经济学中的常用函数

初始本金为p , 利率为r
第1年末的本利和 s1 p rp p(1 r )
第2年末的本利和 s2 p(1 r ) rp(1 r )
p(1 r )2
……
第n年末的本利和 sn p(1 r )
n
例1 现有初始本金100(元)，若银行年储蓄利率为5%， 问： （1）按单利计算，3年末本利和为多少? （2）按复利计算，3年末本利和为多少?
或 L L( p) R( p) C ( p)
当L(Q* ) 0时，称Q*为盈亏临界点
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C万元为年产量 x吨的函数 例 假定某产品总成本 C C ( x ) a bx 2 其中a，b为待定系数，已知固定 成本400万元，且 当年产量为 100吨时，总成本为 500万元，试求总成 本函数及平均成本函数 .
a 400 C (0) a 400 解: 由于 , 所以 2 C (100) 500 500 400 b 100
1 解得b 100
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假定某产品总成本 C万元为年产量 x吨的函数 C C ( x ) a bx 2 其中a，b为待定系数，已知固定 成本400万元，且 当年产量为 100吨时，总成本为 500万元，试求总成 本函数及平均成本函数 .
解
由题意知所求函数的定义域为 100,200
设每次进衣服 x 件，则每次批发价减少
2 ( x 100) 元/件， 20
x 2 于是所求函数为 P 120 ( x 100) 130 10 20 180 P 130 112 (元/件) 当 x 180 时， 10
Q aebP (a, b 0).
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二 需求函数 、供给函数、市场均衡
也可以用反函数的形式 来表示： p f 1 (Qd ) （价格函数）
习惯上将价格函数也统称为需求函数.
供给函数
在不考虑其他因素情况 下，供给 Qs ( p)
量Qs与价格p之间形成了函数关系 称该函数为供给函数 .
（3）按复利计算，需多少年才能使本利和 超过初始本金一倍? 解 （1）s3 p(1 3r ) 100(1 3 0.05) 115(元). （2）s3 p(1 r )n 100 (1 0.05)3 115.76(元). （3）若n年后使本利和超过初始本金一倍，必须 ln 2 n n 14.2, p(1 r ) 2 p, p(1.05) 2 p, n ln(1.05) 所以需15年才能使本利和超过初始本金一倍．
收入函数 收益函数：生产者出售一定数量的产品所得
到的全部收入。
它是销量与价格的乘积 R=p*Q ,
其中 p---产品的价格，Q ---销售量
注
R QP f ( P ) P 1 R QP f (Q )Q
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Hale Waihona Puke Baidu
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利润函数 由经济理论知：利润=收益-成本
当市场均衡时，销售量 与产量相等，均用 Q表示， 则利润函数为: L L(Q ) R(Q ) C (Q )
第四节
一 单利与复利
经济学中的常用函数
单利计算公式
初始本金为p , 利率为r
第1年末的本利和 s1 p rp p(1 r ) 第2年末的本利和 s2 p(1 r ) rp p(1 2r )
……
第n年末的本利和 sn p(1 nr )
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复利计算公式
3. 初等函数的结构 4. 经济学中的常用函数
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Qd f d ( P )
均衡价格
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P
P
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例2 设某商品的需求函数和供给函数分别为
Q d 190 5P,Q s 25P 20,
求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量.
解 由均衡条件
Qd Q s 得
190 5P 25P 20
解得 p 7,
因此，市场均衡价格为 P0 7.
市场均衡数量为 Q 0 25P 0 20 155.
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例3 某批发商每次以120元/件的价格将100件衣服 批发给零售商, 在这个基础上零售商每次多进20件 衣服, 则批发价相应降低2元, 批发商最大批发量为 每次200件, 试将衣服批发价格表示为批发量的函数, 并求零售商每次进180件衣服时的批发价格．
C ( x) C0 C1 ( x)
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成本函数
当产量x 0时的总成本就是固定成 本，有 C (0) C 0
均摊在单位产量上的成 本称为平均单位成本， 简称平均成本 . 记为：
注意
C ( x) C ( x) x
平均成本函数一般不是单调函数.
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所求总成本函数为 x2 C ( x ) 400 (万元) 100 平均成本函数为
C ( x ) 400 x C ( x) (万元 / 吨) x x 100
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小结
1. 函数的定义及函数的二要素 定义域 对应规律
2. 函数的特性
有界性, 单调性, 奇偶性, 周期性
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二 需求函数 、供给函数、市场均衡
需求函数 假若不考虑商品价格以 外的其他因素，
需求量Qd 与价格p之间就形成了函数关系 Qd f ( p) 该函数称为需求函数 .
（1）线性函数 （2）反比例函数 （3）指数函数
Q b aP (a, b 0). a Q b (a, b 0). Pc
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市场均衡 当某商品的需求量等于供给量时，我们称该 商品处于市场均衡状态，此时的价格称为该商品 的均衡价格，此时的需求量（供给量）称为该商 品的均衡量。 商品的均衡量 和均衡价格相当于 需求曲线和供给曲 线交点的坐标. Q
均 衡 数Q 量
Qs f s ( P )
E
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三 成本函数 、收入函数、利润函数
在生产过程中，产品的 总成本C与产量x所 构成的函数关系称为总 成本函数.记为 C C ( x) 生产某一种产品的总成 本包括固定成本和变动
成本两部分: 不随产品的产量增减而 变化的部 分称为固定成本 , 记为C 0 ; 随产品的产量增减而 变化的部分称为变动成 本，记为C1 ( x ). 于是总成本C ( x )可表示为：