【猿辅导几何模型】中考必会几何模型：三垂直全等模型

中考必考几何模

型

（猿辅导）

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三垂直全等模型

模型三垂直全等模型

如图：∠ D＝∠ BCA＝∠ E＝ 90°， BC＝ AC. 结

论： Rt△BCD ≌Rt△CAE.

模型分析

说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位，很多利用垂直求角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图支离出来的一部分几何图形去求解 .图

①和图②就是我们经常会见到的两种弦图.

证明：∵ AE⊥DE，AB⊥BC，DC ⊥BC，∴∠AED ＝∠B＝∠C＝90°.

∴∠ A＋∠ AEB ＝∠ AEB＋∠CED＝90 ∴∠ BAE ＝∠ CED.

图① 图②

三垂直图形变形如下

图③、

这也是由弦图演变而

来的

图

④，

D⊥BC AE⊥DE AE＝ DE 求

证：

AB＋ CD ＝

BC.

中

，

BC

A CED

AE ED

∴△ ABE ≌△ ECD.

∴AB＝EC，BE＝CD.

∴AB＋CD＝EC＋ BE＝BC.

例 2 如图，∠ ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于 D，AD＝2.5cm，BE＝0.8cm，则 DE 的长为多少？

解答：∵ BE⊥ CE ，AD ⊥CE，

∴∠ E＝∠ ADC＝ 90°

∴∠ EBC＋∠ BCE ＝90 °

∵∠ BCE＋∠ ACD＝ 90 ∴∠ EBC＝∠ DCA.

在△ CEB 和△ ADC 中，

E ADC

EBC DCA BC AC

∴△ CEB≌△ ADC.

∴ BE＝ DC ＝0.8cm，CE＝AD ＝ 2.5 cm.

∴ DE＝CE－CD＝ 2.5－0.8＝1.7cm.

例 3 如图，在平面直角坐标系中，等腰 Rt△ ABC 有两个顶点在坐标轴上，求第三个顶点的坐标 .

解答：（1）如图③，过点 B 作 BD⊥x 轴于点 D.

∴∠ BCD＋∠ DBC ＝90°.

由等腰 Rt△ ABC 可知， BC＝ AC，∠ ACB＝ 90°，

∴∠ BCD＋∠ ACO＝ 90° ∴∠ DBC ＝∠ ACO.

在△ BCD 和△ CAO 中，

BDC AOC

DBC ACO

BC AC

∴△ BCD ≌△ CAO.

∴ CD＝OA，BD＝ OC.

∵ OA＝ 3，OC＝ 2.

∴ CD＝3，BD ＝2.

∴ OD ＝ 5.

∴B（－ 5，2）.

y

A（0,3）

B

x

D C（-

2,0）

O

图③

2）如图④，过点 A作 AD⊥y 轴于点 D. 在△ ACD 和△ CBO 中，ADC COB

DAC OCB

AC CB

∴△ ACD ≌△ CBO.

∴ CD＝OB，AD＝ CO. ∵B（－ 1，0），C（0

，3）

∴ OB＝ 1，OC＝ 3.

∴ AD＝3，OD ＝2.

∴ OD ＝ 5.

∴A（3，2）.

跟踪练习

1．如图，正方形 ABCD，BE＝CF.求证：（ 1）AE＝BF；（2）AE⊥BF.

A

F

C

证明：

（1）∵四边形 ABCD 是正方形，

∴ AB＝ BD ，∠ ABC＝∠ BCD＝90° 在△ ABE 和△ BCF 中，

AB BC

ABE BCF

BE CF

∴△ ABE≌△ BCF.

∴ AE＝ BF.

（2）∵△ ABE≌△ BCF.

∴∠ BAE＝∠ CBF.

∵∠ ABE＝ 90°，

∴∠ BAE＋∠ AEB＝ 90°.

∴∠ CBF＋∠ AEB＝ 90° .

∴∠ BGE＝ 90°，

∴ AE⊥ BF.

2．直线 l 上有三个正方形 a、 b、c，若 a、c 的面积分别是 5 和 11，则 b 的面积是____________________________________________________________________

解答：∵ a、 b、 c 都是正方形，

∴ AC＝ CD ，∠ ACD ＝90 ° .

∵∠ ACB＋∠ DCE＝∠ ACB＋∠BAC＝ 90 ∴∠ BAC＝∠ DCE.

在△ ABC 和△ CBE 中，

ABC CED

BAC DCE AC CD

∴△ ACB≌△ CDE.

∴ AB＝ CE，BC＝ DE.

在Rt△ABC 中， AC2＝AB2＋BC2＝AB2＋DE2

即 S b ＝ S a ＋ S c＝ 5＋ 11＝16.

3．已知，△ ABC中，∠ BAC＝90°， AB＝ AC，点 P为BC 上一动点（ BP

（1）求证： EF＝CF －BE；

（2）若 P为 BC延长线上一点，其它条件不变，则线段BE、CF、EF是否存在某种确定的

数量关系？画图并直接写出你的结论 .

解答：∵ BE⊥AP，CF⊥ AP，

∴∠ AEB ＝∠ AFC＝90°.

∴∠ FAC＋∠ ACF＝90°，

∵∠ BAC ＝ 90°，

∴∠ BAE ＋∠ FAC ＝ 90°，

∴∠ BAE ＝∠ ACF. 在△ABE 和△CAF 中，

AEB AFC

BAE ACF

AB AC

∴△ ABE ≌△ CAF. ∴AE＝CF，BE＝AF.

∵EF ＝AE－AF，

∴EF ＝CF－BE.

（2）如图， EF＝BE＋CF. 理由：同（ 1）易证△ ABE≌△ CAF. ∴ AE＝ CF，BE＝AF.

∵ EF＝ AE＋ AF，

∴ EF＝ BE ＋ CF.

4．如图，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，设∠ BCD ＝α，以 D 为旋转中心，将腰 DC 绕点 D 逆时针旋转 90°至 DE.

（1）当α＝ 45°时，求△ EAD 的面积；