四边形专题复习四边形

四边形专题复习 四边形

【重点内容】

1． 多边形的内角和与外角和

2．平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定

3．梯形的定义，等腰梯形的性质和判定，梯形中常用的辅助线

4．平行线等分线段定理，三角形、梯形的中位线定理

【考点指要】

四边形所涉及的知识点均是考点，也是中考内容必涉及的热点，思维层次居中，是重点但不是难点。

【典型例题】

例1．如图1，在四边形ABCD 中，∠A=135°，∠B=∠D=90°，BC=23，AD=2，则四边形ABCD 的面积是（ ）

A ．42

B ．43

C ．4

D ．6

分析：在处理四边形或多边形的边长、角度或面积问题时，常将不规则的图形通过“割”或“补”转化为特殊三角形或特殊四边形的问题加以解决。

解：延长BA 、CD 交于点E ，则易知△EBC 是等腰直角三角形，从而S △EBC =

2

1EB ·EC=6 同理S △EDA =2，故S 四边形ABCD =6－2=4.

例2．如图2，四边形ABCD 是平行四边形，且∠EAD=∠BAF 。

（1）求证：△CEF 是等腰三角形；

（2）△CEF 的哪两边之和恰好等于 ABCD 的周长？证明你的结论。

分析：（1）根据已知条件不难证明∠E=∠F ，得△CEF 是等腰三角形。

（2）易探索出CE+CF 等于 ABCD 的周长。

证明：（1）由题意，得

DA ∥CF ，AB ∥CE ，

∴∠EAD=∠F ，∠BAF=∠E 。

又∵∠EAD=∠BAF ， ∴∠E=∠F ， 故CE=CF 。

（2）∵∠EAD=∠BAF=∠F=∠E ，

∴DE=AD ，FB=AB

∴CE+CF=CD+AD+CB+AB ，即CE+CF 等于 ABCD 的周长。

说明；中考中关于平行四边形的考题大多结合三角形知识进行考查，而平行四边形的性质定理是证明两条线平行、相等及两角相等的重要依据。

例3 如图3， 中，AQ 、BN 、CN 、DQ 分别是∠DAB 、∠ABC 、∠BCD 、

∠CDA 的平分线，AQ 与BN 交于P ，CN 与DQ 交于M ，在不添加其它条件的情况下，试写出一个．．

由上述条件推出的结论，并给出证明过程（要求：推理过程中要用到“平行四边形”和“角平分线”这两个条件）。

分析：本题赋陈题于新意，是一道答案不唯一的开放性问题，它体现了分析问题的思维方法，为活

学活用知识的训练起到了重要的导向作用。

由题设条件可得出：△APB 是直角三角形．证明如下：在 ABCD 中，

∵AD ∥BC ， ∴∠BAD+∠ABC=180°

又∵AQ 、BN 分别平分∠BAD ，∠ABC ，

∴∠BAP+∠ABP=90°，即∠APB=90°

故△APB 是直角三角形。

事实上，由题设条件还可得出△BPA ≌△DMC ，四边形PQMN 是矩形等结论。

说明：解此类问题要审清题意：（1）不增加任何条件；（2）推理过程中要用到“平行四边形”和“角

平分线”这两个条件，否则算错。

例4．如图4，以长为2的定线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连结PD ，在BA 的

延长线上取点F ，使PF=PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上。

（1）求AM 、DM 的长；

（2）求证；AM 2=AD ·DM

分析：（1）在Rt △PAD 中，利用勾股定理可以计算出PD=5=PF ，AM=AF=PF －AP=5－1，

DM=AD －AM=2－（5－1）=3－5

（2）利用代数方法证明等积式，分别计算等式左、右两边。

解（1）∵正方形ABCD 的边长为2，P 是AB 中点，

∴AB=AD=2，AP=1，∠BAD=90°

∴PD=522=+AD PA

又∵PF=PD ， ∴AF=5－1

在正方形AMEF 中，AM=AF=5－1，MD=AD －AM=3－5

证明（2）：由（1）得，AD ·DM=2（3－5）=6－25，

AM 2=（5－1）2=6－25

∴AM 2=AD ·DM

说明：代数计算也是证明几何问题的方法之一，不要忽视。

例5 如图5，四边形ABCD 是正方形，四边形ACEF 为菱形，E 在FB 上，求∠ECB 的度数。

分析：欲求∠ECB ，须求∠ECA ，而求角的度数应对图中线段作数量上的分析，连结BD 交AC 于O ，过E 作EG ⊥AC 于G ，则易探寻出EG 与BD （即CE ）之间的特殊关系。

解：连结BD ，设它与AC 交于点O 。过E 作EG ⊥AC 于G 。

∵四边形ABCD 是正方形。

∴BD ⊥AC ， ∴EG ∥BO

又∵四边形ACEF 是菱形，∴FE ∥AC

∴四边形EBOG 是平行四边形，

∴EG=BO=21BD=21AC=21EC 。 在Rt △CEG 中，由EG=

21EC ，得 ∠ECG=30° 又∵∠ACB=45°，∴∠ECB=45°－30°=15°。

说明：探究出EG=2

1EC 是解决本题的关键所在。 例6．如图6， ABCD 是梯形，AB ∥CD ，AC=BC ，且AC ⊥BC ，BD=BA ，求∠DAC 的度数。

分析：欲求∠DAC ，应先求出∠DAB ，但题设条件只有BD=DA ，于是想到梯形中常用的辅助线——高，可转化为先求∠ABD ，从而问题迎刃而解。

解：分别过D 、C 作DE ⊥AB 于E ，CF ⊥AB 于F

∵AC=BC ，AB ⊥BC ， ∴CF=2

1AB 又AB=BD ， ∴CF=21BD ，即DE=2

1BD 。 在Rt △BDE 中，由DE=

21BD ，设∠ABD=30° 注意到AB=BD ，∴∠DAB=75°。

而∠CAB=45°

∴∠DAC=75°－45°=30°

说明：本题可根据梯形中常用的辅助线找到另外解法，同学们不妨一试。

例7．如图7，△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC 设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠DCA 的平分线点F 。

（1） 求证：OE=OF ；

（2） 当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论。

（3）若AC 边上存在点O ，使四边形AECF 是正方形，且

26=BC AE ，求∠