2017年高考数学理试题分类汇编：数列

(2017年新课标Ⅰ) 4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为

A ．1

B ．2

C ．4

D ．8

【答案】C

【解析】设公差为d ，则有11

2724

,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =，故选C.

( 2017年新课标Ⅱ卷理) 3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）

A ．1盏

B ．3盏

C ．5盏

D ．9盏 【答案】B

【解析】塔的顶层共有灯x 盏，则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列，由

()71238112

x -=-可得3x =，故选B 。

( 2017年新课标Ⅱ卷理) 15.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11

n

k k

S ==∑ ． 【答案】

21

n

n + 【解析】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，所以1123

434102

a d a d +=⎧⎪

⎨⨯+=⎪⎩ ，解得111a d =⎧⎨=⎩ ，所以()1,2n n

n n a n S +==，那么

()121

1211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭

，那么 11111111221......21223111n

k k n S n n n n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛

⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢

⎥+++⎝⎭⎝⎭

⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑ . 14．(2017年新课标Ⅲ卷理)设等比数列{}n a 满足a 1 + a 2 = –1, a 1 – a 3 = –3，则a 4 = ___________． 【答案】8-

【解析】由题意可得：()()12

11113

a q a q ⎧+=-⎪⎨-=-⎪⎩ ，解得：112a q =⎧⎨=-⎩ ，则3

418a a q ==- (2017年新课标Ⅲ卷理) 9．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为 A ．-24 B ．-3 C ．3 D ．8

【答案】A

【解析】设等差数列的公差为0d ≠，()()()2

232612115a a a d d d =⋅⇒+=++，22d d =-，()0d ≠，所以2d =-，

()665

612242

S ⨯=⨯+

⨯-=-，故选A.

(2017年浙江卷) 6．已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

【答案】 C

17. ( 2017年新课标Ⅱ文)

已知等差数列{a n }的前n 项和为Sn ，等比数列{b n }的前n 项和为Tn ，a 1=-1，b1=1，a3+b2=2. （1） 若a3+b2=5，求{b n }的通项公式； （2） 若T=21，求S 1

17.解：设

的公差为d ，

的公比为q ，则

,

.由

得d+q=3. ①

（1） 由

得

②

联立①和②解得（舍去），因此的通项公式

（2） 由得.解得 当

时，由①得

，则

.当

时，由①得

，则

.

(2017年新课标Ⅰ) 12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推

出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，学科*网其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A ．440

B ．330

C ．220

D ．110

【答案】A

【解析】由题意得，数列如下：

1

1,

1,2,1,2,4,1,2,4,

,2k

-

则该数列的前(1)

122k k k ++++=

项和为 1(1)1(12)(122)222k k k k S k ++⎛⎫=++++++

+=-- ⎪⎝⎭

要使

(1)

1002

k k +>，有14k ≥，此时122k k ++<，所以2k +是之后的等比数列11,2,,2k +的部分和，即

1212221t t k -+=++

+=-，

所以2314t k =-≥，则5t ≥，此时5

2329k =-=， 对应满足的最小条件为2930

54402

N ⨯=

+=，故选A. (2017年新课标Ⅰ文) 17． 记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=-6.

（1）求{}n a 的通项公式；

（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列。

17.（12分）【解析】（1）设{}n a 的公比为q .由题设可得12

1(1)2

(1)6

a q a q q +=⎧⎨++=-⎩ ，解得2q =-，12a =-. 故{}n a 的通项公式为(2)n

n a =-.

（2）由（1）可得1

1(1)22()133

1n n n n a q S q +-==--+-. 由于321

2142222()2[()]23133

13n n n n n n n n S S S +++++-+=--++=-=-， 故1n S +，n S ，2n S +成等差数列.

(2017年北京卷理) （10）若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=b 1=–1，a 4=b 4=8，则

2

2

a b =_______. 【答案】1

【解析】

3

2213

1383,21

1(2)

a d q d q

b -+-+=-=⇒==-⇒==-⨯-

(2017年北京卷理) （20）设{}n a 和{}n b 是两个等差数列，记

1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅-(1,2,3,)n =⋅⋅⋅，

其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,s x x x ⋅⋅⋅这s 个数中最大的数．

（Ⅰ）若n a n =，21n b n =-，求123,,c c c 的值，并证明{}n c 是等差数列； （Ⅱ）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m ≥时，

n

c M n

>；或者存在正整数m ，使得12,,,m m m c c c ++⋅⋅⋅是等差数列． 【答案】

（Ⅰ）当n 1≥时，111211223112233=max{}=max{0}=0

=max{-22}=max{-1-1}=-1=max{333}=max{-2-3-}=-2

c b a c b a b a c b a b a b a -----，，

，，，，4

所以，对于*n N ∀∈且n 2≥，都有11n c b a n =-，只需比较11b a n -与其他项的大小比较