2015年数学建模a题

将其带入方程⑤
a=2.9721
b=-18.6741
c=30.4846
由于 a、b、c 为时角状态，为了更清晰的表示出不同时间下影子长度的变化，将其
重新转换为北京时间，得到新的 a、b、c 数据：
a=0.2037
b=-4.8888
c=30.4843
5.1.3 模型的解决
将得到 a、b、c 带入方程⑤中，得到：
东经 116 度 23 分 29 秒），所以观测地地理纬度为北纬 39 度 54 分 26 秒，东经度 116 度
23 分 29 秒。在本文中为了计算方便，将纬度度数转化为弧度制。
(4)时角：一个天体的时角被定义为该天体的赤经与当地的恒星时的差值。
5.1.2 模型的建立
由太阳高度角的求法可知：tan ℎ = ������(杆长）
1.2 问题的提出
围绕太阳照射下物体的影子长度的动态变化过程、设计参数，本文依次提出如下问 题：
1.通过建立物体影子长度变化的数学模型，分析影子长度在各个参数影响下的变化 规律，并用建立的数学模型描绘出 2015 年 10 月 22 日北京时间 9:00-15:00 之间天安门 广场（北纬 39 度 54 分 26 秒,东经 116 度 23 分 29 秒）3 米高的直杆的太阳影子长度的 变化曲线。
针对问题三，对附件二与附件三分别求出非线性回归方程，建立模型，通过正午太 阳高度所在的北京时间推导经度，在杆长一并已知的情况下，将分散的未知数整体凝聚， 在问题二所做模型的基础上进一步优化，使其达到同求纬度与日期的目的。
针对问题四，借助 photoshop 软件对视频截图中影长进行测量，将测量的数据根据 测量杆长与实际杆长的比例计算出真实影长，并拟合出影长和北京时间的回归方程，推 导出观测地经度，接着进行筛选，去除异常数据,对残缺数据进行适当补充,并从中抽取 了 20 组数据进行数据模拟，结果显示，理论结果与数据模拟结果吻合。通过新建立的 数据模型得出具体纬度，确定地点。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展 示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
我们参赛选择的题号（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： A
我们的报名参赛队号（12 位数字全国统一编号）：
参赛学校（完整的学校全称，不含院系名）： 塔里木大学
隔两分钟对视频中影子的长度进行一次测量，共取得 20 组数据，对这些数据进行预处
理，可以得到不同时间变化的影长，根据问题二的求解方法，求出纬度。如果未知拍摄
日期，则可以根据问题三的求解方法求出。
五、模型建立和解决
5.1 问题一的模型建立和解决
5.1.1 模型的准备
由于本论文中涉及到许多专业术语，在此对专业术语进行解释。
4．已知直杆的高度为 2 米，附件 4 给出直杆在太阳下的影子变化的视频，建立确 定视频拍摄地点的数学模型，通过带入数据利用模型给出若干个可能的拍摄地点，若当 拍摄日期未知时，判断能否根据视频确定出拍摄地点与日期。
二、模型假设
（1）假设其他因素（主观、客观）对物体影子长度的变化影响甚微； （2）假设附件中所给测量数据高精确度； （3）通过谷雨时节（黄经30°）的经度测量具有科学性； （4）影子测量时无天气变化对测量造成影响； （5）论文中经度的约算对纬度和杆长的求解影响可忽略不计。
y=0.2037x2 − 4.8888������ + 30.4843
⑥
通过影长和时间的拟合回归方程，可以得到影长与时间之间存在非线性关系，利用
MATLAB 画图得到 2015 年 10 月 22 日北京时间 9:00-15:00 之间天安门广场（北纬 39 度
54 分 26 秒,东经 116 度 23 分 29 秒）3 米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线（如图 1
①
������
从而得到：
y=������(杆）
②
tan ℎ
已知太阳高度角的计算方程为：sin ℎ = sin ������ sin ������ + cos ������ cos ������ cos ������ ③
则：h = arcsin(sin ������ sin ������ + cos ������ cos ������ cos ������） ④
(1)太阳高度角：某地太阳光线与该地做垂直于地心的地表切线的夹角,该角用h表
示。
(2)太阳赤纬：又称赤纬角，是地球赤道平面与地球中心的连线之间的夹角，该角
用θ表示，其求解公式为sinθ = 0.39795cos⁡[0.98563(N − 173) 。
(3)观测地地理纬度：由题一给出天安门广场确定的经纬度（北纬 39 度 54 分 26 秒,
2
太阳影子定位问题研究
摘要
太阳影子定位技术通过分析视频中太阳照射下物体的影子变化，确定物体拍摄所处 的时间和地点，该技术不仅贴近我们的生活，也实用于我们的生活。
针对问题一，根据已知日期以及经纬度，首先确定太阳赤纬以及纬度弧度制，接着， 根据已知北京时间以东八区的中央经线 120°为对称分布，即以北京时间 12:00 为正午， 以 9:00 至 15:00 时角范围作为研究对象。根据求解正午太阳高度角公式，推导建立非 线性回归模型，利用已知杆长，求解出杆影相对于各个时角状态的长度数据。数据完备， MATLAB 编程，拟合出杆影长度的非线性曲线，求其函数关系式。
5.2 问题二的模型建立和解决 5.2.1模型的建立
根据附件一给出的数据，某固定直杆数据测量的时间点为2015年4月18日。根据2015 日历可知，4月20日为我国谷雨时节，这一天的经度为固定的黄经30度（谷雨是二十四
根据题目要求，在已知日期的先决条件下，可知它与谷雨时节相差刚好两天，通过 谷雨时节经度是黄道 30 度的知识点，能够算出某固定直杆所处的经度，与问题一相同， 借用 MATLAB 软件，通过联立太阳高度角求解公式和杆长与影长的比例方程，将附件一 中所给数据带入建立的模型中，得到一系列的纬度和某固定直杆的杆长，再用经度跟纬 度建立坐标，得到某固定直杆的若干个可能地点。 4.3问题三分析
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或 其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文 引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有 违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
如果在视频日期未知的情况下求时空数据，可对所建模型进行适当修改，优点在于 对操作性要求不高，缺点在于所需数据量较为繁多。
关键字：太阳高度角 影子长度 曲线拟合 非线性回归模型 MATLAB
3
1.1 引言
一、问题重述
太阳影子定位技术通过分析视频中太阳照射下物体的影子变化，可以确定物体拍摄 所处的时间和地点，该技术通过得到在不同时刻太阳照射情况下，关于太阳高度角的变 化角度，这是影响物体影子长度变化的主要因素，而每一天同时刻太阳高度角的不同， 能确定物体所处的时间和地点，该技术不仅贴近我们的生活，在实用于我们的生活。
参赛队员 (打印并签名) ：1. 周露
2. 高进渊
3.
张佳
指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 张倩
201531005014
日期： 2015 年 9 月 14 日
（此承诺书打印签名后作为纸质论文的封面，注意电子版论文中不得出现此页。以上内 容请仔细核对，特别是参赛队号，如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）
2.通过固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型来确定直杆 所处的地点。将附件 1 的影子顶点坐标数据带入建立的数学模型中，得到若干个可固定 直杆所处的地点。
3. 通过固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型来确定直 杆所处的地点和日期。将附件二和附件三中选取的数据带入建立的模型中，通过计算求 出附件二和附件三的地点与日期。
4
符号 h φ θ y x
a.b.c t s
三、符号说明
意义
太阳高度角 观测地地理纬度
太阳赤纬 影子长度 不同时间内经纬度的坐标 通项公式的未知系数
时角 杆长
四、问题分析
4.1 问题一分析 题目要求建立关于影子长度变化的数学模型，通过随时间变化的太阳高度角的变化
数据，建立线性回归模型，能够在给定经纬度的情况下，得到在不同时刻的太阳照射下， 影子的长度变化，在得到数据的前提下，运用 MATLAB 软件作为辅助工具，画出 2015 年 10 月 22 日北京时间 9:00-15:00 之间天安门广场（北纬 39 度 54 分 26 秒,东经 116 度 23 分 29 秒）3 米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。 4.2 问题二分析
利用以上两个线性方程得到当地经度，利用太阳高度角公式求出杆长，分别选取附
件二和附件三的 2 个北京时间（用间隔为 3 的数字代替），带入对应方程，对公式进行
化简，再利用 MATLAB 对联立方程进行求解，得到当地纬度和当地日期。
4.4 问题四分析
通过视频可以得到拍摄的日期、时间以及杆长，对于影子长度的统计数据，通过每
赛区评阅编号（由赛区组委会填写）：
2015 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参 赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网 上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
⑤
取 10：00、12：00、14:00 这三个时间点进行换算变为时角状态带入方程组④中，
得到 10:00、12：00、14:00 关于 t、y 的三个坐标值
10:00(2.617995 , 1.9663)
12:00(3.141594 , 1.1515)
14:00(3.665193 , 1.9663)
在此，t 值是由原时间带入转化公式得到的时角，而当前所得到的时间段为地方时，
所以将其进行转换
转化公式为：
t=地方小时*15゜
6
1゜=0.0174533rad
1rad=57.2956゜
故
39゜54ˊ26″≈0.6865rad
联立②④式
设
y=������������2 + ������������ + ������
1
赛区评阅编号（由赛区组委会填写）： 2015 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 备 注
送全国评奖统一编号（由赛区组委会填写）：
全国评阅统一编号（由全国组委会填写）：
此编号专用页仅供赛区和全国评阅使用，参赛队打印后装订到纸质论文的第二页上。 注意电子版论文中不得出现此页，即电子
图 1：影子长度变化曲线 由图可知，按照时间的变化，找到了关于北京时间下被光照物体在不同参数的影响 下，大致的长度变化走向： （1）从日出时分开始，太阳逐渐从东南方升起，被光照物体的影子指向西北方， 并且呈现出最长的状态，此时的太阳高度角为 0，随着时间由早上到中午的移动，太阳 高度角逐渐变大，而此时的影子长度开始变短，方向也由西北方慢慢向东南方转动。 （2）当太阳高度角到达被光照物体所处经度时，太阳高度角达到最大 90 度，此时 的太阳高度角被称为正午太阳高度角，影长达到一天最短，甚至为 0， （3）当跨过正午太阳高度角时，太阳逐渐往西北方落下，而此时的被光照物体的 影子指向东南方，开始变长，而此时的太阳高度角开始变小，直到太阳高度角达到 0， 此时影长达到下午时刻最长，值得注意的是，被光照物体的影长关于正午太阳高度角时 刻对称。
针对问题二，对附件一数据分析并拟合，影长通过三角函数计算得出，且观测日期 与地方时刻已知，推导计算观测地的经度及时角，根据建立的非线性回归的模型，运用 赋值法，在允许范围内假设杆长，置信水平设为 0.05，建立以杆长为未知数的方程组， 得出最优数据。通过反三角函数以及倍角公式，得出纬度值，确定地点。
分析附件二、三的数据，分别用MATLAB拟合出两个直杆影长与时刻之间关系的非线 性回归方程:
5
y = 0.000051053������2 − 0.01094286������ + 1.320485
y = 0.000025256������2 + 0.00756937������ + 3.469241