等差数列 (教师版)

等差数列

【最新考纲】 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系．

1．等差数列的有关概念

(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．用符号表示为ɑn＋1

－ɑn＝d(n∈N*，d为常数)．

(2)等差中项：数列ɑ，A，b成等差数列的充要条件是A＝ɑ＋b 2，

其中A叫做ɑ，b的等差中项．

2．等差数列的有关公式

(1)通项公式：ɑn＝ɑ1＋(n－1)d，ɑn＝ɑm＋(n－m)d．

(2)前n项和公式：S n＝nɑ1＋n（n－1）d

2＝

n（ɑ1＋ɑn）

2．

3．等差数列的性质

已知数列{ɑn}是等差数列，S n是其前n项和．

(1)若m、n、p、q、k是正整数，且m＋n＝p＋q＝2k，则ɑm ＋ɑn＝ɑp＋ɑq＝2ɑk．

(2)ɑm，ɑm＋k，ɑm＋2k，ɑm＋3k，…仍是等差数列，公差为kd．

(3)数列S m，S2m－S m，S3m－S2m，…，也是等差数列．

(4)若数列{ɑn}的前n项和为S n，则S2n－1＝(2n－1)ɑn，S2n＝n(ɑ1＋ɑ2n)＝n(ɑn＋ɑn＋1)．

(5)等差数列的通项公式形如ɑn＝ɑn＋b(ɑ，b为常数)，前n项和公式形如S n＝An2＋Bn(A，B为常数)，结合函数性质研究等差数列常常可以事半功倍．

1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．()

(2)数列{ɑn}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2ɑn＋1＝ɑn＋ɑn＋2.()

(3)等差数列{ɑn}的单调性是由公差d决定的．()

(4)数列{ɑn}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．()

答案：(1)×(2)√(3)√(4)×

2．(2016·郑州一检)等差数列{ɑn}的前n项和为S n，且S3＝6，ɑ3＝0，则公差d等于()

A．－1 B．1 C．2 D．－2

解析：依题意得S3＝3ɑ2＝6，即ɑ2＝2，故d＝ɑ3－ɑ2＝－2，选

D.

答案：D

3．在等差数列{ɑn}中，ɑ1＝2，ɑ3＋ɑ5＝10，则ɑ7＝()

A．5 B．8 C．10 D．14

解析：法一设等差数列的公差为d，则ɑ3＋ɑ5＝2ɑ1＋6d＝4＋6d＝10，所以d＝1，ɑ7＝ɑ1＋6d＝2＋6＝8.

法二由等差数列的性质可得ɑ1＋ɑ7＝ɑ3＋ɑ5＝10，又ɑ1＝2，所以ɑ7＝8.

答案：B

4．(2015·课标全国Ⅱ卷)设S n是等差数列{ɑn}的前n项和，若ɑ1＋ɑ3＋ɑ5＝3，则S5＝()

A．5 B．7 C．9 D．11

解析：法一∵ɑ1＋ɑ5＝2ɑ3，∴ɑ1＋ɑ3＋ɑ5＝3ɑ3＝3，∴ɑ3＝1，

∴S5＝5（ɑ1＋ɑ5）

2＝5ɑ3＝5，故选A.

法二∵ɑ1＋ɑ3＋ɑ5＝ɑ1＋(ɑ1＋2d)＋(ɑ1＋4d)＝3ɑ1＋6d＝3，∴ɑ1＋2d＝1，

∴S5＝5ɑ1＋5×4

2d＝5(ɑ1＋2d)＝5，故选A.

答案：A

5．(2015·陕西卷)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________．

解析：设数列首项为ɑ1，则ɑ1＋2 015

2＝1 010，故ɑ1＝5.

答案：5

一个推导

利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式．

两个技巧

1．若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，ɑ－2d，ɑ－d，ɑ，ɑ＋d，ɑ＋2d，….

2．若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，ɑ－3d，ɑ－d，ɑ＋d，ɑ＋3d，….

两种思想

1．等差数列的通项公式，前n项和公式涉及“五个量”，“知三求二”，需运用方程思想求解，特别是求ɑ1和d.

2．等差数列{ɑn}中，ɑn＝ɑn＋b(ɑ，b为常数)，S n＝An2＋Bn(A，B为常数)，均是关于“n”的函数，充分运用函数思想，借助函数的图象、性质简化解题过程．

四种方法

等差数列的四种判断方法

1．定义法：ɑn＋1－ɑn＝d(d是常数)⇔{ɑn}是等差数列．

2．等差中项法：2ɑn＋1＝ɑn＋ɑn＋2(n∈N*)⇔{ɑn}是等差数列．

3．通项公式：ɑn＝pn＋q(p，q为常数)⇔{ɑn}是等差数列．

4．前n项和公式：S n＝An2＋Bn(A、B为常数)⇔{ɑn}是等差数列．

一、选择题

1．(2016·豫东、豫北十所名校联考(五))已知等差数列{ɑn }中，ɑ5＝13，S 5＝35，则公差d ＝( )

A ．－2

B ．－1

C ．1

D ．3

解析：依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ɑ1＋4d ＝13，5ɑ1＋10d ＝35，解得⎩

⎪⎨⎪⎧ɑ1＝1，d ＝3， 答案：D

2．(2015·重庆卷)在等差数列{ɑn }中，若ɑ2＝4，ɑ4＝2，则ɑ6＝

( )

A ．－1

B ．0

C ．1

D ．6

解析：∵{ɑn }为等差数列，∴2ɑ4＝ɑ2＋ɑ6，∴ɑ6＝2ɑ4－ɑ2，即ɑ6＝2×2－4＝0.

答案：B

3．(2016·陕西八校联考)在等差数列{ɑn }中，ɑ1＝0，公差d ≠0，若ɑm ＝ɑ1＋ɑ2＋…＋ɑ9，则m 的值为( )

A ．37

B ．36

C ．20

D ．19

解析：ɑm ＝ɑ1＋ɑ2＋…＋ɑ9＝9ɑ1＋9×82

d ＝36d ＝ɑ37，∴m ＝37.故选A.

答案：A

4．(2016·深圳调研)等差数列{ɑn }中，已知ɑ5＞0，ɑ4＋ɑ7＜0，则{ɑn }的前n 项和S n 的最大值为( )