第三章附加应力

2.在某一水平面上z=const，r=0, α最大，r↑， α减小， σz减小
3.在某一圆柱面上r=const，z=0, σz=0，z↑，σz先增加后减小 4.σz 等值线－应力泡
P
P
0.1P
0.05P
0.02P 0.01P
应力 泡
第三章 地基中的应力
2、等代荷载法 原理：叠加原理 计算公式为：
3 1 5/ 2 2 r 2 1 ( z )
查表3.5.1
r z
竖直集中力作用下的竖向应力系数，它是 的函数
第三章 地基中的应力
P z 2 z
特点
3 1 2 [1 (r / z ) 2 ]5 / 2
1.计算点在作用线上，r=0, α=3/(2π）,z=0, σz→∞，z→∞，σz=0
第三章 地基中的应力
3.5.4 矩形基底在三角形分布垂直荷载作用下地基中的附加应力
dF px dx dy
d z 3 px z
2 2 3 2
y
dP
pt
L
2 x y z


5
dxdy
2
3z z 2
3

A
x
px
2
B
y2 z2

5
dxdy
2
z
M
x
z tc pt
二、基底压力计算
矩形面积中心荷载 矩形面积偏心荷载
总结
P b
P
b
p( x , y )
P Mxy My x A Ix Iy
M x P ey ; M y P ex
x
L
x
ey ex y
L
y
P 6e pmax 1 A b
pP A
当e y 0, ex e P 6e pmax 1 A b min
M
pm
b x z
x
z
M
z pm
s
第三章 地基中的应力
条形基础
矩形基础
相同条件下，矩形荷载引起的附加应力其影响深度要 比条形荷载小的多。
第三章 地基中的应力
侧向应力图 基础下侧向应力主要发生在浅层 基础边缘下的土容易发生剪切破坏
剪切应力图
第三章 地基中的应力
小结
矩形内积分 竖向 集中 力
第三章 地基中的应力
zs zs x b , z b


z p0
s z
查表3.6.1
为条形荷载作用下地基附加应力系数，查表得。 条形荷载作用下地基中的附加应力也可以用极坐标方式表示：
自学
第三章 地基中的应力
均布荷载情况
p0
b/2 b/2 x z
z p0
s z
x
z 三角形荷载情况
—竖直集中荷载作用下 —矩形面积竖直均布荷载作用角点下
(表3.5.1) (表3.5.2) (表3.5.3) (表3.6.1) (表3.6.2)
tc —矩形面积三角形分布荷载作用角点下
—条形面积竖直均布荷载作用时
s —条形面积三角形分布荷载作用时
第三章 地基中的应力
例题：
如图所示有一矩形面积基础长5m，宽3m，三角形分布的荷 载作用下地基表面，荷载最大值p=100KPa。试计算在矩形 面积内O点下深度z=3m处的竖向应力值。
第三章 地基中的应力
o
F
x

R
r
y M(x,y,0) z M(x,y,z)
x
z
zx
y yz
y z
xy
x
x y
z xy yz zx
（u、v、w)
1885年法国学者布 辛涅斯克解
3F Z 3 3F z 5 cos3 2 R 2R 2
第三章 地基中的应力
3F Z 3 3F z 5 cos3 2 R 2R 2
（1）所选计算点不应过于接近集中力作用点。 （2）垂直应力 z 只与荷载F和点的位置有关，而与地基土变 E 形性质无关（ 、 ） （3）公式经过等量代换得：
3F z 3 3F 1 F z 5 2 5/ 2 2 R 2 z 2 z r 2 1 ( z )
表3.6.2
第三章 地基中的应力 圆形面积竖直均布荷载
水平荷载作用下地基中的附加应力 自学
自学
第三章 地基中的应力 一. 水平地基中的自重应力
1.计算公式
竖直向： sz
总结
均质地基
z
sz W A zA A z
K0 1
水平向：
sx
sy K 0 sz
z cⅠ cⅡ p0
第三章 地基中的应力
Ⅱ内点
计算点在荷载面之内
z cⅠ cⅡ cⅢ cⅣ p0
第三章 地基中的应力
Ⅲ外点Ⅰ型 计算点在荷载面边缘外侧
z cⅠ cⅡ cⅢ cⅣ p0
第三章 地基中的应力
dF pn dxdy
d z
2 x y z
2 2

3 p0 z 3
2
p

5
dxdy
2
l b
z
3 p0 z 3 z 2
x

A
x
1
2
y2 z2

5
dxdy
2
M
z
第三章 地基中的应力
利用三角函数的变换可得到：
z c p0
式中：
1 mn 1 m 1 c arctan 2 2 2 2 1 m 2 n 2 m n 1 n n 1 m2 n2
（坐标原点取三角形分布荷载
pt 0 的角点）
z
第三章 地基中的应力
z tc pt
z－地基中的附加应力，
pt －基底的附加压力
tc－为附加应力系数，是
查表3.5.3
m l
，
b
、
n z
b
的函数
y
z c tc pt
ml b
1 1
b l
pt
2
2
nz b
z
z
M
x
第三章 地基中的应力
例题1：
有均布荷载p0=100KPa，荷载面积为2m×1m，求荷载面积上 角点A，边点E，中心点O，以及荷载面积以外F，G各点下 z=1m处的附加应力。利用计算结果说明附加应力的扩散作 用。
第三章 地基中的应力 （1）A点下应力。A点是矩形荷载ABCD的角点，
l/b=2 ,z/b=1
cⅢ 0.0840
zF 2cⅠ cⅢ p0 10.5kpa
（5）G点下应力。通过G点作矩形GADH,GBCH 设矩形GADH的角点附加应力系数为 cⅠ l/b=2.5, z/b=1 cⅠ 0.2016
第三章 地基中的应力
设矩形GBCH的角点附加应力系数为 l/b=2, z/b=2
y
p
为附加应力系数，是m l b 、 n z b 的函数， 可从表中查得。
查表3.5.2
l b
矩形均布荷载基底角点下的应力
z
M
x
z
第三章 地基中的应力 2. 任意点下的垂直附加应力—角点法 思路：在计算方法上添加辅助线的办法，使计算点成为公共角 点； 在理论上应用叠加法。 Ⅰ边点 计算点在基底边缘
第三章 地基中的应力
解：求解时通过两次叠加来计算。第一次是荷载作用面积的 叠加，可利用前面的角点法计算；第二次是荷载分布图形的 叠加。 （1）荷载作用面积的叠加 由于O点位于矩形面积abcd内。通过O点将矩形面积划分 为4块，假定其上作用均布荷载p1。
cⅢ
cⅢ 0.1202
zG cⅠ cⅢ p0 8.1kpa
第三章 地基中的应力
第六节 地基中的附加应力－平面问题的解及其应用
沿长度方向有足够长度， L/B≧10； 垂直于y轴切出的任意断 面的几何形状均相同，其 地基内的应力状态也相同； 平面应变条件下，土体在 x, z平面内可以变形，但在 y方向没有变形。
成层地基
竖直向： sz 水平向： sx
i H i sz 1H1 2 H 2 3 H 3 ;
sy K 0sz K 0 i Hi
γ1
H1
Z γ2 H 2
γ3
H3
容重：地下水位以上用天然容重γ 地下水位以下用浮容重γ’
第三章 地基中的应力
F z M zi i 2 z i 1 i 1
方法适用条件
R/b 3
R -集中力作用点至计算点的距离
n
n
b-为小块的短边尺寸
第三章 地基中的应力
3.5.3、矩形基底均布荷载作用下地基中的附加应力 1、矩形均布荷载基底角点下的应力
dF p0 dx dy
y
z
F z2
z c p0
表3.5.2
矩形面积竖直均布荷载
z tc pt
表3.5.3
矩形面积竖直三角形荷载 线积分
2 pz3 z R04
竖直线荷载
宽度内积分 条形面积竖直均布荷载 条形面积竖直三角形荷载
表3.5.1
z p0
s z
表3.6.1
z s pm
第三章 地基中的应力
地ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ中的附加应力
第三章 地基中的应力
地基中附加应力的计算
竖直 集中力 矩形面积竖直均布荷载
矩形面积竖直三角形荷载
竖直线荷载 条形面积竖直均布荷载
条形面积三角形荷载
水平 集中力 矩形面积水平均布荷载
特殊面积、特殊荷载
第三章 地基中的应力
第五节、地基中的附加应力－空间问题的解及其应用
pmin
P 6e 1 A b
P 6e pmax 1 A b min
第三章 地基中的应力
矩形面积单向偏心荷载
总结
土不能承 受拉应力
P b e x y
p max
e<b/6: 形
P
b e
P
b
压力调整
K e
L
x y
L
x
L
K=B/2-e
3K y pmin 0
Ⅳ外点Ⅱ型 计算点在荷载面角点外侧
z cⅠ cⅡ cⅢ cⅣ p0
第三章 地基中的应力
应用角点法的3个关键点： 划分的每一个矩形都要有一个角点是 M '点。 所有划分的矩形面积总和应等于原受荷面积。 划分后的每一个矩形面积，短边 b 都用表示，长边 l 用表示。
zO 4c p0 4 0.1202100 48.1kpa
第三章 地基中的应力 （4）F点下应力。通过F点作矩形FGAJ,FJDH,FGBK,FKCH
设矩形FGAJ,FJDH的角点附加应力系数为 l/b=5, z/b=2 设矩形FGBK,FKCH的角点附加应力系数为 cⅢ l/b=1, z/b=2
pmin 0
pmax
基底 压力 合力 与总 荷载 相等
pmin 0
梯
p max p max
e=b/6: 三角 形
2P 2P 3KL 3(b 2 e) L
e>b/6: 出现拉应力 区
第三章 地基中的应力
总结
z p
F 底面形状、荷载分布、 计算点位置
c
sz
3.5.1、附加应力的扩散作用
附加应力：建筑物荷载在地基中产生的应力 1.距地面愈深，应力分布范围愈广， 在同一垂直线上的应力随深度变化， 愈深应力愈小。 2.在地面下某一深度的水平面上各点 的附加应力不相等，在集中力作用线 上应力最大，向两侧逐渐减小。
第三章 地基中的应力
附加应力的计算方法是根据弹性理论推导出来的，即符合 以下几点假定： 1.地基是半无限弹性体 2.地基土是均匀、连续、各向同性的 3.5.2、布森涅斯克解 1、布森涅斯克解 竖向集中力作用下地基附加应力
zA c p0 0.1999100 20kpa
（2）E点下应力。通过E点将矩形荷载分为2个相等矩形 EADI和EBCI, l/b=1 ,z/b=1
zE 2c p0 2 0.1752100 35kpa
（3）E点下应力。通过O点将矩形荷载分为4个相等矩形 OEAJ,OJDI,OICK,OKBE l/b=2 ,z/b=2
o
x
y
z
第三章 地基中的应力
3.6.1 费拉曼解及其应用
竖直线荷载作用下的地基附加应力 线荷载：作用于半无限空间表面宽度趋近于零沿无限长直线
均布的荷载。
思路：
dF pdy
3z 3 p d z 2 x 2 y 2 z 2


5
dy
2
3z 3 z 2



x
pdy
2
y z
2
2

5
2
2 pz3 R04
公式纯是理论公式，是用来为条形荷载作用下附加应力 求解提供理论依据。
第三章 地基中的应力
3.6.2 条形基础均布荷载作用下地基中的附加应力 思路：
dq pd
2 z 3 dp 2 z 3 p d z d 4 4 R0 R0
b 2 z3 p s z 2 d z p0 b 4 R0 2