高等数学第七章微分方程习题(可编辑修改word版)

第七章微分方程与差分方程

习题7－1（A）

1.说出下列微分方程的阶数：

(1) x ( y') 2- 2 yy'+x = 0 ; (2) x 2y''+xy'+y = 0 ;

(3) (7x- 6 y)dx + (2x + 3y)dy = 0 .

2.下列函数是否为该微分方程的解：

(1)

(2) y'- 2 y'+y = 0 ;

(x +y)dx +xdy = 0 ;

y =x 2e x

C -x 2

y =

2x

(C 、、、、、)

(3) d 2y

dx 2

+a 2 y = 0 ; y =C1 sin ax +C2 cos ax (C1,C2、、、、、)

(4) (xy +x) y'+xy'2+yy'- 2 y'=0 ; y = ln (xy)

3.在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，写出符合初始条件的函数：

(1) x 2-y 2=C , y x = 0 = 5 ;

(2) y = (C1 +C2 x) e 2x, y x = 0 = 0, y'x = 0 = 1 ;

(3) y =C1 sin (x -C2) , y x== 1, y'x== 0 .

4.写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程：

(1)、、、、

(2)、、、、( x, y) 、、、、、、、、、、

P ( x, y) 、、、、、x 、、、、、

、、、、、、、、

Q、、、、PQ 、y 、、、、

习题7－1（B）

1．在下列各题中，对各已知曲线族（其中C1, C2, C3都是任意常数）求出相应的微分方程：(1) (x -C) 2+y 2= 1 ; (2) xy =C1e x+C2 e -x.

2．用微分方程表示下列物理问题：

(1) 、、、、、、、P 、、、、T 、、、、、、、P、、、、、、、、、、、、、、

(2) 、、、、、、、、、m 、、、、、、、、、、

、、、、、、、、、、

、、、、、、、、、

k1 )、

、、、t、、、、、、、、k1)、

习题7－2（A）

1.求下列微分方程的通解：

(1) xy'-y ln y = 0 ;

(2) 3x2+ 5x - 5 y'= 0 ;

(3) y'-xy'=a ( y2+y') ;

1 - y

2 1 - x 2

x

y 1 - x 2

x =1

(4)

(5)

(6)

dy

= 10 x + y ; dx

y ' =

;

dy = ; dx

(7)

dy = dx 3x 2 - 6x 2 y 2

; y - x 3 y

(8) sec 2 x tan ydx +sec 2 y tan xdy = 0 ;

(9) 3 e x tan ydx + y '(1 - e x ) sec 2 y = 0 ;

(10) (10)

(e x + y - e x ) dx + (e x + y + e y ) dy = 0.

2. 求解下列初值问题：

(1) y ' = e 2x - y , y x = 0 = 0 ;

(2) cos x sin y = cos y cos x dx , dy y x =0

= ; 4 (3) y ' sin x = y ln y ,

y x = = 0 ;

2

(4) (1 + e x ) yy ' = e x , y = 1 .

3. 、、、、、

4. 、、、、、

(2, 3)、、、、、、、、、、 1

、、、、、、、、、、

、、、、、、、、、、 、、、、、、、、、、 、、、、、、、、、、 、、、、、、、、

、、、、、、、、、、

(1, ) 3

、、、

习题 7－2（B ）

1. 、、、、、、、、、、 、、、、、、、、、、

2. 、、、 1 g (、

) 、、、、、、、、、、

、、、、 、、、、、、、、、

10 (cm )、、、、

、、、

60o , 、、、、、、、、

、、、、、、、、、、 0.5 (cm ) 2 、、 、

、、、、、、、

、、、、、、、 t = 10 s ( 、 ) 、、、、、

50 cm / s 、、、、

4 g ⋅ cm / s 2 (、、 )、、、

、、、、、、、、、、 、、、、、、、、 3. 、、、、、、、、、、 、 、、、、、、、、、、

、、

R 、、、 、 、、、、、、、、 、、、 1600、、、、、、、、 R 0 、、、、、、、、、

R 、、、

t 、、、、、、 4. 、、

v 0 = 6 (m / s ) 、

、、、、、、 、 5 、、、、、、、、、、

、、、、、、

、、、、、、、、、、

、、、、、、、

x =1 5. 、、、、、 、、、、、、、、、、 6. 、、、、、 m 、、、、、、、、、、

(2a , b )、、、

、、、、、、、

[a , x ] 、、、、、、、、、、 v 0 、、、、、、、、、、

、、、、、、、、、、

kv (k 、、、

)、、、

、、

y 、

、、、、、 1

、 (m > 1)、、、、、、、、 m

7. 、

y (x ) 、、、、、、、、、、 x

、、、

x

x

⎰

y (x )dx = (x + 1)

⎰

x y (x )dx , 、

y (x ) .

(1)

1. 求下列齐次方程的通解：

xy ' = y (ln y - ln x ) ; 习题 7－3（A ）

(2) xy ' - y -

= 0 ;

(3) (x 2 + y 2 ) dx - xydy = 0 ;

(4) (2 - y ) dx + xdy = 0 ;

(5) x dy = y (1 + ln y - ln x ) dx ; (6)

(2x sh y + x 3y ch y ) dx x - 3x ch y

dy = 0 . x

2. 求解下列初值问题：

(1) (x +

y cos y ) dx

x - x cos y dy = 0 , x

y (1) = 0 ;

(2) y ' = x + y

, y x

y (1) = 2 .

3. 求一曲线方程，使其切线介于坐标轴间的部分被切点等分。

4. 求一曲线方程，使其上任一点处的切线在 y 轴上的截距恰好等于原点 O 到

该点的距离。

习题 7－3（B ）

1． 求下列齐次方程的通解或特解：

(1) (1 - 2 ) y ' = 1 ;

x

x

(2) (1 + 2 e y ) dx + 2 e y

(1 - x

) dy = 0 ; y

(3) ( y 2 - 3x 2 ) dy + 2xydx = 0,

y x = 0 = 1 ;

(4) (x 2 + 2xy - y 2 ) dx + ( y 2 + 2xy - x 2 ) dy = 0,

y = 1 .

y 2 - x 2 xy x

y