浙教版九年级数学期中考试试卷(含解析)

九年级数学期中考试试卷
一、选择题（共10题；共40分）
1.下列事件中，是必然事件的是( )
A. 购买一张彩票，中奖
B. 打开电视，正在播放广告
C. 抛掷一枚质地均匀且6个面上分别标上数字1~6的骰子，朝上一面的数字小于7
D. 一个不透明的袋子中只装有2个黑球，搅匀后从中随机摸出一个球，结果是红球
2.如图，将△ABC 绕点A 顺时针旋转到△ADE 的位置，且点D 恰好落在AC 边上，则下列结论不一定成立的是（ ）
A. ∠ABC =∠ADE
B. BC=DE
C. BC//AE
D. AC 平分 ∠BAE
3.如图，四边形 ABCD 的外接圆为⊙O ， BC =CD ， ∠DAC =35° ， ∠ACD =45° ，则 ∠ADB 的度数为（ ）
A. 55°
B. 60°
C. 65°
D. 70°
4.将抛物线y=x 2-2x+3先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线为( )
A. y=(x-1)2+4
B. y=(x-4)2+4
C. y=(x+2)2+6
D. y=(x-4)2+6
5.对于抛物线 y =−13(x −5)2+3 ，下列说法错误的是（ ）
A. 对称轴是直线 x =5
B. 函数的最大值是3
C. 开口向下，顶点坐标是（5，3）
D. 当 x >5 时， y 随 x 的增大而增大
6.掷一枚质地均匀的硬币5次，其中3次正面朝上，2次正面朝下，则再次掷出这枚硬币，正面朝下的概率是（ ）
A. 1
B. 25
C. 35
D. 12
7.如图，半径为10的扇形 AOB 中， ∠AOB =90° ， C 为 弧AB 上一点， CD ⊥OA ， CE ⊥OB ，垂足分别为 D 、 E .若 ∠CDE 为 36° ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. 10π
B. 9π
C. 8π
D. 6π
8.如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣k）2+h．已知球与D点的水平距离为6m 时，达到最高2.6m，球网与D点的水平距离为9m．高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，则下列判断正确的是（）
A. 球不会过网
B. 球会过球网但不会出界
C. 球会过球网并会出界
D. 无法确定
9.如图1，一只蚂蚁从点O出发，以1厘米/秒速度沿着扇形AOB的边缘爬行一周。

设爬行时间为x秒，蚂蚁到点O的距离为y厘米，y关于x的函数图像如图2所示，则扇形的面积为（）
A. 3
B. 6
C. 1
π D. π
2
10.如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点为B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A、B两点，有下列结论：：①2a+b=0：②abc＞0；
③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根：④当1＜x＜4时，有y2＜y1；⑤抛物线与x轴的另一个交点是（-1，0），其中正确的是（）
A. ①②③
B. ①③④
C. ①③⑤
D. ②④⑤
二、填空题（共6题；共30分）
11.在一个不透明的袋子里有50个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复实验后，发现摸到红球的频率稳定在0.4，由此估计袋中红球的个数为________．
12.某林业部门统计某种幼树在一定条件下的移植成活率，结果如下表所示：
（精确到0.1）.
13.如图，在⊙O中，点C为弧AB的中点，OC交弦AB于D，如果AB=8，OC=5，那么OD 的长为________.
14.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+3与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线
y= 1
x2于B，C两点，则BC的长为________ 。

3
15.如图，圆弧形弯道两边的直道在连接点处与弯道相切，测得∠AEB=120°，圆弧的半径是2千米，则该段圆弧形弯道的长为________千米（结果保留π）
16.如图抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上任意一点，若点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，连接DE，DF，则DE+DF的最小值为________．
三、解答题（本题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22，23题每题12分，第24题14分，共80分）
x2+bx+c的图象与x轴交于A（-2，0），B（4，0）两点，交17.在平面直角坐标系中，二次函数y= 1
2
y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．
（1）求二次函数的解析式；
，求点P的坐标；
（2）如图，连接AC，PA，PC，若S△PAC= 15
2
18.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点C是优弧AB上一点（点C不与点A，B重合），设∠OAB=α，∠C=β．
（1）当α=40º时，求β的度数；
（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明
19.一个不透明的布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中3个红球，1个白球。

（1）从布袋中任意摸出1个球，求摸出是红球的概率；
（2）从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，求两次摸出的球恰好颜色不同的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）。

20.如图，⊙O的半径OA ⊥弧BC于E，D是⊙O上一点.
（1）求证：∠ADC=1
∠AOB；
2
（2）若AE=2，BC=6，求OA的长.
21.浙江省某百果园店售卖赣南脐橙，已知每千克脐橙的成本价为6元，在销售脐橙的这40天时间内，销售单价x（元/千克）与时间第t（天）之间的函数关系式为x=1
t+16（1≤t≤40，且t为整
4
数），日销售量y（千克）与时间第t（天）之间的函数关系式为y=−2t+200（1≤t≤40，且t为整数）
（1）请你直接写出日销售利润w（元）与时间第t（天）之间的函数关系式；
（2）该店有多少天日销售利润不低于2400元？
（3）在实际销售中，该店决定每销售1千克脐橙，就捐赠m(m<7)元给希望工程，在这40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围．
22.某市将开展以“走进中国数学史”为主题的知识竞赛活动，红树林学校对本校100名参加选拔赛的同学的成绩按A，B，C，D四个等级进行统计，绘制成如下不完整的统计表和扇形统计图：
（1）求m=________，n=________；
（2）在扇形统计图中，求“C等级”所对应心角的度数；
（3）成绩等级为A的4名同学中有1名男生和3名女生，现从中随机挑选2名同学代表学校参加全市比赛，请用树状图法或者列表法求出恰好选中“1男1女”的概率．
23.如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD＝30，DM＝10.
（1）在旋转过程中，
①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长.
②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长.
（2）若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处，连结D1D2，如图2，此时∠AD2C＝135°，CD2＝60，求BD2的长.
24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA= 2OC=8OB，点P是第三象限内抛物线上的一动点.
（1）求此抛物线的表达式；
（2）若PC//AB，求点P的坐标；
（3）连接AC，求ΔPAC面积的最大值及此时点P的坐标.
答案
一、选择题
1.解：A、是随机事件，故A选项错误；
B、是随机事件，故B选项错误；
C、是必然事件，故C选项正确；
D、是不可能事件，故D选项错误.
故答案为：C.
2.解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转到△ADE的位置，
∴∠ABC=∠AED，BC=DE，∠BAC=∠DAE，
∴AC平分∠BAE，
故ABD正确，C不一定成立.
故答案为：C.
3.解：∵∠DAC=35°，
∴∠DBC=35°，
∵BC=CD，
∴∠CDB=35°，
∵∠ACD=45°，
∴∠ADC=100°，
∴∠ADB=∠ADC−∠CDB=65°，
故答案为：C．
4.解：y=x2-2x+3化为顶点式，得y=（x-1）2+2，
将抛物线y=x2-2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，
得到的抛物线的解析式为y=（x-1-3）2+2+2，即y=(x-4)2+4.
故答案为：B.
5.解：∵抛物线的解析式为y=−1
(x−5)2+3，
3
∴对称轴是直线x=5，开口向下，顶点坐标是（5，3），函数的最大值是3，当x＞5时，y随x的增大而减小，
故ABC正确，D错误.
故答案为：D.
6.解：∵掷质地均匀硬币的试验，每次正面向上和向下的概率相同，
∴再次掷出这枚硬币，正面朝上的概率是：1
2
故答案为：D.
7.连接OC 交DE 为F 点，如下图所示：
由已知得：四边形DCEO 为矩形.
∵∠CDE=36°，且FD=FO ，
∴∠FOD=∠FDO=54°，△DCE 面积等于△DCO 面积.
S 阴影=S 扇形AOB −S 扇形AOC =
90•π•102360−54•π•102360=10π . 故答案为：A.
8.解：根据题意,将点A(0,2)代入 y =a(x −6)2+2.6，
得：36a+2.6=2，
解得： a =−160，
∴y 与x 的关系式为 y =−
160(x −6)2+2.6； 当x=9时, y =−
160(9−6)2+2.6=2.45>2.43， ∴球能过球网，
当x=18时, y =−
160(18−6)2+2.6=0.2>0，
∴球会出界.
故答案为：C.
9.解：根据题意可知a=3 从图1可知，蚂蚁从O 到B 点与A 到O 点的时间相等，结合图2可知b=5
∴OA=OB=3，AB ⏜
=2 ∴ 扇形的面积 =12·AB ·⏜OA =12·2·3=3
故答案为：A
10.①为抛物线的顶点坐标A （1，3），所以对称轴为直线x=1，则 −b 2a =1 ，2a+b=0，故①符合题意；
②∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵对称轴在y 轴右侧，∴b ＞0，∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴c ＞0，∴abc ＜0，故②不符合题意；
③∵抛物线的顶点坐标A （1，3），∴方程ax 2+bx+c=3有两个相等的实数根是x=1，故③符合题意； ④由图象得：当1＜x ＜4时，有y 2＜y 1；故④符合题意；
⑤因为抛物线对称轴是：x=1，B（4，0），所以抛物线与x轴的另一个交点是（-2，0），故⑤不符合题意；
则其中正确的有：①③④；
故答案为：B．
二、填空题
11.解：设袋中红球的个数为x个，
根据题意得：x
=0.4，
50
解得x=20，
∴袋中红球的个数为20个.
故答案为：20.
12.解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，
∴这种幼树移植成活率的概率约为0.9.
故答案为：0.9.
13.连接OA，
∵C为弧AB的中点，
∴AB⊥OC，
∵AB=8cm，
∴AD=1
AB=4cm，
2
OA=5，在Rt△AOD中，
∵OA2=AD2+OD2,
即52=42+OD2，
解得:OD=3.
14.解：∵抛物线y=ax2+3与y轴交于点A，
∴A（0，3），
x2=3，
当y=3时，1
3
解得x=±3，
∴B点坐标为（-3，3），C点坐标为（3，3），
∴BC=3-（-3）=6.
故答案为：6.
15.设点O为圆弧的圆心，连接OA，OB，
∴∠OAE=∠OBE=90°，OA=OB=2千米， ∵∠AEB=120°，
∴∠AOB=360°-∠OAE-∠OBE-∠AEB=60°， ∴ 该段圆弧形弯道的长为60·π×2
180=2π3.
故答案为：2π
3.
16.解：连接AC ，交对称轴于点P ，
则此时PC+PB 最小，
∵点D 、E 、F 分别是BC 、BP 、PC 的中点， ∴DE= 12 PC ，DF= 1
2 PB ，
∵抛物线y=x 2+2x ﹣3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ， ∴0=x 2+2x ﹣3
解得：x 1=﹣3，x 2=1，
x=0时，y=3，
故CO=3，
则AO=3，可得：AC=PB+PC=3 √2 ，
故DE+DF 的最小值为： 3√2
2 ．
故答案为： 3√2
2 ．
三、解答题
17. （1）解： ∵ 二次函数y= 1
2 x 2+bx+c 的图象与x 轴交于A （-2，0），B （4，0）两点，
{12×(−2)2−2b +c =0
12×42+4b +c =0 ，解得： {b =−1
−4
∴y =12x 2
−x −4 ；
（2）解：连结OP ，设 P(m ，12m 2−m −4) ，由题意得，
A(−2，0)，C(0，−4)
∵S △PAC =S △AOC +S △OPC −S △AOP
∴152=12×2×4+12×4⋅m −12×2×(−12m 2
+m +4)
整理得： m 2+2m −15=0，∴(m +5)(m −3)=0
∴m =3 或 ∴m =−5 （舍去）
∴P(3,−52)
18. （1）解：连接OB ，
∵OA=OB
∴∠OAB=∠OBA=40°
∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=100°
∴∠ACB=1
2∠AOB=50°
即β=50º
（2）解：β=90º－α，理由如下：
连接OB ，
∵OA=OB
∴∠OAB=∠OBA=α
∴∠AOB=180º－2α
∵∠C=1
2∠AOB
∴β=90º－α
19. （1）解：从布袋中任意摸出1个球，摸出红球的概率p= 34
（2）解：树状图如下：
两次摸出颜色不同的由6种情况；
p =616=3
8
20. （1）证明：∵ 半径OA ⊥BC 于E ，
∴AB ⏜=AC ⏜
，
∴∠ADC=1
2∠AOB ；
（2）解：∵ 半径OA ⊥BC 于E ，
∴∠OEB=90°，BE=12BC=1
2×6=3，
∴OB 2=OE 2+BE 2 ，
∵OB=OA ，OE=OA-AE=OA-2，
∴OA 2=（OA-2）2+32 ，
∴OA=13
4.
21. （1）解：由题意得： w =(x −6)⋅y ，
∵ x =1
4t +16 （ 1≤t ≤40 ，且 t 为整数）， y =−2t +200 （ 1≤t ≤40 ，且 t 为整数），
∴ w =(1
4t +16−6)(−2t +200) （ 1≤t ≤40 ，且 t 为整数），
化简得： w =−12t 2
+30t +2000 （ 1≤t ≤40 ，且 t 为整数）
（2）解：令 w ≥2400 ，即 −1
2t 2+30t +2000≥2400 ，
整理得： t 2−60t +800≤0 ，
令 u =t 2−60t +800 ，
当 u =0 ，即 t 2−60t +800=0 时，解得： t 1=20,t 2=40 ，
由二次函数的图象性质可得：当 20≤t ≤40 时， u ≤0 ，
∴ t 2−60t +800≤0 的解集为： 20≤t ≤40 ，
∵ 1≤t ≤40 ，且 t 为整数，
天数 =40−20+1=21 （天），
答：该店有21天日销售利润不低于2400元
（3）解：设每天扣除捐赠后的日销售利润为z，由题意得：
z=w−my=−1
2
t2+30t+2000−m(−2t+200)，
整理得：z=−1
2
t2+(30+2m)t+200(10−m)，
则二次函数z=−1
2
t2+(30+2m)t+200(10−m)的对称轴为：t=30+2m，
∵a=−1
2
<0，
∴当t≤30+2m时，z随着t的增大而增大，当t≥30+2m时，z随着t的增大而减小，
∵z随时间t的增大而增大，1≤t≤40，
∴30+2m≥40，解得：m≥5，
又∵m<7，
∴5≤m<7，
答：在这40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，m的取值范围为：5≤m<7．22. （1）51；30
（2）360°×30
100
=108°
答：“C等级”所对应心角的度数是108°；
（3）这有1名男生记为M，3名女生分别记为A、B、C，画树状图如下：
从图中可以看出，共有12种等可能的结果，其中恰好选中“1男1女”的结果有6种，所以P（1男1女）
=6 12=1
2
.
∴恰好选中“1男1女”的概率为1
2
.
解：（1）m=100×0.51=51；
D组人数为：100×15%=15
则C组人数n=100-4-51-15=30
∴m=51，n=30；
23. （1）解：①AM＝AD+DM＝40，或AM＝AD﹣DM＝20.
②显然∠MAD不能为直角.
当∠AMD为直角时，AM2＝AD2﹣DM2＝302﹣102＝800，
∴AM＝20 √2或（﹣20 √2舍弃）.
当∠ADM＝90°时，AM2＝AD2+DM2＝302+102＝1000，
∴AM＝10 √10或（﹣10 √10舍弃）.
综上所述，满足条件的AM的值为20 √2或10 √10 .
（2）解：如图2中，连接CD.
由题意：∠D 1AD 2＝90°，AD 1＝AD 2＝30， ∴∠AD 2D 1＝45°，D 1D 2＝30 √2 ， ∵∠AD 2C ＝135°，
∴∠CD 2D 1＝90°，
∴CD 1＝ √CD 22+D 1D 22 ＝30 √6 ， ∵∠BAC ＝∠A 1AD 2＝90°，
∴∠BAC ﹣∠CAD 2＝∠D 2AD 1﹣∠CAD 2 ， ∴∠BAD 2＝∠CAD 1 ，
∵AB ＝AC ，AD 2＝AD 1 ，
∴△BAD 2≌△CAD 1（SAS ），
∴BD 2＝CD 1＝30 √6 .
24. （1）解：在抛物线 y =ax 2+bx −2 中， 令 x =0 ，则 y =−2 ，
∴点C 的坐标为（0， −2 ），
∴OC=2，
∵ OA =2OC =8OB ，
∴ OA =4 ， OB =12 ，
∴点A 为（ −4 ，0），点B 为（ 12 ，0），
则把点A 、B 代入解析式，得
{16a −4b −2=014a +12b −2=0 ，解得： {a =1
b =72
，
∴ y =x 2+72x −2 ；
（2）解：由题意，∵ PC//AB ，点C 为（0， −2 ），
∴点P 的纵坐标为 −2 ，
令 y =−2 ，则 x 2+72x −2=−2 ，
解得： x 1=−72 ， x 2=0 ，
∴点P 的坐标为（ −72 ， −2 ）；
（3）解：设直线AC的解析式为y=mx+n，则把点A、C代入，得
{−4m+n=0
n=−2，解得：{m=−
1
2
n=−2
，
∴直线AC的解析式为y=−1
2
x−2；
过点P作PD∥y轴，交AC于点D，如图：
设点P 为（x，x2+7
2x−2），则点D为（x，−1
2
x−2），
∴PD=−1
2x−2−(x2+7
2
x−2)=−x2−4x，
∵OA=4，
∴SΔAPC=1
2PD•OA=1
2
×(−x2−4x)×4=−2x2−8x，
∴SΔAPC=−2(x+2)2+8，
∴当x=−2时，S△APC取最大值8；
∴x2+7
2x−2=(−2)2+7
2
×(−2)−2=−5，
∴点P的坐标为（−2，−5）.。