浙教版九年级数学期中考试试卷(含解析)

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九年级数学期中考试试卷
一、选择题(共10题;共40分)
1.下列事件中,是必然事件的是( )
A. 购买一张彩票,中奖
B. 打开电视,正在播放广告
C. 抛掷一枚质地均匀且6个面上分别标上数字1~6的骰子,朝上一面的数字小于7
D. 一个不透明的袋子中只装有2个黑球,搅匀后从中随机摸出一个球,结果是红球
2.如图,将△ABC 绕点A 顺时针旋转到△ADE 的位置,且点D 恰好落在AC 边上,则下列结论不一定成立的是( )
A. ∠ABC =∠ADE
B. BC=DE
C. BC//AE
D. AC 平分 ∠BAE
3.如图,四边形 ABCD 的外接圆为⊙O , BC =CD , ∠DAC =35° , ∠ACD =45° ,则 ∠ADB 的度数为( )
A. 55°
B. 60°
C. 65°
D. 70°
4.将抛物线y=x 2-2x+3先向上平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度,得到的抛物线为( )
A. y=(x-1)2+4
B. y=(x-4)2+4
C. y=(x+2)2+6
D. y=(x-4)2+6
5.对于抛物线 y =−13(x −5)2+3 ,下列说法错误的是( )
A. 对称轴是直线 x =5
B. 函数的最大值是3
C. 开口向下,顶点坐标是(5,3)
D. 当 x >5 时, y 随 x 的增大而增大
6.掷一枚质地均匀的硬币5次,其中3次正面朝上,2次正面朝下,则再次掷出这枚硬币,正面朝下的概率是( )
A. 1
B. 25
C. 35
D. 12
7.如图,半径为10的扇形 AOB 中, ∠AOB =90° , C 为 弧AB 上一点, CD ⊥OA , CE ⊥OB ,垂足分别为 D 、 E .若 ∠CDE 为 36° ,则图中阴影部分的面积为( )
A. 10π
B. 9π
C. 8π
D. 6π
8.如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球从O点正上方2m的A处发出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x﹣k)2+h.已知球与D点的水平距离为6m 时,达到最高2.6m,球网与D点的水平距离为9m.高度为2.43m,球场的边界距O点的水平距离为18m,则下列判断正确的是()
A. 球不会过网
B. 球会过球网但不会出界
C. 球会过球网并会出界
D. 无法确定
9.如图1,一只蚂蚁从点O出发,以1厘米/秒速度沿着扇形AOB的边缘爬行一周。

设爬行时间为x秒,蚂蚁到点O的距离为y厘米,y关于x的函数图像如图2所示,则扇形的面积为()
A. 3
B. 6
C. 1
π D. π
2
10.如图是抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)的一部分,抛物线的顶点坐标A(1,3),与x轴的一个交点为B(4,0),直线y2=mx+n(m≠0)与抛物线交于A、B两点,有下列结论::①2a+b=0:②abc>0;
③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根:④当1<x<4时,有y2<y1;⑤抛物线与x轴的另一个交点是(-1,0),其中正确的是()
A. ①②③
B. ①③④
C. ①③⑤
D. ②④⑤
二、填空题(共6题;共30分)
11.在一个不透明的袋子里有50个除颜色外均相同的小球,每次摸球前先将盒中的球摇匀,随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中,通过大量重复实验后,发现摸到红球的频率稳定在0.4,由此估计袋中红球的个数为________.
12.某林业部门统计某种幼树在一定条件下的移植成活率,结果如下表所示:
(精确到0.1).
13.如图,在⊙O中,点C为弧AB的中点,OC交弦AB于D,如果AB=8,OC=5,那么OD 的长为________.
14.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+3与y轴交于点A,过点A与x轴平行的直线交抛物线
y= 1
x2于B,C两点,则BC的长为________ 。

3
15.如图,圆弧形弯道两边的直道在连接点处与弯道相切,测得∠AEB=120°,圆弧的半径是2千米,则该段圆弧形弯道的长为________千米(结果保留π)
16.如图抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点P是抛物线对称轴上任意一点,若点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点,连接DE,DF,则DE+DF的最小值为________.
三、解答题(本题有8小题,第17~20题每题8分,第21题10分,第22,23题每题12分,第24题14分,共80分)
x2+bx+c的图象与x轴交于A(-2,0),B(4,0)两点,交17.在平面直角坐标系中,二次函数y= 1
2
y轴于点C,点P是第四象限内抛物线上的一个动点.
(1)求二次函数的解析式;
,求点P的坐标;
(2)如图,连接AC,PA,PC,若S△PAC= 15
2
18.如图,△ABC是⊙O的内接三角形,点C是优弧AB上一点(点C不与点A,B重合),设∠OAB=α,∠C=β.
(1)当α=40º时,求β的度数;
(2)猜想α与β之间的关系,并给予证明
19.一个不透明的布袋里装有4个只有颜色不同的球,其中3个红球,1个白球。

(1)从布袋中任意摸出1个球,求摸出是红球的概率;
(2)从布袋里摸出1个球,记下颜色后放回,搅匀,再摸出1个球,求两次摸出的球恰好颜色不同的概率(请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程)。

20.如图,⊙O的半径OA ⊥弧BC于E,D是⊙O上一点.
(1)求证:∠ADC=1
∠AOB;
2
(2)若AE=2,BC=6,求OA的长.
21.浙江省某百果园店售卖赣南脐橙,已知每千克脐橙的成本价为6元,在销售脐橙的这40天时间内,销售单价x(元/千克)与时间第t(天)之间的函数关系式为x=1
t+16(1≤t≤40,且t为整
4
数),日销售量y(千克)与时间第t(天)之间的函数关系式为y=−2t+200(1≤t≤40,且t为整数)
(1)请你直接写出日销售利润w(元)与时间第t(天)之间的函数关系式;
(2)该店有多少天日销售利润不低于2400元?
(3)在实际销售中,该店决定每销售1千克脐橙,就捐赠m(m<7)元给希望工程,在这40天中,每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大,求m的取值范围.
22.某市将开展以“走进中国数学史”为主题的知识竞赛活动,红树林学校对本校100名参加选拔赛的同学的成绩按A,B,C,D四个等级进行统计,绘制成如下不完整的统计表和扇形统计图:
(1)求m=________,n=________;
(2)在扇形统计图中,求“C等级”所对应心角的度数;
(3)成绩等级为A的4名同学中有1名男生和3名女生,现从中随机挑选2名同学代表学校参加全市比赛,请用树状图法或者列表法求出恰好选中“1男1女”的概率.
23.如图1是实验室中的一种摆动装置,BC在地面上,支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形,摆动臂AD可绕点A旋转,摆动臂DM可绕点D旋转,AD=30,DM=10.
(1)在旋转过程中,
①当A,D,M三点在同一直线上时,求AM的长.
②当A,D,M三点为同一直角三角形的顶点时,求AM的长.
(2)若摆动臂AD顺时针旋转90°,点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处,连结D1D2,如图2,此时∠AD2C=135°,CD2=60,求BD2的长.
24.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx−2交x轴于A,B两点,交y轴于点C,且OA= 2OC=8OB,点P是第三象限内抛物线上的一动点.
(1)求此抛物线的表达式;
(2)若PC//AB,求点P的坐标;
(3)连接AC,求ΔPAC面积的最大值及此时点P的坐标.
答案
一、选择题
1.解:A、是随机事件,故A选项错误;
B、是随机事件,故B选项错误;
C、是必然事件,故C选项正确;
D、是不可能事件,故D选项错误.
故答案为:C.
2.解:∵将△ABC绕点A顺时针旋转到△ADE的位置,
∴∠ABC=∠AED,BC=DE,∠BAC=∠DAE,
∴AC平分∠BAE,
故ABD正确,C不一定成立.
故答案为:C.
3.解:∵∠DAC=35°,
∴∠DBC=35°,
∵BC=CD,
∴∠CDB=35°,
∵∠ACD=45°,
∴∠ADC=100°,
∴∠ADB=∠ADC−∠CDB=65°,
故答案为:C.
4.解:y=x2-2x+3化为顶点式,得y=(x-1)2+2,
将抛物线y=x2-2x+3向上平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度后,
得到的抛物线的解析式为y=(x-1-3)2+2+2,即y=(x-4)2+4.
故答案为:B.
5.解:∵抛物线的解析式为y=−1
(x−5)2+3,
3
∴对称轴是直线x=5,开口向下,顶点坐标是(5,3),函数的最大值是3,当x>5时,y随x的增大而减小,
故ABC正确,D错误.
故答案为:D.
6.解:∵掷质地均匀硬币的试验,每次正面向上和向下的概率相同,
∴再次掷出这枚硬币,正面朝上的概率是:1
2
故答案为:D.
7.连接OC 交DE 为F 点,如下图所示:
由已知得:四边形DCEO 为矩形.
∵∠CDE=36°,且FD=FO ,
∴∠FOD=∠FDO=54°,△DCE 面积等于△DCO 面积.
S 阴影=S 扇形AOB −S 扇形AOC =
90•π•102360−54•π•102360=10π . 故答案为:A.
8.解:根据题意,将点A(0,2)代入 y =a(x −6)2+2.6,
得:36a+2.6=2,
解得: a =−160,
∴y 与x 的关系式为 y =−
160(x −6)2+2.6; 当x=9时, y =−
160(9−6)2+2.6=2.45>2.43, ∴球能过球网,
当x=18时, y =−
160(18−6)2+2.6=0.2>0,
∴球会出界.
故答案为:C.
9.解:根据题意可知a=3 从图1可知,蚂蚁从O 到B 点与A 到O 点的时间相等,结合图2可知b=5
∴OA=OB=3,AB ⏜
=2 ∴ 扇形的面积 =12·AB ·⏜OA =12·2·3=3
故答案为:A
10.①为抛物线的顶点坐标A (1,3),所以对称轴为直线x=1,则 −b 2a =1 ,2a+b=0,故①符合题意;
②∵抛物线开口向下,∴a <0,∵对称轴在y 轴右侧,∴b >0,∵抛物线与y 轴交于正半轴,∴c >0,∴abc <0,故②不符合题意;
③∵抛物线的顶点坐标A (1,3),∴方程ax 2+bx+c=3有两个相等的实数根是x=1,故③符合题意; ④由图象得:当1<x <4时,有y 2<y 1;故④符合题意;
⑤因为抛物线对称轴是:x=1,B(4,0),所以抛物线与x轴的另一个交点是(-2,0),故⑤不符合题意;
则其中正确的有:①③④;
故答案为:B.
二、填空题
11.解:设袋中红球的个数为x个,
根据题意得:x
=0.4,
50
解得x=20,
∴袋中红球的个数为20个.
故答案为:20.
12.解:概率是大量重复实验的情况下,频率的稳定值可以作为概率的估计值,即次数越多的频率越接近于概率,
∴这种幼树移植成活率的概率约为0.9.
故答案为:0.9.
13.连接OA,
∵C为弧AB的中点,
∴AB⊥OC,
∵AB=8cm,
∴AD=1
AB=4cm,
2
OA=5,在Rt△AOD中,
∵OA2=AD2+OD2,
即52=42+OD2,
解得:OD=3.
14.解:∵抛物线y=ax2+3与y轴交于点A,
∴A(0,3),
x2=3,
当y=3时,1
3
解得x=±3,
∴B点坐标为(-3,3),C点坐标为(3,3),
∴BC=3-(-3)=6.
故答案为:6.
15.设点O为圆弧的圆心,连接OA,OB,
∴∠OAE=∠OBE=90°,OA=OB=2千米, ∵∠AEB=120°,
∴∠AOB=360°-∠OAE-∠OBE-∠AEB=60°, ∴ 该段圆弧形弯道的长为60·π×2
180=2π3.
故答案为:2π
3.
16.解:连接AC ,交对称轴于点P ,
则此时PC+PB 最小,
∵点D 、E 、F 分别是BC 、BP 、PC 的中点, ∴DE= 12 PC ,DF= 1
2 PB ,
∵抛物线y=x 2+2x ﹣3与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于点C , ∴0=x 2+2x ﹣3
解得:x 1=﹣3,x 2=1,
x=0时,y=3,
故CO=3,
则AO=3,可得:AC=PB+PC=3 √2 ,
故DE+DF 的最小值为: 3√2
2 .
故答案为: 3√2
2 .
三、解答题
17. (1)解: ∵ 二次函数y= 1
2 x 2+bx+c 的图象与x 轴交于A (-2,0),B (4,0)两点,
{12×(−2)2−2b +c =0
12×42+4b +c =0 ,解得: {b =−1
−4
∴y =12x 2
−x −4 ;
(2)解:连结OP ,设 P(m ,12m 2−m −4) ,由题意得,
A(−2,0),C(0,−4)
∵S △PAC =S △AOC +S △OPC −S △AOP
∴152=12×2×4+12×4⋅m −12×2×(−12m 2
+m +4)
整理得: m 2+2m −15=0,∴(m +5)(m −3)=0
∴m =3 或 ∴m =−5 (舍去)
∴P(3,−52)
18. (1)解:连接OB ,
∵OA=OB
∴∠OAB=∠OBA=40°
∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=100°
∴∠ACB=1
2∠AOB=50°
即β=50º
(2)解:β=90º-α,理由如下:
连接OB ,
∵OA=OB
∴∠OAB=∠OBA=α
∴∠AOB=180º-2α
∵∠C=1
2∠AOB
∴β=90º-α
19. (1)解:从布袋中任意摸出1个球,摸出红球的概率p= 34
(2)解:树状图如下:
两次摸出颜色不同的由6种情况;
p =616=3
8
20. (1)证明:∵ 半径OA ⊥BC 于E ,
∴AB ⏜=AC ⏜

∴∠ADC=1
2∠AOB ;
(2)解:∵ 半径OA ⊥BC 于E ,
∴∠OEB=90°,BE=12BC=1
2×6=3,
∴OB 2=OE 2+BE 2 ,
∵OB=OA ,OE=OA-AE=OA-2,
∴OA 2=(OA-2)2+32 ,
∴OA=13
4.
21. (1)解:由题意得: w =(x −6)⋅y ,
∵ x =1
4t +16 ( 1≤t ≤40 ,且 t 为整数), y =−2t +200 ( 1≤t ≤40 ,且 t 为整数),
∴ w =(1
4t +16−6)(−2t +200) ( 1≤t ≤40 ,且 t 为整数),
化简得: w =−12t 2
+30t +2000 ( 1≤t ≤40 ,且 t 为整数)
(2)解:令 w ≥2400 ,即 −1
2t 2+30t +2000≥2400 ,
整理得: t 2−60t +800≤0 ,
令 u =t 2−60t +800 ,
当 u =0 ,即 t 2−60t +800=0 时,解得: t 1=20,t 2=40 ,
由二次函数的图象性质可得:当 20≤t ≤40 时, u ≤0 ,
∴ t 2−60t +800≤0 的解集为: 20≤t ≤40 ,
∵ 1≤t ≤40 ,且 t 为整数,
天数 =40−20+1=21 (天),
答:该店有21天日销售利润不低于2400元
(3)解:设每天扣除捐赠后的日销售利润为z,由题意得:
z=w−my=−1
2
t2+30t+2000−m(−2t+200),
整理得:z=−1
2
t2+(30+2m)t+200(10−m),
则二次函数z=−1
2
t2+(30+2m)t+200(10−m)的对称轴为:t=30+2m,
∵a=−1
2
<0,
∴当t≤30+2m时,z随着t的增大而增大,当t≥30+2m时,z随着t的增大而减小,
∵z随时间t的增大而增大,1≤t≤40,
∴30+2m≥40,解得:m≥5,
又∵m<7,
∴5≤m<7,
答:在这40天中,每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大,m的取值范围为:5≤m<7.22. (1)51;30
(2)360°×30
100
=108°
答:“C等级”所对应心角的度数是108°;
(3)这有1名男生记为M,3名女生分别记为A、B、C,画树状图如下:
从图中可以看出,共有12种等可能的结果,其中恰好选中“1男1女”的结果有6种,所以P(1男1女)
=6 12=1
2
.
∴恰好选中“1男1女”的概率为1
2
.
解:(1)m=100×0.51=51;
D组人数为:100×15%=15
则C组人数n=100-4-51-15=30
∴m=51,n=30;
23. (1)解:①AM=AD+DM=40,或AM=AD﹣DM=20.
②显然∠MAD不能为直角.
当∠AMD为直角时,AM2=AD2﹣DM2=302﹣102=800,
∴AM=20 √2或(﹣20 √2舍弃).
当∠ADM=90°时,AM2=AD2+DM2=302+102=1000,
∴AM=10 √10或(﹣10 √10舍弃).
综上所述,满足条件的AM的值为20 √2或10 √10 .
(2)解:如图2中,连接CD.
由题意:∠D 1AD 2=90°,AD 1=AD 2=30, ∴∠AD 2D 1=45°,D 1D 2=30 √2 , ∵∠AD 2C =135°,
∴∠CD 2D 1=90°,
∴CD 1= √CD 22+D 1D 22 =30 √6 , ∵∠BAC =∠A 1AD 2=90°,
∴∠BAC ﹣∠CAD 2=∠D 2AD 1﹣∠CAD 2 , ∴∠BAD 2=∠CAD 1 ,
∵AB =AC ,AD 2=AD 1 ,
∴△BAD 2≌△CAD 1(SAS ),
∴BD 2=CD 1=30 √6 .
24. (1)解:在抛物线 y =ax 2+bx −2 中, 令 x =0 ,则 y =−2 ,
∴点C 的坐标为(0, −2 ),
∴OC=2,
∵ OA =2OC =8OB ,
∴ OA =4 , OB =12 ,
∴点A 为( −4 ,0),点B 为( 12 ,0),
则把点A 、B 代入解析式,得
{16a −4b −2=014a +12b −2=0 ,解得: {a =1
b =72

∴ y =x 2+72x −2 ;
(2)解:由题意,∵ PC//AB ,点C 为(0, −2 ),
∴点P 的纵坐标为 −2 ,
令 y =−2 ,则 x 2+72x −2=−2 ,
解得: x 1=−72 , x 2=0 ,
∴点P 的坐标为( −72 , −2 );
(3)解:设直线AC的解析式为y=mx+n,则把点A、C代入,得
{−4m+n=0
n=−2,解得:{m=−
1
2
n=−2

∴直线AC的解析式为y=−1
2
x−2;
过点P作PD∥y轴,交AC于点D,如图:
设点P 为(x,x2+7
2x−2),则点D为(x,−1
2
x−2),
∴PD=−1
2x−2−(x2+7
2
x−2)=−x2−4x,
∵OA=4,
∴SΔAPC=1
2PD•OA=1
2
×(−x2−4x)×4=−2x2−8x,
∴SΔAPC=−2(x+2)2+8,
∴当x=−2时,S△APC取最大值8;
∴x2+7
2x−2=(−2)2+7
2
×(−2)−2=−5,
∴点P的坐标为(−2,−5).。

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