2017年高考数学理试题分类汇编：数列

(2017年新课标Ⅰ) 4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
【答案】C
【解析】设公差为d ，则有11
2724
,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =，故选C.
( 2017年新课标Ⅱ卷理) 3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）
A ．1盏
B ．3盏
C ．5盏
D ．9盏 【答案】B
【解析】塔的顶层共有灯x 盏，则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列，由
()71238112
x -=-可得3x =，故选B 。

( 2017年新课标Ⅱ卷理) 15.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11
n
k k
S ==∑ ． 【答案】
21
n
n + 【解析】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，所以1123
434102
a d a d +=⎧⎪
⎨⨯+=⎪⎩ ，解得111a d =⎧⎨=⎩ ，所以()1,2n n
n n a n S +==，那么
()121
1211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭
，那么 11111111221......21223111n
k k n S n n n n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢
⎥+++⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑ . 14．(2017年新课标Ⅲ卷理)设等比数列{}n a 满足a 1 + a 2 = –1, a 1 – a 3 = –3，则a 4 = ___________． 【答案】8-
【解析】由题意可得：()()12
11113
a q a q ⎧+=-⎪⎨-=-⎪⎩ ，解得：112a q =⎧⎨=-⎩ ，则3
418a a q ==- (2017年新课标Ⅲ卷理) 9．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为 A ．-24 B ．-3 C ．3 D ．8
【答案】A
【解析】设等差数列的公差为0d ≠，()()()2
232612115a a a d d d =⋅⇒+=++，22d d =-，()0d ≠，所以2d =-，
()665
612242
S ⨯=⨯+
⨯-=-，故选A.
(2017年浙江卷) 6．已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】 C
17. ( 2017年新课标Ⅱ文)
已知等差数列{a n }的前n 项和为Sn ，等比数列{b n }的前n 项和为Tn ，a 1=-1，b1=1，a3+b2=2. （1） 若a3+b2=5，求{b n }的通项公式； （2） 若T=21，求S 1
17.解：设
的公差为d ，
的公比为q ，则
,
.由
得d+q=3. ①
（1） 由
得
②
联立①和②解得（舍去），因此的通项公式
（2） 由得.解得 当
时，由①得
，则
.当
时，由①得
，则
.
(2017年新课标Ⅰ) 12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推
出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，学科*网其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A ．440
B ．330
C ．220
D ．110
【答案】A
【解析】由题意得，数列如下：
1
1,
1,2,1,2,4,1,2,4,
,2k
-
则该数列的前(1)
122k k k ++++=
项和为 1(1)1(12)(122)222k k k k S k ++⎛⎫=++++++
+=-- ⎪⎝⎭
要使
(1)
1002
k k +>，有14k ≥，此时122k k ++<，所以2k +是之后的等比数列11,2,,2k +的部分和，即
1212221t t k -+=++
+=-，
所以2314t k =-≥，则5t ≥，此时5
2329k =-=， 对应满足的最小条件为2930
54402
N ⨯=
+=，故选A. (2017年新课标Ⅰ文) 17． 记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=-6.
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列。

17.（12分）【解析】（1）设{}n a 的公比为q .由题设可得12
1(1)2
(1)6
a q a q q +=⎧⎨++=-⎩ ，解得2q =-，12a =-. 故{}n a 的通项公式为(2)n
n a =-.
（2）由（1）可得1
1(1)22()133
1n n n n a q S q +-==--+-. 由于321
2142222()2[()]23133
13n n n n n n n n S S S +++++-+=--++=-=-， 故1n S +，n S ，2n S +成等差数列.
(2017年北京卷理) （10）若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=b 1=–1，a 4=b 4=8，则
2
2
a b =_______. 【答案】1
【解析】
3
2213
1383,21
1(2)
a d q d q
b -+-+=-=⇒==-⇒==-⨯-
(2017年北京卷理) （20）设{}n a 和{}n b 是两个等差数列，记
1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅-(1,2,3,)n =⋅⋅⋅，
其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,s x x x ⋅⋅⋅这s 个数中最大的数．
（Ⅰ）若n a n =，21n b n =-，求123,,c c c 的值，并证明{}n c 是等差数列； （Ⅱ）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m ≥时，
n
c M n
>；或者存在正整数m ，使得12,,,m m m c c c ++⋅⋅⋅是等差数列． 【答案】
（Ⅰ）当n 1≥时，111211223112233=max{}=max{0}=0
=max{-22}=max{-1-1}=-1=max{333}=max{-2-3-}=-2
c b a c b a b a c b a b a b a -----，，
，，，，4
所以，对于*n N ∀∈且n 2≥，都有11n c b a n =-，只需比较11b a n -与其他项的大小比较
当*k N ∈且1<k<n 时， 11()()k k b a n b a n ---
=[]k 1n -+<（2-1）-nk （1-k ）n+2(k-1)= （k-1）(2-n) 因为k-1>0,且2-n<0, 所以11k k b a n b a n -≤- 所以 对于*n N ∀∈且n 2≥11n c b a n =-=1-n 所以 -1=-1n n c c -n 2≥ 又21=-1c c - 所以
{}
n c 是以首项1=0c d=-1为公差的等差数列。

（Ⅱ） （1）设
{}
n a 、
{}
n b 的公差为12d ,d ， 对于1122,,,n n b a n b a n b a n --⋅⋅⋅-
其中任意项i i b a n -（*i N ∈,1<i<n ）
[][]i 1211=b (i 1)d a (i 1)d i b a n n -+--+-
1121=+i b a n -（）（-1）(d -d n)
①若()()()21120,则10≤--=-≤i i d b -a n b a n i d
则对于给定的正整数n ，11-n C =b a n 此时1+1-=-n n C C a ，故数列{}n C 为等差数列
②若()()()22＞0,则0---=-≤i i n n d b a n b a n i n d 则对于给定正整数n ，1=--n n n n C =b a n b a n 此时1+21-=-n n C C d a ，∴数列{}n C 为等差数列
(3)若此时
为一个关于n 的一次函数，
故必存在
，当n ≥S ，
则当n ≥S 时，
因此当n ≥S 时，
此时，
令
,
,
下证：对任意正数M ，存在,学%科%网当n ≥m 时
①
取取
([x ]取不大于x 的整数)
n ≥m 时，
=A ()+B ＞A
成立 ②若C ＜0，取
当n ≥m 时，
成立
综上，对任意正整数M 存在，当n ≥m 时
命题得证.
9．(2017年江苏卷)等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项和为n S ，已知36763
44
S S ==,，则8a = ▲ ．
【解析】当1q =时，显然不符合题意；
当1q ≠时，316
1(1)7
14(1)6314a q q a q q
⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=
⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=. 19.(2017年江苏卷)
对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足：1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++
++2n ka =对任意正整数()
n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”． （1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；
（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列．19. 【解析】 （1）因为{}n a 是等差数列，所以，当4n ≥时，332222n n n n n n a a a ,a a a ,-+-++=+=
112n n n a a a -++=，以上三式相加，得321123+++6n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=
因此，{}n a 是()3P 数列
17. ( 2017年全国Ⅲ卷文)设数列{}n a 满足()123+212n a a n a n ++-=… （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列21n a n ⎧⎫
⎨⎬+⎩⎭
的前n 项和； 【答案】
【解析】（1）当=1n 时，12
a = (1)
当2n ≥时，由()123+212n a a n a n ++-=...① (2)
()()12-13+232-1n a a n a n ++-=...②. (3)
① -②得()212
n n a -= (4)
即()2
221
n a n n =
≥- 验证12a =符合上式 所以()2
21n a n N n *=
∈- (6)
（2）
()()211
2121212121
n a n n n n n ==-
+-+-+ (8)
111
11111211335
232121212121n n
S n n n n n n =-+-+
+
-+-=-=
---+++ (12)
（19）（本小题满分12分）
已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2 （Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；
（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)…P n+1(x n+1, n+1)得到折线P 1 P 2…P n+1，学.科网求由该折线与直线y =0，x =x i （x {x n }）所围成的区域的面积n T .
【答案】(I)1
2.n n x -=（II ）(21)21
.2
n n n T -⨯+=
【解析】解：(I)设数列{}n x 的公比为q ，由已知q>0.
由题意得1121132
x x q x q x q +=⎧⎨-=⎩，所以2
3520q q --=，
因为q>0,所以12,1q x ==，
因此数列{}n x 的通项公式为1
2.n n x -=
①-②得
121
1
32(22 (2)
)(21)2
n n n T n ----=⨯++++-+⨯=1132(12)
(21)2.212
n n n ---+
-+⨯- 所以(21)21
.2
n n n T -⨯+=
（19）(2017年山东卷文)
已知{}n a 是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）{}n b 为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和n T . 【答案】（Ⅰ）2n
n a =；（Ⅱ）25
52n n
n T +=-
两式相减得2
1113111212
22222n n n n T -++⎛⎫=
++++
- ⎪⎝⎭所以25
52n
n
n T +=-. 18. (2017年天津卷理)
已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n *
∈N ，{}n b 是学 科.网首项为2的等比数列，且公比大于0，
2312b b +=,3412b a a =-，11411S b =.
（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）求数列221{}n n a b -的前n 项和()n *
∈N .
【答案】 （1）32n a n =-.2n
n b =.（2）1328
433
n n n T +-=
⨯+. 【解析】（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .
由262n a n =-，12124n n b --=⨯，有221(31)4n
n n a b n -=-⨯， 故23
245484(31)4n n T n =⨯+⨯+⨯+
+-⨯，
23414245484(34)4(31)4n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+
+-⨯+-⨯，
上述两式相减，得23
1324343434(31)4n n n T n +-=⨯+⨯+⨯+
+⨯--⨯
1
112(14)4(31)414
(32)48.
n n n n n ++⨯-=---⨯-=--⨯- 得1328
433
n n n T +-=
⨯+. 所以，数列221{}n n a b -的前n 项和为1328
433
n n +-⨯+. （18）(2017年天津卷文)
已知{}n a 为等差数列，前n 项和为*
()n S n ∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，
2334111412,2,11b b b a a S b +==-=．
（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）求数列2{}n n a b 的前n 项和*
()n ∈N ．
【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．
由已知2312b b +=，得21()12b q q +=，而12b =，所以2
60q q +-=． 又因为0q >，解得2q =，所以2n
n b =．
由3412b a a =-，可得138d a -=①；由11411S b =，可得1516a d +=②， 联立①②，解得11,3a d ==，由此可得32n a n =-．
所以，{}n a 的通项公式为32n a n =-，{}n b 的通项公式为2n
n b =．
22．(2017年浙江卷)已知数列{x n }满足：x 1=1，x n =x n +1+ln(1+x n +1)（n ∈N*）.
证明：当n ∈N*时，（Ⅰ）0＜x n +1＜x n ；（Ⅱ）2x n +1− x n ≤
12n n x x +；（Ⅲ）112
n +≤x n ≤21
2n +.。