直线与圆的位置关系复习教案

直线和圆的位置关系复习课教案
教学目标：
1.通过复习，巩固和掌握直线和圆的位置关系的判断方法及切线的判断和性质，并灵活运用所学知识解决实践问题.
2.通过解答涉及直线与圆的有关问题，让学生经历观察、猜想、证明的过程；了解、认识常规证明的分析方法和一些常规辅助线的添法；了解开放探究性、运动型问题的基本分析思路；通过复习培养学生综合运用知识的能力.
教学重点：直线和圆的位置关系的判断方法及切线的判断和性质的运用.
教学难点：运用直线和圆位置关系判断方法及切线的判断和性质的解题技巧.
教法及学法指导：
本节课主要采用导学案题组复习，在教学过程中先通过互查反馈题组，回忆复习本节课的内容，然后由“题组训练——构建知识框架——基础训练——错题警示—考题再现——拓展应用—检测达标”的方式完成本节课的教学，本着先易后难，循序渐进的原则，通过小题组练习、考题再现、拓展应用层层推进，学生通过自主学习，动脑、动手、动口，展开小组合作和互动式学习，让学生真正成为课堂的主人。

课前准备:
老师：导学案、多媒体课件
学生：导学案、练习本、课本（九年级下册）
教学过程：
一﹑导入复习 明确考试要求
师：同学们，直线和圆的位置关系是初中数学的重要内容，在中考中经常和垂径定理、勾股定理、扇形阴影面积等内容相联系，我们今天就来复习直线和圆的位置关系（板书课题）.首先请同学们了解一下中考对这部分内容的要求：
1.了解直线与圆的位置关系及切线的概念.
2.掌握切线的性质与判定，并能综合运用解决有关证明计算.
3.了解三角形的内心.
预计2013年会在选择题中考查与圆有关的位置关系的试题，带有一定的开放性，在解答题中仍以证明切线及求线段的长为重点.
设计意图：直接导入，了解中考要求及题型，为复习直线与圆的位置关系作好准备。

师：拿出导学案，完成题组一，并说明考查的主要知识点。

题组一：自主完成 互查反馈 1.如图，直线AB 与⊙O 相切于点A ，⊙O 的半径为2，若∠OBA = 30°，则OB 的长为 .
2.已知Rt △ABC 的斜边AB =6cm ,直角边AC =3cm ,以点C 为圆心，半径分别为２cm 和4cm 画两个圆，这两个圆与AB 位置关系是 ；当半径为 cm 时，AB 与⊙C 相切。

3.（2012•江苏扬州）如图，P A 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B 两点，点C 在⊙O 上，如果ACB ＝70°，那么∠P 的度数是 ．
4.如图，PA 是⊙O 的切线，切点为A,PA ＝32,∠APO ＝30°，则O ⊙的半径长为 ．
第1题 第3题 第4题
设计意图：通过自主练习与小组合作及时纠错、讲解、补充解决问题过程，让学生回顾直线与圆的相关知识。

教师引导学生找出解题的思路和方法，并对学生的解答给予及时评价，同时让学生回顾运用到的相关知识，为下面构架知识框架和解决直线圆的问题奠定基础。

二、师生互动，构建知识网络结构：
师：以上同学们完成的很好，那么你能尝试着说出直线与圆的知识点之间的知识结构吗？
学生复习课本P 123-P 130，结合刚才的习题，师生互动，回顾主要知识点，构建知识框架 （利用PPT 展示）：
相离<=>d>r
切线的性质
直线与圆的位置关系 相切<=> d=r 切线的判定
切线的作图：三角形的内切圆
相交 <=> d<r
设计意图：在学生充分思考、交流基础上，引导学生通过梳理本节的知识框架，让学生体会知识之间的发展脉络与内在联系，帮助学生系统地掌握知识，从而更好的从整体把握这部分内容，也为后面的题组训练打好基础.
三、题组训练，夯实基础
题组二：小组互查反馈展示，教师巡视指导点拨.
1.（2012•江西）如图,AC 经过⊙O 的圆心O ,AB 与⊙O 相切于点B ,若∠A =50°,则∠C = 度.
2. ABC △中，10cm 8cm 6cm AB AC BC ===，，，以点B 为圆心、6cm 为半径作B ⊙，则边AC 所在的直线与B ⊙的位置关系是 ．
3.（2012•海南省）如图，∠APB =300
，圆心在边PB 上的⊙O 半径为1cm ，OP =3cm ，若⊙O 沿BP 方向移动，当⊙O 与P A 相切时，圆心O 移动的距离为 cm .
4.（2012•三明）如图，AB 是⊙O 的切线，切点为A ，OA =1，∠AOB =60°，则图中阴影部分的面积是 .
直线和圆的 位置关系
相交 相切 相离 公共点个数 2 1 0
公共点名称 交点 切点 －
直线名称 割线 切线 －
图形
圆心到直线距离d 与半径r 的d>r d=r d<r
第1题第3题第4题
设计意图：本题组是基础题目，面向全体全体学生，通过小组合作交流、互查反馈、教师点拨等手段，让每位学生体会成功的成就感和小组合作的重要性，借助该题组，教师指导学生正确的解答，明确辅助线的添加，体会数形结合思想，为后续解题奠定基础.
题组三：错题警示
学生自主尝试完成，交流互查，并全班展示.
教师引导学生正确理解题意，画出图形，借助图形分析求解.
1.不能正确理解题意或数形结合而出错
（1）（2012•兰州）已知：⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP=x，则x的取值范围是．
图1 错解：－≤x≤．
剖析：错解的原因是对线段OP的长理解不透，对应OP的长应为非负数，要满足过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，，容易知道直线与圆相切时有一个公共点，从此时开始向左移到与O重合的的过
程中满足有公共点，故0＜x≤.
变式1：如果设P(x，0)，x的取值范围是多少呢．（生探讨回答：－≤x≤．）
变式2：（2012•北海）如图1，等边△ABC的周长为6π，半径是1的⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，则⊙O自转了（）
A.2周
B.3周
C.4周
D.5周
解：圆在三边运动自转周数：=3，
圆绕过三角形外角时，共自转了三角形外角和的度数：360°，即一周；
可见，⊙O自转了3+1=4周．
故选C．
设计意图：主要考查直线与圆的位置关系、圆的旋转等，关键是正确理解题意，数与形相结合，正确的的画出图形是解题的关键，使学生明确运用数形结合手段，直观形象地分析数学问题，是一种重要的解题方法，这样才会避免盲目解题或受定势作用，造成失误.
2.直线与圆中的分类讨论
（2）（2012•江苏无锡）已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2，则直线l与⊙O的位置关系是( D )
A. 相切
B.相离
C.相离或相切D．相切或相交
点拨：根据直线与圆的位置关系来判定：①相交：d＜r；②相切：d=r；③相离：d＞r（d为直线与圆的距离，r为圆的半径）.因此，分OP垂直于直线l，OP不垂直直线l两种情况讨论：当OP垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d=2=r，⊙O与l相切；
当OP不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d=2＜r，⊙O与直线l相交.
故直线l与⊙O的位置关系是相切或相交.故选D.
变式：已知⊙O的半径长为3，点P是直线l上一点，OP长为5，则直线l与⊙O的位置关系是（）
A.相交
B. 相切
C.相离
D.相交、相离、相切都有可能
设计意图：直线与圆位置关系的考题，应做到分类讨论，不能盲目套用d=r和d>r，明确这里的d是圆心到直线的距离，是一条垂线段.
四.考题再现、归类示例
教师引导学生完成导学案上“考题再现”的题目，并巡视指导，并及时给予学生必要的指导与帮扶.学生自主完成，思考后有困难合作完成，并及时交流归纳解题思路和方法。

考点1 直线和圆的位置关系
考查形式：主要以交点的个数或利用d与r的大小关系，来考查直线与圆的位置关系，多以选择、填空形式出现。

（1）（2012•湖南衡阳）已知⊙O的直径等于12cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的交点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
分析：首先求得该圆的半径，再根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行分析判断．若d＜r，则直线与圆相交，直线与圆相交有两个交点；若d=r，则直线于圆相切，直线与圆相交有一个交点；若d ＞r，则直线与圆相离，直线与圆相交没有交点：根据题意，得该圆的半径是6cm，即大于圆心到直线的距离5cm，则直线和圆相交，故直线l与⊙O的交点个数为2.故选C.
考点2 圆的切线性质与判定
考查形式：主要考查圆的切线的性质与判定以及综合运用，在填空、选择、解答题中经常出现，解决此类问题是常常需要连接半径或作垂线，构造直角三角形，运用垂径定理、勾股定理等解决问题。

1.切线的性质：
（2）（2009•泸州）如图2，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，
若大圆半径为10cm，小圆半径为6cm，则弦AB的长为．
图2 图3 图4
变式1：（2011•梅州）如图3，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若AB 的长为8cm,则图中阴影部分的面积为cm2．
变式2：（2012．兰州）如图4，两个同心圆，大圆半径为5cm，小圆的半径为3cm，若大圆的弦AB与小圆相交，则弦AB的取值范围是．
设计意图：圆的切线性质与判定采取有性质到判定，再到综合利用，先易后难，低台阶小步子，循序渐进，适合我校学情。

第（2）题及变式训练题，除了会做之外，提醒学生填空题的答案是唯一的，填写要做到准确无误，特别注意填空题的单位与括号的使用，以免失分。

2.切线的判定
（3）如图，已知∠AOB=30°，M为OB边上一点，以M为圆心、2 cm为半径作⊙M．若点M在OB边上运动，则当OM=cm时，⊙M 与OA相切．
3.切线的性质与判定的综合应用
例1 （2012•遵义）如图，△OAC中，以O为圆心，OA为半径作⊙O，作OB⊥OC交⊙O于B，垂足为O，连接AB交OC于点D，∠CAD=∠CDA．
（1）判断AC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若OA=5，OD=1，求线段AC的长．
解：（1）线段AC是⊙O的切线；
理由如下：∵∠CAD=∠CDA（已知），∠BDO=∠CDA（对顶角相等），
∴∠BDO=∠CAD（等量代换）；
又∵OA=OB（⊙O的半径），
∴∠B=∠OAB（等边对等角）；
∵OB⊥OC（已知），
∴∠B+∠BDO=∠OAB+∠CAD=90°，即∠OAC=90°，
∴线段AC是⊙O的切线；
（2）设AC=x．
∵∠CAD=∠CDA（已知），
∴DC=AC=x（等角对等边）；
∵OA=5，OD=1，
∴OC=OD+DC=1+x；
∵由（1）知，AC是⊙O的切线，
∴在Rt△OAC中，根据勾股定理得，
OC2=AC2+OA2，即
（1+x）2=x2+52，
解得x=12，即AC=12．
师：这题证明是切线采用了“过交点，连半径，证垂直”的思路，关键是知道点A在圆上，要是不知道该点在圆上我们该如何证明呢？我们一起看下一题的证明思路。

变式：(2012•莱芜)如图，在菱形ABCD中，AB＝23，∠A＝60º，以点D为
圆心的⊙D与边AB相切于点E．
(1)求证：⊙D与边BC也相切；（说明如何添加辅助线及证明思路）
(2)设⊙D与BD相交于点H，与边CD相交于点F，连接HF，求图中阴
影部分的面积(结果保留π)；
(3)⊙D上一动点M从点F出发，按逆时针方向运动半周，当S△HDF＝3S△MDF时，求动点M经
过的弧长(结果保留π)．
设计意图：通过变式训练学习，有利于学生系统掌握圆的切线证明思路，明确要具体问题具体分析，主要包含有2个方面的类型即：欲证直线与圆相切，常规思路是“过交点，连半径，证垂直”；若待证直线与圆未指明有交点时，则可过圆心作该线的垂线，只证明垂线段为半径即可；若已知切线时，往往连接圆心与切点，可得圆心与切点的连线垂直于切线，从而利用该结论解决问题。

考点3 三角形的内心
例2如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，则∠BOC= ．
变式：点O是△ABC的外接圆的圆心，若∠BOC=110°，则∠BAC= ．
设计意图：通过变式训练，更好地掌握三角形的内心与外心的区别，培养良
好的思维习惯和应变能力.
五、应用拓展与探究：
教师继续引导学生完成导学案上“应用拓展”的题目，并由学生板演讲解，不足之处小组代表订正，教师做必要的指导，以规范解题步骤格式，养成良好的书写习惯。

例3（2012•聊城）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC=10，BC=12，P是上的一个动点，过点P
作BC的平行线交AB的延长线于点D．
（1）当点P在什么位置时，DP是⊙O的切线？请说明理由；
（2）当DP为⊙O的切线时，求线段DP的长．
解：（1）当点P是的中点时，DP是⊙O的切线．理由如下：
∵AB=AC，
∴=，
又∵=，
∴=，
∴P A是○O的直径，
∵=，
∴∠1=∠2，
又AB=AC，
∴P A⊥BC，
又∵DP∥BC，
∴DP⊥P A，
∴DP是⊙O的切线．
（2）连接OB，设P A交BC于点E．
由垂径定理，得BE=BC=6，
在Rt△ABE中，由勾股定理，得：
AE===8，
设⊙O的半径为r，则OE=8﹣r，
在Rt△OBE中，由勾股定理，得：
r2=62+（8﹣r）2，
解得r=，
∵DP∥BC，∴∠ABE=∠D，
又∵∠1=∠1，
∴△ABE∽△ADP，
∴=，即=，
解得：DP=．
设计意图：通过做中考真题，让学生亲身体会中考热点和命题趋势，进一步把握复习重点.通过该题的训练，提高学生综合运用切线的性质与判定的能力，提高学生综合分析问题解决问题的能力，做到举一反三、触类旁通.
六、课堂小结:
今天我们复习了直线与圆的哪些知识？你都掌握了哪些数学知识，运用了哪些数学思想方法？你还有什么疑难问题吗？请你先想一想，再小组间说一说.
（学生口答展示、小组代表补充完成，教师利用PPT展示）
切线的证切线证明规律总结及常见的辅助线：
1.若证切线，有两条思路：
①直线上的点不知是否在圆上的，则过圆心作该直线的垂线段，根据定义证明垂线段等于半径；（作垂直，证明等）
②已知直线上的点在圆上，则连结圆心和这一点作半径，根据切线的判定定理证明这条半径垂直已知直线.（作半径，证垂直）
2.应用切线性质时，有切线则常连结过切点的半径；若不知切点，则过圆心作切线的垂线，则垂足为切点.
3.运用的数学思想：分类讨论、数形结合等
七、达标检测：
A 组（必做题）
一、选择题：
1. PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PO 交⊙O 于点B ，PA =3，OA =4，则cos ∠APO 的值为（ ） （A ）34 （B ）35 （C ）45 （D ） 43
2.在平面直角坐标系中，以点（2 , l ）为圆心、1为半径的圆必与（ )
A . x 轴相交
B . y 轴相交
C . x 轴相切
D . y 轴相切
二、填空题：
3.（2009•济宁市）如图，⊙A 和⊙B 都与x 轴和y 轴相切，圆心A 和圆心B 都在反比例函数1y x 的图象上，则图中阴影部分的面积等于 .
4.（2012•海南省）如图，∠APB =300，圆心在边PB 上的⊙O 半径为1cm ，OP =3cm ，若⊙O 沿BP 方向
移动，当⊙O 与P A 相切时，圆心O 移动的距离为 1或5 cm .
5.（2012•湖北黄冈）如图，在△ABC 中，BA =BC ，以AB 为直径作半圆⊙O ，交AC 于点D .连结DB ，过点D 作DE ⊥BC ，
垂足为点E .
（1）求证：DE 为⊙O 的切线；
（2）求证：DB 2
=AB ·BE .
第3题 第4题
第5题 B 组（选做题）
1.（2009•湖北省荆门市）Rt△ABC 中，9068C AC BC ∠===°，，．
则△ABC 的内切圆半径r = 2 ． 2.（2012•泰州）如图，已知直线l 与⊙O 相离，OA ⊥l 于点A ，OA =5，OA 与⊙O 相交于点P ，AB 与⊙O 相切于点B ，BP 的延长线交直线l 于点C ．
（1）试判断线段AB 与AC 的数量关系，并说明理由；
（2）若PC =52，求⊙O 的半径和线段PB 的长；
（3）若在⊙O 上存在点Q ，使△QAC 是以AC 为底边的等腰三角形，求⊙O 的半径r 的取值范围．
设计意图：设置了A 、B 两组习题，A 组题目是必做题，B 组为选做题，让部分有学习余力的学生去完成，以满足不同层次学生的需要。

当堂检测题要求在规定的时间独立完成自我检测，主要目的是检测学生对知识掌握情况及应用能力，体会分析的方法，查缺补漏，积累数学活动的经验，让学生明确本节课复习的效果，培养快速准确解答问题的能力，同时教师也可以了解学生的掌握情况，以便了解学情，改变教学策略与方法，提高复习效果，
八、板书设计
§3．5．1直线和圆的位置关系
知识框架
图
例1
例2 拓展应用：例3 热点考题类型 错题警示
切线证明思路 及常见辅助线
教学反思： P O C B
l A O l
A 备用
1.本节课题目设计较多，可以根据学情适当调整，最好将导学案的题组练习让学生提前完成，课上直接交流展示，就可以节约时间来完成后续的综合问题提供时间保证。

2.通过直线与圆的相关题目训练，学生必须掌握必要的解题思路与方法，要掌握常见辅助线的添加及解题的技巧：一是证明题就一般而言有两种类型即“连半径，证垂直”和“作垂直，证半径”；二是计算题一般“见切线连半径”，并与勾股定理、垂径定理相结合解决问题.
3. 由于题目设计较多，学生做题费时费力，在难题处理时花费了较多的时间，尤其是学生板演因人而异，造成课堂上时间显得仓促，以后教学中有些题目不必让学生一一板演，教师应灵活处理。