中考数学复习检测专题训练十解答题突破_代数几何综合题(涉及二次函数)试题

与y轴交于点C，且BO＝OC＝3AO，直线y＝－x＋1与y轴交于点D．

专题训练十解答题突破

——代数几何综合题(涉及二次函数)

1．(2016·新疆)如图1，抛物线y＝ax2＋bx－3(a≠0)的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，

1

3

图1

(1)求抛物线的解析式；

(2)证明：△DBO∽△EBC；

(3)在抛物线的对称轴上是否存在点△P，使PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由．

2．如图2，图3，在每一个四边形ABCD中，均有AB∥DC，AD⊥AB，∠ABC＝30°，CD＝6，AB＝12.

图2

图3

(1)如图图2，点M是四边形ABCD边AB上的一点，求△DMC的面积；

(2)点M是四边形ABCD边AB上的任意一点，请你求出△DMC周长的最小值；

(3)如图3，如果点M在AB上，是以1个单位/秒的速度从A向点B运动，是否存在一个时刻t，使得△MCB是等腰三角形？如存在，请求出此时的t值；如不存在，请说明理由．

3．(2016·青羊区模拟)如图4所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，沿斜边AB

的中线CD把这张纸片剪成△AC

1

D

1

和△BC

2

D

2

两个三角形(如图5所示△)．将纸片AC

1

D

1

沿直线D

2

B(A→B方向)

平移(点A，D

1

，D

2

，B始终在同一直线上)，当D

1

与点B重合时，停止平移．在平移的过程中，C

1

D

1

与BC

2

交

于点E，AC

1

与C

2

D

2

，BC

2

分别交于点F，P.

(3)对于(2)中的结论是否存在这样的 ，使得重复部分面积等于原△x ABC 纸片面积的 ？若存在，请求

⎧⎪9a ＋3b －3＝0，

⎪⎩b ＝－2. ∴抛物线解析式为 y ＝x 2－2x －3.

∵直线 y ＝－ x ＋1 与 y 轴交于点 D ，∴D (0,1)．

OD ＝ 2， ＝ 2，BE ∴CE BD ＝

2.∴ ＝ OB OD OB BD 图 4

图 5 图 6

(1)当 △AC 1D 1 平移到如图 6 所示位置时，猜想 D 1E 与 D 2F 的数量关系，并说明理由．

(2)设平移距离 D 2D 1 为 △x ， AC 1D 1 和 △BC 2D 2 重复部分面积为 y ，请写出 y 与 x 的函数关系式，以及自变

量的取值范围．

3

8

出 x 的值；若不存在，请说明理由．

参考答案：

1．解：(1)∵抛物线 y ＝ax 2＋bx －3，∴c ＝－3.∴C (0，－3)．

∴OC ＝3.

∵BO ＝OC ＝3AO ，∴BO ＝3，AO ＝1.∴B (3,0)，A (－1,0)．

∵该抛物线与 x 轴交于 A ，B 两点，∴⎨

⎪⎩a －b －3＝0.

⎧⎪a ＝1， ∴⎨

(2)由(1)知，抛物线解析式为 y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，

∴E (1，－4)．

∵B (3,0)，A (－1,0)，C (0，－3)，∴BC ＝3

2，BE ＝2 5，CE ＝ 2.

1

3

∵B (3,0)，∴OD ＝1，OB ＝3，BD ＝ 10，

BC CE BC BE ＝ .

∴△BCE ∽△BOD .

(3)存在，理由：设 P (1，m )，∵B (3,0)，C (0，－3)，

∴BC ＝3

2，PB ＝ m 2＋4，PC ＝ m ＋

∵△PBC 是等腰三角形， 2

＋1，

①当 PB ＝PC 时，∴ m 2＋4＝

m ＋

2

＋1，

∴m ＝－1.∴P (1，－1)．

②当 PB ＝BC 时，∴3

2＝ m 2＋4，∴m ＝± 14.

∴P (1， 14)或 P (1，－ 14)，

③当 PC ＝BC 时，∴3

2＝ m ＋

2

＋1，∴m ＝－3± 17，

∴P (1，－3＋ 17)或 P (1，－3－ 17)，

则△S DMC CD·ME＝6 3.

2

∴符合条件的P点坐标为P(1，－1)或P(1，14)或P(1，－14)或P(1，－3＋17)或P(1，－3－17) 2．解：(1)如图1，过C作CF⊥AB，

图1

∴四边形AFCD为矩形．

∴AF＝CD＝6，BF＝AB－AF＝6，

在△R t BCF中，∠ABC＝30°，BF＝6，

∴CF＝BF tan30°＝23，ME＝2 3.

1

＝

(2)如图2，作点D关于直线AB的对称点D′，

图2

连接D′C，交AB于点M，则点M就是所求的点．

∴△DMC周长的最小值为

DM＋MC＋CD＝D′M＋MC＋CD＝CD′＋DC.

∵AD＝CF＝23，∴DD′＝2AD＝4 3.

∵DC＝6，CD′＝CD2＋DD′2＝221，

∴△DMC周长的最小值为

221＋6.

(3)分三种情况讨论．

1)如图3，

图3

当MC＝CB时，

由(1)可知，BC＝2CF＝43，

∴MF＝FB＝6.∴MB＝12.