湖南省长沙市第一中学2020届高三数学下学期模拟卷(一)理(含解析)

长沙市一中2020届高考模拟卷（一）

数学（理科）

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合{|(1)(2)0}A x x x =+-≤{}1,0,1,2,3B =-，，则A∩B＝（ ） A. {}1,0,1-

B. {}1,0,1,2-

C. {}0,1,2

D.

{}0,1,2,3

【答案】B 【解析】 【分析】

通过不等式的解法求出集合A ，然后求解交集即可．

【详解】由已知得{|(1)(2)0}{|12}A x x x x x =+-≤=-≤≤， 所以{1,0,1,2}A B =-I ， 故选B.

【点睛】本题考查二次不等式的求法，交集的定义及运算，属于基础题．

2.已知i 为虚数单位，复数z 满足(12)(1)(2)i z i i +=+-，则z =（ ）

A.

5

【答案】C 【解析】 【分析】

利用复数的运算法则求解z ，再由模的计算公式即可得出． 【详解】由题意得，(1)(2)(3)(12)

112(12)(12)

i i i i z i i i i +-+-=

==-++-，

22

1(1)2

z=+-=.

故选C.

【点睛】本题考查了复数的运算法则及模的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．

3.已知

6

cos()

4

π

α+=，则sin2α的值为（）

A. 1

3

B.

2

3

C.

3

3

D.

3

5

【答案】B

【解析】

【分析】

将已知等式两边同时平方，利用二倍角公式结合诱导公式即可求得sin2α的值．

【详解】因为21cos2

2

cos

42

πα

πα

⎛⎫++

⎪

⎛⎫⎝⎭+=

⎪

⎝⎭

1sin21

26

α

-

==，所以

3

2

2

sin=

α，

故选B.

【点睛】本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．4.一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（）

A. 12 C. 3 D. 2

2

【答案】B

【解析】

分析】

根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半，由此得到结论． 【详解】正方体的面对角线长为22，又水的体积是正方体体积的一半， 且正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转， 所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半， 即最大水面高度为2，故选B.

【点睛】本题考查了正方体的几何特征，考查了空间想象能力，属于基础题．

5.若非零向量a r 、b r 满足24,(2)0a b a b a ==-⋅=r r r r r ，则a r 在b r

方向上的投影为（ ）

A. 4

B. 8

C.

14

D.

18

【答案】A 【解析】 【分析】

先由数量积的运算律计算得到8a b ⋅=v

v ，再利用投影公式计算即可得出结果．

【详解】由2(2)20a b a a a b -⋅=-⋅=r r r r r r 得22

822

a a a

b ⋅===r r r r ，

从而a ρ在b ρ

方向上的投影为842a b b

⋅==r r r ，故选A.

【点睛】本题考查了向量的数量积运算、向量的投影，属于基础题．

6.形状如图所示的2个游戏盘中（图①是半径为2和4的两个同心圆，O 为圆心；图②是正六边形，点P 为其中心）各有一个玻璃小球，依次摇动2个游戏盘后，将它们水平放置，就完成了一局游戏，则一局游戏后，这2个盘中的小球都停在阴影部分的概率是（ ）

A.

16

1 B.

18

C.

16

D.

14

【答案】A 【解析】 【分析】

先计算两个图中阴影面积占总面积的比例，再利用相互独立事件概率计算公式，可求概率. 【详解】一局游戏后，这2个盘中的小球停在阴影部分分别记为事件1A ，2A ， 由题意知，1A ，2A 相互独立，

且()22121

(42)3

4416

P A ππ-==，()2

13

P A =， 所以“一局游戏后，这2个盘中的小球都停在阴影部分”的概率为

1212311

()()()16316

P A A P A P A ==

⨯=. 故选A.

【点睛】本题考查几何概型及相互独立事件概率的求法，考查了分析解决问题的能力，属于基础题.

7.

若函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，且()2,()0,f f αβαβ==-的最小值是2

π，则()f x 的单调递增区间是（ ）

A. 5[2,2]()66k k k z ππ

ππ-+∈ B. 2[2,2]()33

k k k z ππ

ππ-+∈ C. [,]()36

k k k z ππ

ππ-+∈

D. 5[,]()1212

k k k z ππ

ππ-

+∈ 【答案】B 【解析】 【分析】

由条件求得ω的值，可得函数的解析式，再根据正弦函数的单调性，求得f （x ）的单调递增区间．

【详解】()cos f x x x ωω=+2sin 6x πω⎛

⎫

=+ ⎪⎝

⎭

， 因为()2f α=，k 1-

，所以αβ-的最小值为42

T π=，