变分法

x 1 y 6 2 2
上述第一个解中2<0,故不是极小值解； 第二个解中y+2>0不满足问题的约束条件,故不为该 问题的极小值解； 只有第三个解满足库恩-塔哈克定理的所有条件,因 此是该问题的极小值解。
有不等式约束条件的多元函数极值(7/7)
(3) 类似前面求解过程,可知在1≠0,2=0及1≠0,2≠0两 种情况下,该问题无解。 综上所述,该极值问题的解为
L( x* , λ) 0, x 2 * L ( x , λ) 0 xx g ( x* ) 0
有等式约束条件的多元函数极值(3/5)—例7-1
例7-1 求给定关于n维变量向量x的二次型标量函数
Baidu Nhomakorabea
f ( x) x Ax b x c
变量x和因变量y之间的对应关系,是数x到数y的一种映射。 而 泛函 则表示函数 y 到数 J 的一种映射关系 , 见下面的例 子。
泛函(2/14)—最短弧长问题
最短弧长问题 如图7-2所示,设y(x)是连 接点(x1,y1)到(x2,y2)的一条曲线。
若y(x)是连续可微的,则A,B两点的区 间y(x)的弧长为
J=J[y(x)]
或简记为J。 相应地,自变量函数y(x)称为宗量。 □
从上述定义可知,泛函规定了数J与函数y(x)的对应关系,可理 解为“函数的函数”。 需要强调的是,上述定义中的宗量 y(x)是某一特定函数的 整体,而不是对应于某一自变量x的函数值y(x)。 为强调泛函的宗量是函数的整体 , 有时将泛函表示为 J=J[y(· )]。
min f ( x )
x
s.t.
g( x) 0
式中,g(x)为p维的向量变量x的向量函数,并假定其连续可微; 式 g(x) 0 即为不等式约束,
符号“”的意思为函数向量g(x)中每个元素“小于等于 0”。 有不等式约束条件的函数极值问题的求解比等式约束条件的函数 极值问题复杂。
受前面讨论的引入拉格朗日乘子的启发,求解不等式约束的函 数极值问题也引入了乘子的概念,其求解基本方法可由如下库 恩-塔哈克(Kuhn-Tucker)定理给出。
泛函(4/14)
在泛函的定义中,强调泛函的宗量y(x)属于某一类函数。 由泛函的定义所确定的宗量属于的函数类称为容许函数 类或容许函数空间。 如最短弧长问题中泛函 S[y(x)] 的容许函数类为通过 A,B 两点的连续可微或分段连续可微的函数y(x) 。
泛函(5/14)—定义7-3
线性泛函是研究泛函极值问题的基础,下面先给出线性泛
min f ( x)
x
函数极小的定义是一个相对概念 ,并不是在函数的定义域上的一 个绝对概念,其基本定义可表述如下。 定义7-1 若存在一个>0,由‖x-x*‖所规定的x*的邻域内总有 y(x*)y(x),则称点x*是函数y(x)的一个相对极小点,简称为极小 点。 □ 由数学分析知识可知,无约束条件时的多元函数极小值问题的 解x*满足如下必要条件：(注意：二阶导数为0可能为拐点)
函数微分的定义
泛函(7/14)
若函数y=f(x)具有连续的导数,则它的增量可以表示如下 ( x)x r ( x, x) y f ( x x) f ( x) f
x 1,
y 6
泛函(1/14)
7.2.2 泛函
变分法是研究泛函极值问题的一种经典方法,从17世纪末开 始逐渐发展成为一门独立的数学分支。 它在力学、光学、电磁学等方面有着极为广泛应用。 下面先讨论泛函的基本概念。 泛函是函数概念的一种扩充。
函数 表示从数到数的对应关系,如y(x)=2x2-x+1规定了自
有不等式约束条件的多元函数极值(3/7)—定理7-1
min f ( x )
x
s.t.
g( x) 0
定理7-1(库恩-塔哈克定理) 对上述不等式约束的极值函数问 题,那么必存在p个不同时为零的数1,2,…,p,满足为
1) 2) 3)
λ g ( x* ) 0
i 0; i 1, 2,..., p
有不等式约束条件的多元函数极值(4/7)—例7-2
例7-2 求给定关于n维变量向量x的二次型标量函数
min f ( x, y ) x 2 2 y 2
x, y
y 2 0 s.t. 2 y x 5 0
解 先定义库恩-塔哈克函数如下
L( x, y, 1 , 2 ) x2 2 y 2 1 ( y 2) 2 ( y 2 x 5)
L( x, λ) f ( x) λ g( x)
2) 该极值问题的解x*满足如下必要条件 L( x* , λ) * 0, g ( x )0 x 2 * L ( x , λ) 0 xx
如果函数L(x)对x的二阶偏导数矩阵在x*为正定矩阵,则该 必要条件亦为充分条件,即
1
当矩阵H为行满秩矩阵时,矩阵H(A+A)-1H是可逆的,此时上 述解成立。
由极值问题的充分条件可知,当
2 L( x* , λ) A A 0 xx
时,上述极值为极小值。
有不等式约束条件的多元函数极值(1/7)
3. 有不等式约束条件的多元函数极值
有不等式约束条件的多元函数极值问题可描述为
1. 无约束条件的多元函数极值
无约束条件的多元函数的极值问题讨论的是: 假定多元函数f(x1,x2,…,xn)对其所有自变量都连续, 且具有连续的一阶和二阶偏导数。
将所有自变量 x1,x2,…,xn 记为向量 x 的形式 , 则问题为求 x, 使x=x*时,f(x)达到极小值。
该问题可记为
有等式约束条件的多元函数极值(1/5)
2. 有等式约束条件的多元函数极值
有等式约束条件的多元函数极值问题可描述为
min f ( x )
x
s.t. g ( x ) 0
式中,g(x)为p维的向量变量x的向量函数,并假定其连续可微; g(x)=0即为等式约束条件。
拉格朗日乘子法是解决有等式约束条件的函数极值问题的有效方 法,其求解基本方法如下。 1) 先引入拉格朗日乘子=[1 2 … p],定义如下拉格朗日函数

1


1
b e
x A A
1
b H λ (1)
有等式约束条件的多元函数极值(5/5)
将上述的表达式代入式(1),可得
x A A
1

b A A
1

H H A A

1

1 H H A A b e
泛函(6/14)
泛函的极值则是在容许函数类中求得使泛函达到极值的函数。 如最短弧长的例子中,就是从函数序列中求得一个使最短 的函数。 在不考虑约束的条件下 ,连接两点的是一条连接两点 的直线。 为导出泛函的极值条件 , 还需要定义宗量和泛函的变分。为 此,不妨回顾一下函数微分的定义。
L A A x b H λ 0 x
当(A+A)可逆时
x A A 由约束条件Hx=e,有
即

1
b H λ


H A A

1
b H λ e

1
λ H A A

H H A A
1) 2) 3)
λ g ( x * ) 0 x
i 0; i 1, 2,..., p 有不等式约束条件的多元函数极值 (5/7) * * p dg i ( x * ) L( x , λ) df ( x ) i 0
dx
i 1
dx
gi ( x * ) 0
i 1, 2,..., p
内容为
多元函数的极值问题
泛函 欧拉方程 横截条件 欧拉方程和横截条件的向量形式
多元函数的极值问题(1/1)
7.2.1 多元函数的极值问题
多元函数极值问题可分为 无约束条件极值问题、 等式约束条件极值问题和
不等式约束条件极值问题。
下面分别讨论。
无约束条件的多元函数极值(1/3)
再根据库恩-塔哈克定理,极小值的必要条件如下: L L 2 x 2 0, 4 y 1 22 y 0 x y 1 ( y 2) 0, 1 0
2 ( y 2 x 5) 0,
y 2 0,
2 0
y2 x 5 0
Ch.7 最优控制原理
目录(1/1)
目

录
7.1 最优控制概述 7.2 变分法 7.3 变分法在最优控制中的应用 7.4 极大值原理 7.5 线性二次型最优控制 7.6 动态规划与离散系统最优控制 7.7 Matlab问题 本章小结
变分法(1/1)
7.2 变分法
本节在讨论变分法之前,先简单讨论多元函数的极值问题, 然后引出 泛函的极值问题。
在约束条件
Hx e
下的极小值。
其中,e为m维常数向量;
A,H和b分别为适宜维数的常数矩阵和向量; c为常数。
有等式约束条件的多元函数极值(4/5)
解 先定义如下拉格朗日函数 L( x, λ) x Ax b x c λ ( Hx e)
式中,为m维拉格朗日乘子向量,那么
式中,现在依次考虑下述4种可能情况:
(1) 1=2=0,即在两个不等式约束的边界之内求解。此时,则由
L 2 x 0, x L 4 y 0 y
解得x=y=0。由于该问题的第一个不等式约束条件不满足,因此, 不是极小解。
(2) 1=0,2≠0。因此,有:
L L 有不等式约束条件的多元函数极值 (6/7) 2 x 2 0, 4 y 1 2 2 y 0 x y 1 ( y 2) 0, 1 0
p dgi ( x* ) L( x * , λ) df ( x * ) i 0 x dx dx i 1
gi ( x * ) 0
i 1, 2,..., p
式中,=[1 2 … p]为库恩-塔哈克乘子向量; L(x,)为如下库恩-塔哈克函数
L( x, λ) f ( x) λ g( x)
2 x 2 0 4 y 22 y 0 2 y x 5 0
解得
x 5 , y 0 10 2
2 ( y 2 x 5) 0,
y 2 0,
2 0
y2 x 5 0
x 1 y 6 , 2 2
函的定义。 定义7-3 泛函J[y(x)]如果满足下列叠加性和齐次性两个条件 J[y1(x) + y2(x)]=J[y1(x)] + J[y2(x)] 叠加性 J[c y(x)]=c J[y(x)] 齐次性 式中, y1(x)和y2(x)为任意的两个函数; c为任意常数。 此时,称J[y(x)]为线性泛函。 线性泛函具有可叠加性和齐次性。
S[ y( x)]
x2
x1
2 ( x)dx 1 y
图7-2最短弧长问题
显然,上述弧长的积分式对于任意给定的连续可微的函数 y(x)都存在对应的一个积分值,即存在函数y(x)到数S[(y(x)] 的一种映射关系。 因此,有下面泛函的定义。
泛函(3/14)—定义7-2
定义7-2 对于某一类函数集合中的每一个函数y(x),都存在一 个确定的数J与之对应,那么就称J为依赖于函数y(x)的泛函,记 为
df ( x) dx
0
x x*
d 2 f ( x) dxdx
0
x x*
如果函数f(x)对x的二阶导数矩阵在x*为正定矩阵,则上述多元 函数极小值问题的必要条件亦为充分条件,即 df ( x) d 2 f ( x) 0 0 dx x x* dxdx x x* 是x*为该多元函数极值问题的解的一个充分条件。