-= ，a 、β、J 0皆为常数。

则电场强度复矢量E 为 （A ）j 0πcos e j z
x J y e a
βω- （B ）j 00πcos e j4z x
J y e a βωε- （C ）j 0πsin e j z
x J y e a
βω- （D ）j 00πsin e j4z x
J y e a βωε- 答案：B
8. 电偶极子天线的功率分布与θ的关系为 a 。

(a) θ2sin (b) θsin (c) θ2cos (d) θcos
9. 自由空间的原点处的场源在t 时刻发生变化，此变化将在 b 时刻影响到r 处的位
函数Φ和A。

（a ）c r
t - ; （b ）c
r t +; (c) t ; (d) 任意
10. 在球坐标系中，电偶极子的辐射场（远区场）的空间分布与坐标的关系是 c
（a ）r θ2sin ∝ （b ）2sin r θ∝ (c) r
θsin ∝ (d) 22sin r θ
∝
220E k E ∇+=B A =∇⨯A E t ∂=-∇Φ-
∂, H j E E j B
ωεω∇⨯=∇⨯=-S E H =⨯()
*
av 1
Re 2
S E H =⨯
11. 一均匀平面波垂直入射至导电媒质中并在其中传播，则
（A ）不再是均匀平面波。

（B ）空间各点电磁场振幅不变
（C ）电场和磁场不同相。

（D ）传播特性与波的频率无关。

答案：C
12. 已知真空中某时谐电场瞬时值为)cos()10sin(ˆ),,(z k t x e t z x E z y -=ωπ。

试求电场和磁场
复矢量表示式和功率流密度矢量的平均值。

解：所给瞬时值表示式写成下列形式
])10sin(ˆRe[),,(t j z jk y e e x e t z x E z ωπ-=
因此电场强度的复矢量表示为
ˆ(,)sin(10)z jk z y E x z e
x e π-= 由麦克斯韦方程组的第二个方程的复数形式可以计算磁场强度的复矢量为
00000ˆˆˆ11
(,)()ˆˆ 10ˆˆ sin(10)cos(10)z x y z x
y
z
y y x z jk z z x z e
e e H x z E j j x
y z E E E E E e
e
j z j x k e x e x e j ωμωμωμωμπ
ππωμωμ-∂
∂∂=-
∇⨯=-
∂∂∂⎛⎫⎛⎫∂∂=--
⎪ ⎪ ⎪
⎪∂∂⎝⎭
⎝⎭
⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
功率流密度矢量的平均值av S
等于复坡印廷矢量的实部，即
**
**
**
200ˆˆˆ11
Re()Re()Re 221ˆˆ Re()
2
51ˆˆ Re sin(20)sin (10)2ˆ x y z av x y
z
x
y
z x y z z y x z
z x z e e e S S E H E E E H H H e E H e E H k k e x e x j πππωμωμ==
⨯==-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭=20
sin (10)
2z z k e
x πωμ
13. 已知真空中时变场的矢量磁位为)cos(ˆ),(0kz t A e
t z A x -=ω
求：(1) 电场强度E 和磁场强度H
；(2) 坡印廷矢量及其平均值。

解：(1) 把矢量磁位的瞬时值表示为]ˆRe[),(0t j jkz x e e A e
t z A ω-=
则矢量磁位的复数形式为
0ˆ()jkz x A z e
A e -= 根据磁场强度复数形式H 与矢量磁位复数形式A 之间关系可以求出
000ˆˆˆ11ˆˆ()() ()x y z jkz x y y x
y z
e
e e
A H z A e e jkA e x
y z z A A A μμ-∂∂
∂∂
=∇⨯=
==-∂∂∂∂ 磁场强度的瞬时值为
)2cos()(ˆ),(0πω--=kz t kA e
t z H y
根据麦克斯韦方程组的第一个方程H J j D ω∇⨯=+，此时0=J ，电场强度与磁场强度之
间关系为
20 111()()
x y z
y
jkz x x x y z
x y
z
H H H e e e H k A E z H e e e j j j z j ωε
ωε
ωεωε
-∂∂
∂∂∂∂∂=
∇⨯=
=-=∂
电场强度的瞬时值为
(
)
20
ˆ(,)Re cos()2
j t
x k A E z t E e
e
t kz ωπ
ωω=⋅=--
(2) 坡印廷矢量为
)2
(cos ˆ)2(cos ˆˆ22032
203π--ωωε=π--ωωε⨯=⨯=kz t A k e kz t A k e e H E S z y x
坡印廷矢量的平均值为
32*
01ˆRe()Re()22av z k A S S E H e ωε
==⨯=-
第6章、均匀平面波的传播
1. 两个同频率、同方向传播，极化方向相互垂直的线极化波的合成波为圆极化波，则它们
的振幅 相同 ，相位相差 。

2. 均匀平面波垂直入射到理想导体表面上，反射波电场与入射波电场的振幅 相等 ，
相位相差 π 。

3. 均匀平面波从空气垂直入射到无损耗媒质()0,1,25.2===σμεr r 表面上，则电场反
射系数为 51/- 。

4. 在自由空间传播的均匀平面波的电场强度为()100cos 20/x E t z V m ωπ=-e ，则波的
传播方向为 +z ，频率为 3×109 Hz ，波长为 0.1m ，波的极化方式为 沿
x 方向的线极化波 ，对应的磁场为 ，平均坡印
亭矢量av S 为 。

5. 均匀平面波电场方向的单位矢量E e 、磁场方向的单位矢量H e
以及传播方向的单位矢量 n e 三者满足的关系是 。

6. 损耗媒质的本征阻抗为 ，表明损耗媒质中电场与磁场在空间同一位置存在
着 相位差，损耗媒质中不同频率的波其相速度不同，因此损耗媒质又称为 色散 媒质。

7. 设海水的衰减常数为α，则电磁波在海水中的透入深度为
，在此深度上电场的振 幅将变为进入海水前的。

若电磁波的工作频率增加，透入深度则随之 减小 。

8. 在良导体中，均匀平面波的穿透深度为 a 。

（a ）
2
ωμσ
（b ）
2
ωμσ
(c)
μσ
ω
2 (d)
ωμσ
4
9. 在无源的真空中，已知均匀平面波的z j e E E β-=0 和z j e H H β-=0 ，其中的0E
和0H 为
/2π±()100cos 20/377y H e t z A m ωπ=-2
5000/377av z S e W m =n E H e e e =⨯1
α1
e
常矢量，则必有 c 。

(a) 00=⨯E e z
; (b) 00=⨯H e z ; (c) 000E H ⋅=; (d)000=⨯H E
10. 下列电场强度所对应的电磁波为线极化方式的是 （A ）1010j z
j z x y E e e e j e ππ=⋅+⋅-- （B ）1010j z j z x y E e e
e j e ππ=⋅⋅---
（C ）1010j z
j z x y E e e
e e ππ=⋅-⋅--
（D ）1010j z
j z x y E e e
e e ππ=⋅+⋅-+ 答案：C
11. 以下关于导电媒质中传播的电磁波的叙述中，正确的是 b 。

(a) 不再是平面波 (b) 电场和磁场不同相 (c) 振幅不变
(d) 以TE 波的形式传播
12. 已知空气中存在电磁波的电场强度为V/m )2106cos(80z t E y ππ+⨯=e E
试问：此波是否为均匀平面波？传播方向是什么？求此波的频率、波长、相速以及对应的磁场强度H 。

解：均匀平面波是指在与电磁波传播方向相垂直的无限大平面上场强幅度、相位和方向均相同的电磁波。

电场强度瞬时式可以写成复矢量
0jkz y E e E =e
该式的电场幅度为0E ，相位和方向均不变，且0z ⋅=E e ⇒z ⊥E e ，此波为均匀平面波。

传播方向为沿着z -方向。

由时间相位t t 8106⨯=πω⇒8106⨯=πω
波的频率Hz 1038⨯=f 波数2k π=
波长2 1 m k
π
λ=
= 相速310 m/s p dz dt k
ω
===⨯v
由于是均匀平面波，因此磁场为
01
() jkz z x W W
E H E e Z Z =
-⨯=e e
13. 在无界理想介质中，均匀平面波的电场强度为80sin(2102)x E E t z ππ=⨯-e ，已知介
质的1=r μ，求r ε，并写出H 的表达式。

解：根据电场的瞬时表达式可以得到8102⨯=πω，π2=k ，而
c
k r
r r εωμεμεωεμω=
==00⇒92
=⎪⎭
⎫
⎝⎛=ωεkc r
电场强度的瞬时式可以写成复矢量为
22
0j z j
x E e
ππ--=E e
波阻抗为Ω==
40πε
μ
W Z ，则磁场强度复矢量为 202
1() 40j z j z y W E e Z πππ
--=⨯=H e E e
因此磁场为
80
sin(2102)40y
E t z πππ
=⨯-H e
14. 铜的电导率S/m 108.57⨯=σ，1==r r εμ。

求下列各频率电磁波在铜内传播的相速、
波长、透入深度及其波阻抗。

(1) MHz 1=f ；(2) MHz 100=f ；(3) GHz 10=f 解：已知F/m 10361
90-⨯≈
π
ε和H/m 10470-⨯=πμ，那么 18010044.112⨯⨯==f
f r εεπσωεσ (1) 当MHz 1=f 时，110044.112>>⨯=ωε
σ
，则铜看作良导体，衰减常数α和相位常数β分别为
310132.15132.152
⨯===
=f ωμσ
βα
相速：m/s 4152.010152.44=⨯==
-f v p βω
波长：m 10152.424-⨯==β
πλ 透入深度：m 106.61
5-⨯==
α
δ
波阻抗：)1(1061.2)1(1061.2)1(247j f j j Z W
+⨯=+⨯=+=--σωμ (2) 当MHz 100=f 时，110044.110>>⨯=ωε
σ
，则铜仍可以看作为良导体，衰减常数α和相位常数β分别为
410132.15132.152
⨯====f ωμσ
βα
相速：m/s 152.410152.44=⨯==-f v p βω 波长：m 10152.425-⨯==βπλ 透入深度：m 106.61
6-⨯==α
δ
波阻抗：)1(1061.2)1(1061.2)1(237j f j j Z W
+⨯=+⨯=+=--σωμ (3) 当GHz 10=f 时，110044.18>>⨯=ωε
σ
，则铜看作良导体，衰减常数α和相位常数β分
别为
510132.15132.152
⨯===
=f ωμσ
βα
相速：m/s 52.4110152.44=⨯==-f v p βω
波长：m 10152.426-⨯==β
πλ 透入深度：m 106.61
7-⨯==
α
δ
波阻抗：)1(1061.2)1(1061.2)1(227j f j j Z W
+⨯=+⨯=+=--σ
ωμ
15. 海水的电导率S/m 4=σ，81=r ε，1=r μ，求频率为10 kHz 、10 MHz 和10 GHz 时电磁波的波长、衰减常数和波阻抗。

解：已知F/m 1036190-⨯≈πε和H/m 10470-⨯=πμ，那么910981⨯=f ωεσ。

(1) 当kHz 10=f 时，11098
1098159>>⨯=⨯=f ωεσ，则海水可看作良导体，衰减常数α和相位常数β分别为
397.01097.32
3=⨯==
=-f ωμσ
βα
相速：5310582.110582.1⨯=⨯==
f v p βω
波长：m 83.152==β
πλ 透入深度：m 52.21
==
α
δ
波阻抗：)1(099.0)1(10316.0)1(23j f j j Z W
+=+⨯=+=-πσωμ (2) 当MHz 10=f 时，189.88109
8
2>>=⨯=ωεσ，
则海水也可近似看作良导体，衰减常数α和相位常数β分别为
55.121097.32
3=⨯===-f ωμσ
βα
相速：631000.510582.1⨯=⨯==f v p βω 波长：m 500.02==βπλ 透入深度：m 080.01
==
α
δ
波阻抗：)1(139.3)1(10316.0)1(23j f j j Z W
+=+⨯=+=-πσωμ (3) 当GHz 10=f 时，
1089.0109
81098119<<=⨯=⨯=-f ωεσ，则海水也可近似看作弱导电媒质，衰减常数α和相位常数β分别为
3
802π
εμσ
α==
ππμεωβ60018===c
f。