复旦固体物理讲义-25晶格振动的经典理论
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http://10.107.0.68/~jgche/
d (q ) a 2 1 cos qa vg dq 2 m
2
1
a m
2
1
2
vg
0 0 q
/a
20
晶格振动的经典理论
B区中心Γ点——长波极限
• 即当qa<<1，（也称长波极限）频率与波矢成 线性关系
0 J 0 J' 0 J
0 J"
RJ R u J
• 但假定原子仅在平衡位置附近运动，与平衡位 置只有很小的的偏离
* 并且假定平衡位置仍呈周期性排列
http://10.107.0.68/~jgche/ 晶格振动的经典理论
9
只有偏离平衡位置很小的位移
• R是原子的平衡位 置，具有周期性
* 但在任一时刻有一远 远小于原子间距的偏 离平衡位置的位移u u <<R 瞬时位置 平衡位置 位移
21
Displacement patterns
xn Ae iqna e it
-2 q=0 q=a -1 0
a
+1
+2
xn Ae it
T量子简并 h2 3mk B a 2
• 原子间平均距离是2~3A，电子质量~10-30kg， 原子质量~ 10-27kg
T电子量子简并 ~ 105 K
http://10.107.0.68/~jgche/
T原子量子简并 ~ 50K
11
晶格振动的经典理论
如何考虑原子间的相互作用？
• 唯象的观点——假定原子之间的相互作用力是 已知的，并能够用一组力常数描述，而且这些 力常数是原子间势对原子位移的二阶导数 • 简谐近似——原子间的力可以看作位移的线性 函数，因为原子位移本身很小 两原子间相互
http://10.107.0.68/~jgche/ 晶格振动的经典理论
16
• 将尝试解代入运动方程
d xn m 2 xn 1 xn 1 2 xn dt
• 得
2
m Ae
2
i ( qna t )
(2 e
iqa
e
iqa
) Ae
i ( qna t )
• 本章的任务就是如何处理晶体中原子的振动？ 从中又可以得到什么结果？
* 振动谱、晶格振动的量子化声子，热力学性质
http://10.107.0.68/~jgche/ 晶格振动的经典理论
1
本讲要解决的问题及相关概念
• 如何处理晶体中原子的振动？
* 唯象模型，简谐近似 * 一维单原子链、一维双原子链、三维模型
3D
1D [100]
http://10.107.0.68/~jgche/ 晶格振动的经典理论
[110]
13
平衡时 振动时偏离 平衡位置
a
xn-1
xn
xn+1
F dV d
原子平衡位置 rn=na，xn是相对于平衡位置的偏离 势能对位移求导后可得力与位 移成线性关系简谐近似
• 如只考虑最近邻原子作用，看第n个原子受力
http://10.107.0.68/~jgche/ 晶格振动的经典理论
18
色散关系 (dispersion)
qa ( q) 2 sin 2 m
• 频率与波矢的关 系称为色散关系
* 地位类似于能带 结构，E(k)关系 * 只有这段频率的 波才能在晶体中 传播 q
* 注意：受力与两个原子相对于平衡位置的偏离有关
• 写出关于第n个原子的运动方程
* 这里β是力常数(force constant)
d 2 xn m 2 ( xn 1 xn ) ( xn 1 xn ) http://10.107.0.68/~jgche/ 晶格振动的经典理论 dt
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晶格振动的经典理论
5
静止晶格模型的困难
• 电导率将“无限大”
* 如晶体中原子固定在平衡位置，晶体具有严格的周 期性，根据Bloch定理，电子在晶体中运动无散射、 阻尼机制，电导率将是无限大
• 绝缘体是“绝热体”
* 绝缘体中电子是相对惰性的，所有电子都处于填满 的能带中，难以参与输运过程 * 如果对绝缘体采用静止晶格模型，几乎没有自由度 可以被用来描写绝缘体丰富的、不同的物理性质： 比如热传导等 如果晶体中原子都静止，绝缘体是不是一定是 “绝热体”呢？
1 2
/a
一维布里渊区
/a
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晶格振动的经典理论
19
在B区边界
max
2 m
1
2
• 在B区边界，ω最 大，大于这个频率 的波不能传播 • 满足Bragg反射条 件，群速为零
* 这时，相邻原子振 动位相相反，这个 波既不向右也不向 左运动，而是通过 来回的反射，形成 驻波
RJ
R
0 J
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晶格振动的经典理论
4
静止晶格模型的局限
• 静止晶格模型的成功
* 由电子决定的性质，一般都能较好地描述
• 但是，假定原子都静止在它们的平衡位置，与 真实的情况差别有多大？
* 经典理论：只有在绝对温度零度，原子才是静止的 * 量子理论：即使在绝对零度，根据测不准原理，静 止模型也不成立，所谓零点振动 * 只要原子不是无限重，或没有无限大的力限制原子 运动，静止晶格模型都只是一种近似
17
哪些q值有意义？
• 循环周期性边界条件要求
e iqNa 1
• 相当于
l 2 q , l取整数 N a
• 与电子的情况相似，不等价的q可以限制在第 一Brillouin区，倒空间周期性，q与q+K等价
* 这与连续介质中的弹性波的传播有本质的区别 * 在连续介质中，a0，qmax±∞
• -N/2<l<N/2，q共有N个取值N种振动模式
2 ˆ PJ 1 ˆ V核 ( RJ RJ ' ) H核 2 J ,J ' J 2M J
ˆ H
0 ˆ H ˆ ˆ ˆ H ({ r }, { R }) ( H H ) ({ r }, { R i J i J }) 电子 核 电子 核 电子 电子 核
xn (t ) x0 (t )e
x是相对 于平衡位 置的偏离
iqna
Ae
it iqna
e
q: 波矢 Wave-vector na: 第n个原子的坐标
2 波长 q
• 频率-波矢关系——色散关系，对所有原子相同 • 各个原子间有固定位相关系：当两个原子相距 2π/q的整数倍时，因振动而产生的位移相等
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晶格振动的经典理论
3
1、静止晶格模型的修正
• 绝热近似
ˆ ˆ H ˆ (H H 电子 核 电子-核 ) ({ri }, {RJ }) E ({ri }, {RJ }) • 基本事实：原子核比电子重得多 • 绝热近似：考虑电子运动时可不考虑原子核得 运动。原子核固定在它的瞬间位置。
2 (1 cos qa ) Ae
• 即
i ( qna t )
m 2 2 (1 cos qa )
2 (1 cos qa ) qa sin (q) 2 m m 2 2h (q) (q ) http://10.107.0.68/~jgche/ 晶格振动的经典理论a
http://10.107.0.68/~jgche/
xn 1 xn xn 1 xn
15
晶格振动的经典理论
d 2 xn m 2 ( xn 1 xn ) ( xn 1 xn ) dt
二阶常微分方程，尝试解为振动解。因晶体具有周期 性，其振幅应满足Bloch定理，有平面波形式的相因子
• 从一维原子链了解晶格振动频谱的基本性质
* 振动频率与波矢的关系色散关系 * 振动模式
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晶格振动的经典理论
2
第25讲、晶格振动的经典理论
1. 2. 3. 4. 5. 静止晶格模型的修正 基本假定 一维单原子链的晶格振动 一维双原子链的晶格振动 三维体系的晶格振动
2 作用势能展开 后，零次项是 0 常数，一次项 为零，只保留 位移的二次项 简谐近似
12
1 d 2V dV V (a ) V (a) 2 2 d d 0 1 d 2V V (a) 2 2 d 2 0
http://10.107.0.68/~jgche/ 晶格振动的经典理论
6
哪些性质受此影响？
• 平衡性质
* 比热：静止晶格模型只计入电子贡献，cV ~T，但只 有在10K时才能明显地观察到；更高温：cV ~ T2- T3 * 热膨胀：物质的密度与温度有关。但在静止晶格模 型中，显然没有考虑
• 输运性质
14
也可从简谐势能得到运动方程
• 简谐势能为
U
简谐
1 2 xm 1 xm 2 m
• 注意，对m求和， 求和号中n将出现两次，所 以 简谐
U xn
xn 1 xn xn 1 xn
简谐
d xn U m 2 dt xn
2
d 2V dV F 2 d d 0 http://10.107.0.68/~jgche/
晶格振动的经典理论
3、一维单原子链的晶格振动
• 一维振动：比如在立方晶体 中，当波沿着[100], [110], [111]之一传播时，整个原子 平面作同相位运动，或平行 或垂直与波矢方向，可以看 作一维的振动，可用单一坐 标来描述离开平衡位置的位 移 [111]
7
哪些性质受此影响？
• 输运性质
* 超导：传统超导的解释是晶格振动在电子对上的有 效作用 * 绝缘体的热传导：大部分金属的输运性质的机制与 绝缘体不同。例子，绝缘体也可以是良好的导热 体——主要靠晶格自由度导热 * 声音传播：绝缘体还可以传播声音，但在静止晶格 模型里，绝缘体也是“绝声体”
• 晶格振动也是电子与晶体相互作用的基础
本章要解决的问题
• 由能带理论知道，在周期性势场下运动的电子 受一定限制
* 能带，能隙解释了导体、绝缘体
• 用准经典方法，研究了电子在外场下的运动， 得到晶体电子速度、加速度与能带结构的关系
* 电子速度不随时间变化，无散射机制，电流永不衰 减，与实验不符
• 问题在哪里？绝热近似周期性势场？
* 与实验不符！原子应该在在平衡位置附近振动
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱu r R
O
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晶格振动的经典理论
10
经典还是量子？
• 粒子的de Broglie波长与动量成反比，即 • 由
1 2 3 mv k BT 2 2 h mv
，波长与T的平方根成反比
• 当粒子的波长与粒子间的平均距离a可以比拟 时，就会显示量子效应。由λ=a，可以估计简 并温度作为判据
* 金属电导电子受晶格振动（声子）的作用、散射
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晶格振动的经典理论
8
2、基本假定
RJ
0 RJ 这时不考虑电子的运动，H就一项
ˆ2 P 1 J ˆ H核 V核 ( RJ RJ ' ) 2 J ,J ' J 2M J
R R R
(q) a
m q q
* 与q成正比，这是一维弹性波特征 d vg a /m
dq
• 为声速。这是因为，qa<<1时，波长λ比晶格 常数a大得多。晶体可近似地看成连续介质， 即连续介质的弹性波
* 因此把q0时，ω0这支色散关系称为声学支 * 其振动模式称为声学模
http://10.107.0.68/~jgche/ 晶格振动的经典理论
* 金属的输运性质基本上取决于电子结构，但金属还 有相当一部分的输运性质、绝缘体的所有输运性质 只有考虑了晶格振动才能被很好地解释 * 电子弛豫时间：静止晶格模型，与温度无关并且是 无限长的 * Wiedemann-Franz定律：在中等温度失效，原因就 是需要知道有多少电子被晶格散射
http://10.107.0.68/~jgche/ 晶格振动的经典理论
d (q ) a 2 1 cos qa vg dq 2 m
2
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a m
2
1
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vg
0 0 q
/a
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晶格振动的经典理论
B区中心Γ点——长波极限
• 即当qa<<1，（也称长波极限）频率与波矢成 线性关系
0 J 0 J' 0 J
0 J"
RJ R u J
• 但假定原子仅在平衡位置附近运动，与平衡位 置只有很小的的偏离
* 并且假定平衡位置仍呈周期性排列
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只有偏离平衡位置很小的位移
• R是原子的平衡位 置，具有周期性
* 但在任一时刻有一远 远小于原子间距的偏 离平衡位置的位移u u <<R 瞬时位置 平衡位置 位移
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Displacement patterns
xn Ae iqna e it
-2 q=0 q=a -1 0
a
+1
+2
xn Ae it
T量子简并 h2 3mk B a 2
• 原子间平均距离是2~3A，电子质量~10-30kg， 原子质量~ 10-27kg
T电子量子简并 ~ 105 K
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T原子量子简并 ~ 50K
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晶格振动的经典理论
如何考虑原子间的相互作用？
• 唯象的观点——假定原子之间的相互作用力是 已知的，并能够用一组力常数描述，而且这些 力常数是原子间势对原子位移的二阶导数 • 简谐近似——原子间的力可以看作位移的线性 函数，因为原子位移本身很小 两原子间相互
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• 将尝试解代入运动方程
d xn m 2 xn 1 xn 1 2 xn dt
• 得
2
m Ae
2
i ( qna t )
(2 e
iqa
e
iqa
) Ae
i ( qna t )
• 本章的任务就是如何处理晶体中原子的振动？ 从中又可以得到什么结果？
* 振动谱、晶格振动的量子化声子，热力学性质
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本讲要解决的问题及相关概念
• 如何处理晶体中原子的振动？
* 唯象模型，简谐近似 * 一维单原子链、一维双原子链、三维模型
3D
1D [100]
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[110]
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平衡时 振动时偏离 平衡位置
a
xn-1
xn
xn+1
F dV d
原子平衡位置 rn=na，xn是相对于平衡位置的偏离 势能对位移求导后可得力与位 移成线性关系简谐近似
• 如只考虑最近邻原子作用，看第n个原子受力
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色散关系 (dispersion)
qa ( q) 2 sin 2 m
• 频率与波矢的关 系称为色散关系
* 地位类似于能带 结构，E(k)关系 * 只有这段频率的 波才能在晶体中 传播 q
* 注意：受力与两个原子相对于平衡位置的偏离有关
• 写出关于第n个原子的运动方程
* 这里β是力常数(force constant)
d 2 xn m 2 ( xn 1 xn ) ( xn 1 xn ) http://10.107.0.68/~jgche/ 晶格振动的经典理论 dt
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静止晶格模型的困难
• 电导率将“无限大”
* 如晶体中原子固定在平衡位置，晶体具有严格的周 期性，根据Bloch定理，电子在晶体中运动无散射、 阻尼机制，电导率将是无限大
• 绝缘体是“绝热体”
* 绝缘体中电子是相对惰性的，所有电子都处于填满 的能带中，难以参与输运过程 * 如果对绝缘体采用静止晶格模型，几乎没有自由度 可以被用来描写绝缘体丰富的、不同的物理性质： 比如热传导等 如果晶体中原子都静止，绝缘体是不是一定是 “绝热体”呢？
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一维布里渊区
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晶格振动的经典理论
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在B区边界
max
2 m
1
2
• 在B区边界，ω最 大，大于这个频率 的波不能传播 • 满足Bragg反射条 件，群速为零
* 这时，相邻原子振 动位相相反，这个 波既不向右也不向 左运动，而是通过 来回的反射，形成 驻波
RJ
R
0 J
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晶格振动的经典理论
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静止晶格模型的局限
• 静止晶格模型的成功
* 由电子决定的性质，一般都能较好地描述
• 但是，假定原子都静止在它们的平衡位置，与 真实的情况差别有多大？
* 经典理论：只有在绝对温度零度，原子才是静止的 * 量子理论：即使在绝对零度，根据测不准原理，静 止模型也不成立，所谓零点振动 * 只要原子不是无限重，或没有无限大的力限制原子 运动，静止晶格模型都只是一种近似
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哪些q值有意义？
• 循环周期性边界条件要求
e iqNa 1
• 相当于
l 2 q , l取整数 N a
• 与电子的情况相似，不等价的q可以限制在第 一Brillouin区，倒空间周期性，q与q+K等价
* 这与连续介质中的弹性波的传播有本质的区别 * 在连续介质中，a0，qmax±∞
• -N/2<l<N/2，q共有N个取值N种振动模式
2 ˆ PJ 1 ˆ V核 ( RJ RJ ' ) H核 2 J ,J ' J 2M J
ˆ H
0 ˆ H ˆ ˆ ˆ H ({ r }, { R }) ( H H ) ({ r }, { R i J i J }) 电子 核 电子 核 电子 电子 核
xn (t ) x0 (t )e
x是相对 于平衡位 置的偏离
iqna
Ae
it iqna
e
q: 波矢 Wave-vector na: 第n个原子的坐标
2 波长 q
• 频率-波矢关系——色散关系，对所有原子相同 • 各个原子间有固定位相关系：当两个原子相距 2π/q的整数倍时，因振动而产生的位移相等
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1、静止晶格模型的修正
• 绝热近似
ˆ ˆ H ˆ (H H 电子 核 电子-核 ) ({ri }, {RJ }) E ({ri }, {RJ }) • 基本事实：原子核比电子重得多 • 绝热近似：考虑电子运动时可不考虑原子核得 运动。原子核固定在它的瞬间位置。
2 (1 cos qa ) Ae
• 即
i ( qna t )
m 2 2 (1 cos qa )
2 (1 cos qa ) qa sin (q) 2 m m 2 2h (q) (q ) http://10.107.0.68/~jgche/ 晶格振动的经典理论a
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xn 1 xn xn 1 xn
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晶格振动的经典理论
d 2 xn m 2 ( xn 1 xn ) ( xn 1 xn ) dt
二阶常微分方程，尝试解为振动解。因晶体具有周期 性，其振幅应满足Bloch定理，有平面波形式的相因子
• 从一维原子链了解晶格振动频谱的基本性质
* 振动频率与波矢的关系色散关系 * 振动模式
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第25讲、晶格振动的经典理论
1. 2. 3. 4. 5. 静止晶格模型的修正 基本假定 一维单原子链的晶格振动 一维双原子链的晶格振动 三维体系的晶格振动
2 作用势能展开 后，零次项是 0 常数，一次项 为零，只保留 位移的二次项 简谐近似
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1 d 2V dV V (a ) V (a) 2 2 d d 0 1 d 2V V (a) 2 2 d 2 0
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哪些性质受此影响？
• 平衡性质
* 比热：静止晶格模型只计入电子贡献，cV ~T，但只 有在10K时才能明显地观察到；更高温：cV ~ T2- T3 * 热膨胀：物质的密度与温度有关。但在静止晶格模 型中，显然没有考虑
• 输运性质
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也可从简谐势能得到运动方程
• 简谐势能为
U
简谐
1 2 xm 1 xm 2 m
• 注意，对m求和， 求和号中n将出现两次，所 以 简谐
U xn
xn 1 xn xn 1 xn
简谐
d xn U m 2 dt xn
2
d 2V dV F 2 d d 0 http://10.107.0.68/~jgche/
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3、一维单原子链的晶格振动
• 一维振动：比如在立方晶体 中，当波沿着[100], [110], [111]之一传播时，整个原子 平面作同相位运动，或平行 或垂直与波矢方向，可以看 作一维的振动，可用单一坐 标来描述离开平衡位置的位 移 [111]
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哪些性质受此影响？
• 输运性质
* 超导：传统超导的解释是晶格振动在电子对上的有 效作用 * 绝缘体的热传导：大部分金属的输运性质的机制与 绝缘体不同。例子，绝缘体也可以是良好的导热 体——主要靠晶格自由度导热 * 声音传播：绝缘体还可以传播声音，但在静止晶格 模型里，绝缘体也是“绝声体”
• 晶格振动也是电子与晶体相互作用的基础
本章要解决的问题
• 由能带理论知道，在周期性势场下运动的电子 受一定限制
* 能带，能隙解释了导体、绝缘体
• 用准经典方法，研究了电子在外场下的运动， 得到晶体电子速度、加速度与能带结构的关系
* 电子速度不随时间变化，无散射机制，电流永不衰 减，与实验不符
• 问题在哪里？绝热近似周期性势场？
* 与实验不符！原子应该在在平衡位置附近振动
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经典还是量子？
• 粒子的de Broglie波长与动量成反比，即 • 由
1 2 3 mv k BT 2 2 h mv
，波长与T的平方根成反比
• 当粒子的波长与粒子间的平均距离a可以比拟 时，就会显示量子效应。由λ=a，可以估计简 并温度作为判据
* 金属电导电子受晶格振动（声子）的作用、散射
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2、基本假定
RJ
0 RJ 这时不考虑电子的运动，H就一项
ˆ2 P 1 J ˆ H核 V核 ( RJ RJ ' ) 2 J ,J ' J 2M J
R R R
(q) a
m q q
* 与q成正比，这是一维弹性波特征 d vg a /m
dq
• 为声速。这是因为，qa<<1时，波长λ比晶格 常数a大得多。晶体可近似地看成连续介质， 即连续介质的弹性波
* 因此把q0时，ω0这支色散关系称为声学支 * 其振动模式称为声学模
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* 金属的输运性质基本上取决于电子结构，但金属还 有相当一部分的输运性质、绝缘体的所有输运性质 只有考虑了晶格振动才能被很好地解释 * 电子弛豫时间：静止晶格模型，与温度无关并且是 无限长的 * Wiedemann-Franz定律：在中等温度失效，原因就 是需要知道有多少电子被晶格散射
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