线性代数解题方法和技巧

线性代数解题方法和技巧
第一部分
一、行列式的概念 (1) 二阶与三阶行列式的对角线法则 (2)
行列式
n 阶行列式的定义
(3) 余子式、代数余子式的定义 【测试题】四阶行列式中含有 a11a23 的项是__________
二、数字型行列式的计算 计算数字型行列式的常见思路有： (1) 如果在行列式的某一行（列）中，零的个数比较多，可按该行（列）展开； (2) 利用行列式的性质，将行列式某行（列）中尽可能多的元素化为零，然后再按该行（列） 展开（课本 P.18 例 7 的第二种解法） ； (3) 三角形法：利用行列式的性质，将给定的行列式化为上（下）三角形行列式（课本 P.12 例 7、例 8、例 9） ； (4) 递推法或数学归纳法（课本 P.15 例 11，P.18 例 12） ； (5) 利用范德蒙行列式； (6) 利用拉普拉斯定理（同济第五版的线性代数没有介绍该定理，不作为期末考试要求） ． 【测试题】 ： 1．计算下列各行列式（ Dk 为 k 阶行列式）
(A) ⎜ ⎜
⎛ A A* ⎝ O
O ⎞ ⎟； B B* ⎟ ⎠ O ⎞ ⎟； B A* ⎟ ⎠
(B) ⎜ ⎜
⎛ B B* ⎝ O ⎛ B A* ⎝ O
O ⎞ ⎟； A A* ⎟ ⎠ O ⎞ ⎟． A B* ⎟ ⎠
(C) ⎜ ⎜
⎛ A B* ⎝ O
(D) ⎜ ⎜
⎛a b b⎞ ⎜ ⎟ * 4．设 3 阶矩阵 A = b a b ，若 A 的伴随矩阵 A 的秩等于 1 ，则必有__________ ⎜ ⎟ ⎜b b a⎟ ⎝ ⎠
a
(1) Dn =
1 O
，其中对角线上的元素都是 a ，未写出的元素都是 0；
1
a
x a L a a x L a (2) Dn = ； M M M a a L x
-1-
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an
(3) Dn +1 =
(a − 1) n M a −1 1
a n −1 (a − 1) n −1 L (a − n) n −1 M a 1 L L M a−n 1
(A) a = b 或 a + 2b = 0 ； (C) a ≠ b 且 a + 2b = 0 ； (B) a = b 且 a + 2b ≠ 0 ； (D) a ≠ b 且 a + 2b ≠ 0 ．
⎛1 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ * −1 * * −1 5．设 A = 1 2 0 ，对于 A 的伴随矩阵 A ，求 ( A ) 和 ( A ) ． ⎜ ⎟ ⎜1 2 3 ⎟ ⎝ ⎠
An1 ⎞ ⎟ L An 2 ⎟ ， 其中 Aij 为元素 aij 的代数余子式 （ i, j = 1, 2, L , n ） ； M ⎟ ⎟ L Ann ⎠
A* A = AA* = A E ； A* = A
n −1
，故当 A 可逆时， A 也可逆；
−1
*
(4) 若 | A |≠ 0 ，则 A
=
1 * 1 A ， A* = A A−1 ， ( A−1 )* = ( A* ) −1 = A； A A
* * *
(A) A
n −1
A；
(B) A
n +1
A；
(C) A
n−2
A；
(D) A
*
n+2
A．
2 ． 设 A 为 n( n ≥ 3) 阶 矩 阵 ， 对 于 A 的 伴 随 矩 阵 A 和 常 数 k ( k ≠ 0, ±1) ， 必 有
(kA)* = __________
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联系
【测试题】 1．设 A 和 B 均为 n 阶矩阵，k 为正整数，则下列各选项中正确的是__________（可以多选） (A) A + B = A + B ； (C) AB = BA ； (E) ( AB )
−1
(B) AB = BA ； (D) ( A + B ) (F) ( kA)
T
−1
−1
b1 0 0 a4
的值等于__________
(B) a1a2 a3 a4 + b1b2b3b4 ； (D) ( a2 a3 − b2b3 )(a1a4 − b1b4 ) ．
三、抽象型行列式的计算 【测试题】 1．设 α1 , α 2 , α 3 , β1 , β 2 均为 4 维列向量，且已知 4 阶行列式
三、可逆矩阵 1．设 A 为 n 阶（实）方阵，则与“ A 为可逆矩阵”等价的说法有： (1) 存在与 A 同阶的方阵 B ，使得 AB = E （或 BA = E ）成立； (2) A 是非奇异矩阵，即 A ≠ 0 ； (3) A 是满秩矩阵，即 R( A) = n ； (4) A 可以表示为一些初等矩阵的乘积； ； (5) n 元齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解（不存在非零解） (6) A 的列（行）向量组线性无关； (7) A 的列（行）向量组是 R 的一个基； (8) A 的特征值都不等于零； (9) A A 为正定矩阵（不作为期末考试要求） ．
(5) ( A ) = ( A ) ；
T *
* T
⎧n, 当R ( A) = n, ⎪ (6) R ( A ) = ⎨1, 当R ( A) = n − 1, ⎪0, 当R ( A) ≤ n − 2. ⎩
*
【测试题】 1．设 A 为 n( n ≥ 2) 阶可逆矩阵，对于 A 的伴随矩阵 A ，必有 ( A ) = __________
2．设 A 为 m × n 矩阵， B 为 n × m 矩阵，则下列各选项中正确的是__________ (A) 当 m > n 时，必有行列式 AB ≠ 0 ； (C) 当 n > m 时，必有行列式 AB ≠ 0 ； (B) 当 m > n 时，必有行列式 AB = 0 ； (D) 当 n > m 时，必有行列式 AB = 0 ．
(D) A − E = ( A + E )( A − E ) ．
2 2
4．设 A 是 m 阶矩阵， B 是 n 阶矩阵，已知 A = a ， B = b ，若分块矩阵 C = ⎜ 则 C = __________ (A) −3ab ； (B) 3 ab ；
mபைடு நூலகம்
⎛ O 3A ⎞ ⎟， ⎝B O ⎠
(C) ( −1) 3 ab ；
(A) kA ；
*
(B) k
n −1
A* ；
(C) k A ；
* *
n
*
(D) k A ．
−1
*
3 ．设 A 和 B 均为 n( n ≥ 2) 阶矩阵， A , B 分别为 A 和 B 的伴随矩阵，对于分块矩阵
⎛ A O⎞ * C =⎜ ⎟ ， C 的伴随矩阵 C = __________ ⎝O B ⎠
mn m
(D) ( −1)
( m +1) n
3m ab ；
二、伴随矩阵 设 n 阶方阵 A = ( aij ) n×n ，其中 n ≥ 2 ，则对于 A 的伴随矩阵 A 有以下结论：
*
⎛ A11 ⎜ A12 * (1) 定义：A = ⎜ ⎜ M ⎜ ⎝ A1n
(2) (3)
A21 L A22
M A2 n
四、行列式等于零的判定 设 A 为 n 阶方阵，则与“ A = 0 ”等价的说法有： (1) (2) (3) (4)
A 是奇异矩阵； A 是降秩矩阵，即 R( A) < n ；
n 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解；
A 的列（行）向量组中至少存在一个列（行）向量可以由其余 n − 1 个列（行）向量线
3．设 A, B, C 均为 n 阶矩阵， E 为 n 阶单位阵，则下列各选项中正确的是__________
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(A) ( A + B )( A − B ) = A − B ；
2 2
(B) ( AB ) = A B ；
2 2 2
(C) 由 AC = BC 一定可以推出 A = B ；
；
L
( a − n) n
an O
(4) D2 n =
bn N a1 c1 N b1 d1 O dn
，其中未写出的元素都是 0．
cn
3 −5 2 1 1 1 0 −5 ， D 的 (i, j ) 元的余子式和代数余子式依次记作 M ij 和 Aij ，求 2．设 D = −1 3 1 3 2 −4 −1 −3
α1 , α 2 , α 3 , β1 = m ， α1 , α 2 , β 2 , α 3 = n ，
则 4 阶行列式 α 3 , α 2 , α1 , β1 + β 2 = __________ (A) m + n ； (B) −(m + n) ； (C) n − m ； (D) m − n ．
r
−1
=X；
⎛ A⎞ c ⎛ E ⎞ −1 ⎟ ~ ⎜ ⎟ ，则 A = X ； E X ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
需要特别注意的是，在进行初等行变换时，绝对不能同时进行初等列变换 ． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． (3) 特殊分块矩阵的逆矩阵 设 n 阶方阵 A 和 s 阶方阵 B 都可逆，则
T n
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2．求逆矩阵的方法 (1) 伴随矩阵法： A
−1
=
1 * ． A （最适合于 2 阶可逆矩阵） A
设A=⎜
⎛a b⎞ 1 * 1 ⎛ d −b ⎞ −1 A = ⎟ 可逆，则 A = ⎜ ⎟ A ad − bc ⎝ −c a ⎠ ⎝c d⎠
(2) 初等行（列）变换法（适合于 3 阶或更高阶的可逆矩阵） ： y y 若 ( A, E ) ~( E , X ) ，则 A 若⎜
1 −1 * * −1 ，求：(1) (2 A) − 3 A ；(2) (3 A ) − 2 A ． 2
T
4．设 A 为 n 阶（实）矩阵，且满足 A A = En ．如果 A < 0 ，求行列式 A + E 的值． 5．设 4 阶矩阵 A 与 B 相似， A 的特征值为
1 1 1 1 , , , ，求行列式 B −1 − E 的值． 2 3 4 5
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第二部分
一、矩阵的概念及运算
矩阵
1．矩阵的概念（方阵、行矩阵、列矩阵、同型矩阵、零矩阵、单位阵、对角阵、对称阵、 纯量阵、伴随矩阵、可逆矩阵、奇异矩阵、非奇异矩阵、满秩矩阵、降秩矩阵、正交阵等） 2．矩阵的运算 矩阵的加法 矩阵的转置* 数乘矩阵 方阵的幂 矩阵的乘法* 方阵的行列式*
A11 + A12 + A13 + A14 及 M 11 + M 21 + M 31 + M 41 ．
a1 0 0 b4
(A) a1a2 a3 a4 − b1b2b3b4 ； (C) ( a1a2 − b1b2 )( a3 a4 − b3b4 ) ；
3．四阶行列式 D4 =
0 a2 b3 0
0 b2 a3 0
= A−1 + B −1 ；
1 −1 A ； k
= A−1 B −1 = ( A−1 )T ( B −1 )T ；
=
T
(G) [( AB ) ] (I) A + B
T T
T −1
(H) A + B
k
= A+B；
k k
= A+ B ；
(J) ( AB ) = A ⋅ B ．
2．设 A 和 B 均为 n 阶矩阵，且 AB = O ，则下列各选项中正确的是__________ (A) A = O 或 B = O ； (B) A + B = O ； (C) A = 0 或 B = 0 ； (D) A + B = 0 ．
性表示；
(5) (6)
A 的列（行）向量组线性相关； A 至少有一个特征值等于零．
【测试题】 1．设 A 为 n 阶矩阵，且 A = 0 ，则下列各选项中正确的是__________ (A) A 中必有一列（行）的元素全等于零； (B) A 中必有两列（行）的元素对应成比例； (C) A 的列（行）向量组中必有一个列（行）向量可以由其余的列（行）向量线性表示； (D) A 的列（行）向量组中任意一个列（行）向量都可以由其余的列（行）向量线性表示．
说明：重点复习带*号的矩阵运算． 3．行列式与矩阵的区别 行列式 定义 n 个元素排成 n 行 n 列， 按照一定的规则确定一个数值．
2
矩阵 数表 矩阵的运算 （§2.2，§2.3） 用等号
运算 和 性质
行列式的性质 （§1.5） 用等号 方阵的行列式
矩阵的初等变换 （§3.1，§3.2） 用“～”号
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a11
2．若 D = a21
a12 a22 a32
a13 a33
4a11 4a31
2a11 − 3a12 2a21 − 3a22 2a31 − 3a32
a13 a23 = __________ a33
a23 = 1 ，则 D1 = 4a21
a31
3．设 A 为 3 阶矩阵， A =