测量基础--椭球和投影

1.地球椭球的几何特性
我们知道，地球是一个两极稍扁，赤道略鼓的球体。

为了满足大地测量归算的需要，应选取一个与大地体十分接近且在数学上又能简单表示的表面作为计算的根据面。

通常选择的体形是由．
一个椭圆绕其短轴旋转而形成的旋转椭球体，简称参考椭球体。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
1.1. 地球椭球的基本元素
我们设想，地球是一个椭圆绕其短轴旋转而形成的旋转椭球体。

这个椭圆也叫做子午椭圆。

椭球的基本元素就是由椭圆的基本元素来决定的。

决定椭球的大小和形状，一般有下列五大元素：
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
在以上各元素中，只要已知其中两个，就可以确定椭圆的大
小和形状，但是其中一个必须是长度元素(a或b)。

一般常用长半
．．．．．．
轴．a．和扁率
．．．．．．．．．．．．
．．．α．来确定椭圆的大小和形状。

在以上各元素中，存在一下关系：
1.a与b的关系
b/a = √1-e2
a/b = √1-e’2
2.e2与e’2的关系
e’2 = e2/(1- e2); e2= e’2/(1+ e’2)
(1- e2)(1+ e’2) = 1
3.α与e2的关系
α = 1-√1- e2
e2= 2α-α2
4.一些辅助量
c = a2/b
η = e’cosB
V = √1+e’2COS2B = √1+η2
W = √1-e2sin2B
N = a/W
根据上面的公式，可以导出c与偏心率的关系，实际上c就是椭圆两极点处的曲率半径。

5.中国海洋石油公司使用的坐标系统
现在中国海洋石油总公司统一使用WGS84椭球，各元素数值如下：
a = 6,378,137.0 m
b = 6,356,752.3142 m
α = 1/298.257223563
e2 = 0.00669 43799 9013
e’2= 0.00673 94967 42227 以前曾使用过WGS72椭球：
a = 6,378,135.0 m
b = 6,356,750.52 m
α = 1/298.26
e2 = 0.00669 43178
e’2= 0.00673 94337
和WGS54(克拉索夫斯基)椭球：
a = 6,378,245.0 m
b = 6,356,863.01877 m
α = 1/298.3
e2 = 0.00669 34216 2297
e’2= 0.00673 85254 1468
1.2. 椭球面上的各种坐标系及其相互之间的关系
1.2.1空间直角坐标系与子午面上的直角坐标系
空间直角坐标系的原点
．．2．-．1)．．，．z．轴．
．．O．与椭球的中心相合
．．．．．．．．(．见图
与椭球的短轴相合，
．．．．．．．．．．．．．．．．．y．轴．．．．．．．．．．x．轴与赤道面和起始子午面的交线相合，
与．xz．．平面正交，指向东方
．．．．．．．．．。

x、y、z轴构成右手螺旋系，一点K
的空间直角坐标用(x,y,z)来表示。

当原点
．．．．．．．．．．
．．．O．与地球的质心相合时，
就是质心空间直角坐标系。

．．．．．．．．．．．．
我们取K点所在的子午椭圆PKEP’来研究，于是有了子午平面上的直角坐标系，横轴用p表示，纵轴仍用z表示，点K的坐标使用(p,z)表示(图2-2)
1.2.2大地坐标系，归化纬度坐标系，地心纬度坐标系
下面介绍的几种坐标系都是用经纬度表示一点K的位置。

它
们的经度相同，都是大地经度
．．．．．．．．．．．
．．K．点所在的子午面与起始子
．．．．．．L．，即
午面的夹角
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2．-．1)．．。

．L．从起始子午面起算，向东为正，向西为．．．．．(．见图
负，自
．．．º．。

．在纬度方面，则随坐标系的不同而有不同的意．．．0．º．至．180
义。

图2-3表示K．点子午椭圆所在的平面，子午椭圆在
．．．
．．．．．．．．．．．．．．．．K．点处的
法线
．．．K．点的大地纬度。

大
．．．．．．．．
．．．．B．，就是
．．轴的夹角
．．与赤道平面或
．．．．．．Op
．．Kn
地经度．．．L ．与大地纬度．．．．．B ．构成大地坐标系．．．．．．．。

这是大地测量中应用最广泛的坐标系。

大地经度起始子午面起算，向东为正．．．．．．．．．．．．．．．．,．通常在经度．．．．．后加英文字母．．．．．．E ．表．示．, ．向西为负．．．．,．通常在经度后加英文字母．．．．．．．．．．．W ．表．示．.．
如果以椭圆的长
半径a 为半径，以O
为圆心做一个圆，并
通过K 做一直线KJ
与Oz 轴平行，则直
线与大圆交于K ’；或
以椭圆的短半径b 为半径，以O 为圆心做一个圆，并通过K 做一直线KJ ’与Op 轴平行，则直线与小圆交于K ”。

直线OK ’或OK ”与赤道面或Op 轴所夹的角度u ，就是K 点的归化纬度。

大地经度L 与归化纬度u 构成归化纬度坐标系。

这种坐标系常用于一系列理论推导中。

做一直线，连接K 点和椭球中心O ，这一直线与Op 轴的夹角φ，叫做地心纬度。

大地经度L 和地心纬度φ构成地心纬度坐标系。

在大地测量中，这种坐标系应用较少。

1.2.3 大地纬度与归化纬度的关系
cosB=V*√1-e2*cosu
sinB=V*sinu
1.2.4大地纬度与地心纬度的关系
tgφ = (1-e2)tgB
1.2.5子午面直角坐标与大地纬度的关系
p = NcosB
z = N(1-e2)cosB
1.2.6空间直角坐标系与其它各坐标系的关系
x = NcosBcosL
y = NcosBsinL
z = N(1-e2)sinB (N = a/W)
1.3. 大地线与大地方位角
1.3.1法截弧与曲率半径
为了清楚的了解大地线和大地方位角，首先介绍一下法截弧。

过椭球面上一点的法线所做的平面称为法截面，法截面与椭球面的交截线称为法截线，或法截弧。

圆球上任意一点的法截弧都是曲率半径等于圆球半径的大圆弧，在椭球上，情况完全不同。

在椭球的南北两极点，沿任意反向的法截弧都是相同的椭圆弧，在极点处的曲率半径为c。

在赤道的任意一点，子午圈方向的法截弧是椭圆弧；赤道平面方向的法截弧是一个大圆，即赤道圈；在其它任意方向上的法截弧都是不同的椭圆，在该点的曲率半径都不相同。

在椭球面上其它任意一点，任意方向上的法截弧都是不同的
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
椭圆，在该点的曲率半径都不相同。

．．．．．．．．．．．．．．．．
在方位角A方向上的曲率半径R A表示如下：
1/R A=sin2A/N+V2cos2A/N
一点上0°方向的法截弧称为子午圈，90°方向的法截弧称为卯酉圈。

A = 0时，得到子午圈的曲率半径公式：
R A=0 = M = N/V2
A = 90时，得到卯酉圈的曲率半径公式：
R A=90 = N = c/V
因此任意方向法截弧的曲率半径又可以表示为：
1/R A = sin2A/N+cos2A/M
在0-360度范围内，无穷多个法截弧的平均曲率半径：
R = √MN
1.3.2大地线与大地方位角
1.相对法截弧
由图2-3可知，椭球面上一点K的法线与椭球短半轴交与n 点，离开椭球中心O的距离为On：
On=J’n-J’O=ae2sinB/√1-e2sin2B
由此可见，On是纬度B的函数。

椭球面上两点的纬度不同，它们的法线与短轴相交在不同的点，纬度越高，On越大。

因而当两点不在同一子午圈也不在同一卯酉圈时，它们对椭球面的法线
是在空间相错而不相交的两条异面直线。

图2-4所示，K 点的法线为KKn ，Q 点的法线为QQn ，自K 点向Q 点观测，所得的方向为K 点上通过Q 点的法截面KknQ 在椭球面上截出的法截弧KkQ 的方向。

同样自Q 点向K 点观测，所得的方向为Q 点上通过K 点的法截面QQnK 在椭球面上截出的法截弧QqK 的方向。

由于Q 在K 之北，所以B q >B k ，Qn 在Kn 之下，所以法截弧QqK 在KkQ 之北。

在椭球面上看，KkQ 和QqK 二者不重合。

法截弧KkQ 叫做K 点到Q 点的正法截弧，又叫做Q 点到K 点的反法截弧；法截弧QqK 叫做Q 点到K 点的正法截弧，又叫做K 点到Q 点的反法截弧。

这一对曲线叫做正、反法截弧或相对
法
截弧。

由于正反法截弧彼此不重合，说明两点间的对向观测不是沿同一方向进行的。

如图2-4所示，三角观测不能构成闭合，为了解决该问题，规定椭球面上两点之间有一条唯一的边，也就是两点之间的大地线。

2.大地线
大地线也叫短程线，是曲面上两点间距离最短的连线
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。

在大地测量中，我们使用的是大地线的长度和方位，也就是使用大地线代替法截弧。

对于地球这个近似于圆形的椭圆来说，大地线的长度接近于法截弧的长度，3000Km时，其误差<2cm，可以忽略。

正反法截弧方位差最大为：
3.椭球面上大地线的行径
[克劳莱定理]：在旋转椭球面上，大地线的平行圈（卯酉圈）半径与大地线在该点的方位角正弦的乘积是一个常数。

即：
rsinA = C
根据克劳莱定理，可以得到大地线在椭球面上的行径（图2-5）。

例如有一条大地线从赤道上某一点D以方位角A D出发向
北半球行进，在D 点处，曲率半径为相应的卯酉圈半径等于长半径a ，方位角A D =sin -1(C/r)为最小值；随着向北的行进，当A=900，sinA=1，卯酉圈半径r=C 为最小值，也就是说，大地线与与半径为C 的卯酉圈相切；再向前进，方位角继续加大，在赤道上
A=1800-A D 达到最大值；在南半球，A 又逐渐缩小，恢复到900时，与南半球r=C 的卯酉圈相切，当在返回赤道时，一般不会回到原来的位置D ，而是在其西的D ’点。

两点的经度差为：
2π(1-αsinA D +e 4项)
从上式可以看出，当．A ．D ．等于．．0．0．或．180．．．0．时，经差为．．．．．180．．．0．，才．．
能返回到原点，大地线就是子午圈；当．．．．．．．．．．．．．．．．．A ．D ．等于．．90．．0．或．270．．．0．时，．．
经差达到最大为．．．．．．．1.2．．．0．左右。

．．．
地球椭球体上．．．．．．A ．点到．．B ．点的大地方位角为．．．．．．．．30．．度，则．．．B ．到．A ．的大．．地方位角而不是．．．．．．．30+180．．．．．．度．.．
2.高斯投影
大地坐标不宜于用来作为测制地形图的基础，因为它们代表的是椭球面上的点位，而各种比例尺的地形图都是地形物在平面上的表示。

因此必须把椭球面上的点按照一定的关系投影在平面上并根据大地坐标计算出投影点的平面直角坐标，这样就产生了
地图投影问题。

地图投影按其变形性质划分有等角投影、等面积
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
投影，也有既不等角也不等面积的投影。

按投影面来分，则有平．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
面投影、圆锥面投影和圆柱面等投影。

．．．．．．．．．．．．．．．．．高斯平面直角坐标系就是
其中的一种。

2.1. 地图投影
在大地测量中，投影不是通过直线或其它几何关系确立的，而是按照一定的数学函数关系来实现的：
x = F1(B,L) y = F2(B,L)
由于椭球面是一个曲面，不可能把它铺成一个平面而不产生褶皱和破裂，也就是说，不可能把整个椭球面或其一部分曲面毫无变形的表示在一个平面上，因此无论我们把投影函数取的多么妥切，总是不可能避免某种因投影所产生的变形。

2.2. 地图投影的分类及正圆锥投影的概念
按照投影面来分，地图投影分为平面投影、圆锥面投影（
图
2-6-1）和圆柱面（图2-6-2）投影。

Lambert
．．．．．．．．．
．．．．．．．投影就是一种正圆锥
投影。

．．．
2.3. 高斯投影的概述
高斯投影
．．．．．．．．．．．．．．．．。

椭．．．．（图2-7）属于一种横轴、椭圆柱面、等角投影
圆柱面与地球椭球在某一子午圈
．．．L0．．上相切
．．．，这条子午线叫做投影
的轴子午线，也就是平面直角坐标系的纵轴或
．．．x．轴．，地球的赤道面与椭圆柱面相交，成一直线，这条直线与轴子午线正交，就是平面直角坐标系的横轴或y轴。

把椭圆柱面展开，就得到以(x,y)为坐标的平面直角坐标系。

高斯投影是一上述一个平面为基础，同时对投影函数提出一
些要求：
1.椭球面上的角度投影到平面上后，保持不变，也就是说角度
没有变形，满足等角要求
．．．．．．；
2.轴子午线投影为一条直线，并且是投影点的对称轴；
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
3.轴子午线投影后没有长度变形，也就是说在轴子午线方向上
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
满足等长条件
．．．．．．。

在高斯投影中，轴子午线上长度没有变形，除此之外都有长度变形。

离开轴子午线越远，变形就越大。

因此必须进行投影分带，把投影的区域控制在轴子午线两侧一定的范围内。

(高斯投影分带一般分为6º分带法和3º分带法).
1.6º分带法
每个区域由经差6º的两条子午圈组成，每个这样的区域称为一个投影带。

把每一个带各自投影到一个平面上，相应的轴子午线就成为该带的中央子午线。

全球分为
．．．．．．．．．．．．．
．．．．．．0．º．中央子午线起，向东依次编出．．．．60．．个投影带，自
每带带号，每个投影带的中央子午线按下列格式计算：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
L ．0． = 6．．n ．-．3．
每个投影带在平面上的投影有如一个梭子形（图．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2．-．8．），．．每带设立一个平面直角坐标系，以轴子午线作为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．x ．轴，以轴子．．．．．午线与赤道的交点作为原点，赤道的投影作为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．y ．轴。

在轴子午．．．．．．线以东的点，横坐标．．．．．．．．．y ．为正，以西的点．．．．．．．y ．为负。

为了避免负值．．．．．．．．．的不方便，一般规定轴子午线的横坐标为．．．．．．．．．．．．．．．．．．500000．．．．．．米，即纵轴向．．．．．．西平移．．．500．．．公里。

．．．
2. 3º分带法（略）
2.4. UTM 投影
UTM 投影是一种特殊的高斯投影(正割投影)。

具有如下特性：
1.世界分为60带，中央子午线两侧各3º，形成6º带(没有
其他分带方法)。

2.带号1从西经180º起算，依次向东增长，计算如下：
L0．． =． 6(n
．．．-．1)．．-．177
．．．
n = INT[ (L+180)/6]
．．．．．．．．．．．．．．．．+1．．
或者
．．．．．．．．．．．．．．．
．．: ．带号与中央子午线的对应公式为：
带号
．．．30．．
．．．．．．+3．．）．/6+
．．=．（中央子午线
带号与经度的对应公式为：
．．．．．．．．．．．．
带号
．．．
．．．+3．．）．/6．．）．+30
．．．（经度
．．=．（．INT
3.．．中央子午线投影比例因子为
．．．．．．．．．
．．．．．．。

使得在一个带内的．．．．．．．．．．．．0.9996
比例因子误差控制在
．．．
．．．．．．之内。

．．．．．．．．．1/1000
4.．．假东
．．．．．．
．．．．．．．．0．，在南半球为．．500
．．．,．000
．．．m．，假北在北半球为
10．．,．000
．．．．．．．．．．
．．．m．，以避免负值的出现。

．．．,．000
5.UTM
．．．投影使用于
．．．
．．．．．84．．º．N．和．80．．º．S．之间。

中国海洋石油有限公司规定，在我国海洋石油勘探中均采用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
UTM
．．．．．．．．．．．
．．．投影，中央子午线如下：
105
．．．．带．) ．
．．．°E (48
111
．．．．带．) ．
．．．°E (49
117
．．．°E (50
．．．．带．)．
123
．．．．带．)．
．．．°E (51
120
．．．°E．
120．．．°E ．使用于．．．渤海湾和辽东湾海域，不属于正规的．．．．．．．．．．．．．．．．UTM ．．．带。

．．是．TM ．．与．UTM ．．．的变种．．．.．
在．UTM ．．．投影下．．．A ．点到．．B ．点的平面方位角，与．．．．．．．．．B ．到．A ．的平面．．．方位角相差．．．．．180．．．度．.．
例题: 某点大地标为（39010’N ，119045’E ），求该点在UTM 投影下的带号?
解
L=119045’E = 119.75E
N = int ((L+180)/6)+1 = int ((119.75+180)/6) = 50 (带)
2.5. 平面子午线收敛角
子午线平面收敛角就是某点处真方位（大地方位）和投影直．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．角方位之间的差．．．．．．．，也就是．．．．通过该点的子午线描写形与纵坐标线．．．．．．．．．．．．．．．． 之间的夹角叫做该点的平面子午线收敛角。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．可以用下述公式近似表示：
Δα．． ≈． （．L ．-．L0．．）．sinB ．．．．
该公式说明．．．．．:．中央子午线以西，．．．．．．．．Δα<0．．．．，中央子午线以东，．．．．．．．．．Δα>0．．．．。

．在同一纬度．．．．．,．离中央子午线越远．．．．．．．． |．Δα．．| ．越大．．,．在同一经度上．．．．．．,．纬度值．．．越高．．, |．．Δα．．| ．越大．．.．。