热传导方程的分离变量法
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引言
上一章对弦振动方程为代表的双曲 型方程进行了研究,它的研究包括从方程 的导出到应用行波法和分离变量法.本章 我们对抛物型方程以热传导方程为代表 进行研究 。
1
数理方程的基本步骤:
物理模型
定量化 数学模型
ⅰ 建坐标系
ⅱ 选物理量 u
ⅲ 找物理规律
ⅳ 写表达式
2
3.1 热传导方程 一、热传导方程的导出
ux l,t ul,t t
:热导系数
:热交换系数
25
介质通过边界按照冷却定律散热: 单位时间通过单位面积表面和外界交
换的热量与介质表面温度 u 边界 和外界温
度 u 之差成正比.
26
设比例系数为 a ,则
un u u t
如在 x l 处,
ux l,t ul,t t
物理意义: 把细杆端点 x l 处的截面 用一种定点绝热的物质包裹起来,使得 在端点 x l 处,既无热量流出去,又 无热量流进来.
24
ⅲ 第三类边界条件: 物理量与外法向
导数的线性组合. 已知杆端 x l 与某种介质接触,它们
之间按热传导中的牛顿实验定律进行热
交换,相应的边界条件为 ：
方法: 与弦振动方程所用方法相同
11
4. 研究建立方程
取 x 轴与细杆重合, ux,t 表示在 x
点 t 时刻的温度.
考虑任一 x 段在 t 时间热量情况
① 流入 x 面:
Q1
u x
x
At
12
②流出 x x 面:
Q2
u x
x x
At
③热源产生:设有热源其密度为 f x,t
杆内热 源在x 段产生的热量为
Q3 f x,t Axt
13
④ x 段温度要升高 u所吸收 的热量 Q , 故
Q C Axu
C Ax u x,t t u x,t
14
⑤ 根据能量守恒定律
流入 x段总热量与 x段中热源产生
22
ⅱ第二类边界条件: 研究物理量在 边界外法线方向上方向导数的数值.
u x
x0
v1
t
或
ux x,t x0 v1 t
u x
xl
v2
t
ux x0 v1 t
23
已知通过细杆端点的热量,特殊
情形 vt 0 如 ux l,t 0 绝热条件。
ห้องสมุดไป่ตู้
的热量:
Q Q1 Q2 Q3
即 C Ax u x,t t u x,t
ux x x,t ux x,t At fAxt
15
化简:
两边同除以
1 Axt
C u x,t t u x,t
定解问题
20
以细杆的热导方程为例
⒈初始条件 ux,0 x
⒉ 边界条件提法有三种
21
ⅰ第一类边界条件:直接给出物理量在 边界上的数值(边界上各点的温度).
u0,t 1 t
ul,t 2 t
u x,t x0 1 t
u x,t xl 2 t
动不同.
9
② 热量守恒(质量)定律:物体内部温 度升高所吸收的热量(浓度增加所需要 的质量),等于流入物体内部的净热量(质 量)与物体内部的热源所产生的热量(质 量)之和.
10
3.分析 研究的问题: 热流流动是由温差造成,
设 u 为温度.
已知: C , , 常数 .
u u x,t是一维问题 .
q u
7
:热导系数(热导率),不同物质 不同,
x,u 对均匀杆 是常数.负号表示
温度下降的方向.
8
分量形式：qx
u x
，
qy
u y
，qz
u z
一维问题： q u
n
(对同一种物质)温差越大,热能流动
越大.相同温度下,不同的物质热能流
27
3.2 混合问题的分离变量解
28
一、定解问题：有界杆的热传导现象
ut a2uxx 00 x lt 0
u 0,t 0u l,t 00 t
1. 物理模型 截面积为A的均匀细杆,侧面绝热, 沿 杆长方向有温差, 求热量的流动.
3
2.相关链接 ⑴ 相关概念和定律 ① 热传导:由于温度分布不均匀产生 的热传递现象.设
热量：Q 面积：S 体积：V
时间：t 密度： 温度：T
4
② 比热:单位物质温度升高一度
所需热量.
C Q
VT
③ 热流密度:单位时间流过单位面积
u x,0 x0 x l
其中 x 为已知函数.
29
第一步：分离变量 ⅰ.设热导方程具有如下分离
变量解(特解)
ux,t X xT t
t
ux x x,t ux x,t f
x
当 x 0 , t 0
则 C ut uxx f
16
一维热传导方程为:
ut Duxx f
其中:
D C
, f F
C
.
二维热传导方程为:
ut D uxx uyy f
的热量( Fourier实验定律)
q Q u
tS
n
:导热率
5
④热源强度:单位时间,单位体积放出 的热量(源密度).
fQ tV
6
⑵用到的物理学规律 ① Fourier实验定律(热传导定律):当物
体内存在 温度差时,会产生热量的流动.热流 强度(热流密度)q 与温度的下降成正比.即
17
三维热传导方程为:
ut D uxx uyy uzz f
ut Du f
ut a2u f
18
扩散方程物理模型
一充满清水的玻璃管.如果一端滴 一滴红墨水,则红墨水的分子就要向 另一端扩散.渗透半导体之间的锑扩 散,硼扩散,磷扩散.
19
二、定解条件
物体上初始时刻的温度分布 边界上温度，热交换情形
上一章对弦振动方程为代表的双曲 型方程进行了研究,它的研究包括从方程 的导出到应用行波法和分离变量法.本章 我们对抛物型方程以热传导方程为代表 进行研究 。
1
数理方程的基本步骤:
物理模型
定量化 数学模型
ⅰ 建坐标系
ⅱ 选物理量 u
ⅲ 找物理规律
ⅳ 写表达式
2
3.1 热传导方程 一、热传导方程的导出
ux l,t ul,t t
:热导系数
:热交换系数
25
介质通过边界按照冷却定律散热: 单位时间通过单位面积表面和外界交
换的热量与介质表面温度 u 边界 和外界温
度 u 之差成正比.
26
设比例系数为 a ,则
un u u t
如在 x l 处,
ux l,t ul,t t
物理意义: 把细杆端点 x l 处的截面 用一种定点绝热的物质包裹起来,使得 在端点 x l 处,既无热量流出去,又 无热量流进来.
24
ⅲ 第三类边界条件: 物理量与外法向
导数的线性组合. 已知杆端 x l 与某种介质接触,它们
之间按热传导中的牛顿实验定律进行热
交换,相应的边界条件为 ：
方法: 与弦振动方程所用方法相同
11
4. 研究建立方程
取 x 轴与细杆重合, ux,t 表示在 x
点 t 时刻的温度.
考虑任一 x 段在 t 时间热量情况
① 流入 x 面:
Q1
u x
x
At
12
②流出 x x 面:
Q2
u x
x x
At
③热源产生:设有热源其密度为 f x,t
杆内热 源在x 段产生的热量为
Q3 f x,t Axt
13
④ x 段温度要升高 u所吸收 的热量 Q , 故
Q C Axu
C Ax u x,t t u x,t
14
⑤ 根据能量守恒定律
流入 x段总热量与 x段中热源产生
22
ⅱ第二类边界条件: 研究物理量在 边界外法线方向上方向导数的数值.
u x
x0
v1
t
或
ux x,t x0 v1 t
u x
xl
v2
t
ux x0 v1 t
23
已知通过细杆端点的热量,特殊
情形 vt 0 如 ux l,t 0 绝热条件。
ห้องสมุดไป่ตู้
的热量:
Q Q1 Q2 Q3
即 C Ax u x,t t u x,t
ux x x,t ux x,t At fAxt
15
化简:
两边同除以
1 Axt
C u x,t t u x,t
定解问题
20
以细杆的热导方程为例
⒈初始条件 ux,0 x
⒉ 边界条件提法有三种
21
ⅰ第一类边界条件:直接给出物理量在 边界上的数值(边界上各点的温度).
u0,t 1 t
ul,t 2 t
u x,t x0 1 t
u x,t xl 2 t
动不同.
9
② 热量守恒(质量)定律:物体内部温 度升高所吸收的热量(浓度增加所需要 的质量),等于流入物体内部的净热量(质 量)与物体内部的热源所产生的热量(质 量)之和.
10
3.分析 研究的问题: 热流流动是由温差造成,
设 u 为温度.
已知: C , , 常数 .
u u x,t是一维问题 .
q u
7
:热导系数(热导率),不同物质 不同,
x,u 对均匀杆 是常数.负号表示
温度下降的方向.
8
分量形式：qx
u x
，
qy
u y
，qz
u z
一维问题： q u
n
(对同一种物质)温差越大,热能流动
越大.相同温度下,不同的物质热能流
27
3.2 混合问题的分离变量解
28
一、定解问题：有界杆的热传导现象
ut a2uxx 00 x lt 0
u 0,t 0u l,t 00 t
1. 物理模型 截面积为A的均匀细杆,侧面绝热, 沿 杆长方向有温差, 求热量的流动.
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2.相关链接 ⑴ 相关概念和定律 ① 热传导:由于温度分布不均匀产生 的热传递现象.设
热量：Q 面积：S 体积：V
时间：t 密度： 温度：T
4
② 比热:单位物质温度升高一度
所需热量.
C Q
VT
③ 热流密度:单位时间流过单位面积
u x,0 x0 x l
其中 x 为已知函数.
29
第一步：分离变量 ⅰ.设热导方程具有如下分离
变量解(特解)
ux,t X xT t
t
ux x x,t ux x,t f
x
当 x 0 , t 0
则 C ut uxx f
16
一维热传导方程为:
ut Duxx f
其中:
D C
, f F
C
.
二维热传导方程为:
ut D uxx uyy f
的热量( Fourier实验定律)
q Q u
tS
n
:导热率
5
④热源强度:单位时间,单位体积放出 的热量(源密度).
fQ tV
6
⑵用到的物理学规律 ① Fourier实验定律(热传导定律):当物
体内存在 温度差时,会产生热量的流动.热流 强度(热流密度)q 与温度的下降成正比.即
17
三维热传导方程为:
ut D uxx uyy uzz f
ut Du f
ut a2u f
18
扩散方程物理模型
一充满清水的玻璃管.如果一端滴 一滴红墨水,则红墨水的分子就要向 另一端扩散.渗透半导体之间的锑扩 散,硼扩散,磷扩散.
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二、定解条件
物体上初始时刻的温度分布 边界上温度，热交换情形