1.1.1-1.1.2命题与四种命题及四种命题间的相互关系

(真) (真) (真) (真)
Help
逆否命题： x UA∪ UB ，xA∪B 。
假
四种命题的真假,有且只有下面四种情况:
原命题
真 真 假 假
逆命题
真 假 真 假
否命题
真 假 真 假
逆否命题
真 真 假 假
几条结论:
（1） 原命题为真，则其逆否命题一定为真。但
其逆命题、否命题不一定为真。
（2） 若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但
例 证明：若p2＋q2＝2，则p＋q≤2.
证明: 假设 p q 2 ,
则 ( p q) 2 4 , ∴ p2 q 2 2 pq 4 ,
2 2
假设原命题结 论的反面成立 看能否推出原命题 条件的反面成立
∵ p q ≥ 2 pq , 2 2 2 2 ∴ 2( p q ) 4 , ∴ p q 2 , 尝试成功 2 2 ∴ p q 2. 得证
3）若f ( x)不是正弦函数，则f ( x)不是周期函数。 4）若f ( x)不是周期函数，则f ( x)不是正弦函数。
你能说出其中任意 两个命题之间的关 系吗?
课 堂 小 结
原命题 若p则q 互 否 命 题 真 假 无 关 否命题 若﹁ p则﹁ q 逆命题 若q则p 互 否 命 题 真 假 无 关 逆否命题 若﹁ q则﹁p
1.1.1-1.1.2命题 与四种命题
高二数学 选修2-1
第一章
常用逻辑用语
歌德是18世纪德国的一位著名文艺大师，一天， 他与一位批评家“狭路相逢”，这位文艺批评家生性 古怪，遇到歌德走来，不仅没有相让，反而卖弄聪明， 一边高地往前走。一边大声说道：“我从来不给傻子 让路！”而对如此的尴尬的局面，但只是歌德笑容可 掏，谦恭的闪在一旁，一边有礼貌回答道“呵呵，我 可恰恰相反，”结果故作聪明的批评家，反倒自讨没 趣。
下列语句的表述形式有什么特点?你能判断 它们的真假吗? （1） 12>5; （2） 3是12的约数; 语句都是陈述句， （3） 0.5是整数; （4）对顶角相等; 并且可以判断真假。 （5）3 能被2整除; （6）若x2=1,则x=1.
命题的概念
（1） 12>5; （3） 0.5是整数; （5）3 能被2整除;
a< b a a b a
a b b b a <b
a = b a =b 这些条件都与已知a b 0 矛盾
所以原命题
a b
成立
练
圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。
已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于P，且AB、 CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分.
证明： 假设弦AB 、CD被P平分， ∵P点一定不是圆心O，连接OP， 根据垂径定理的推论，有 OP⊥AB, OP⊥CD 即 过点P有两条直线与OP都垂直， 这与垂线性质矛盾， ∴弦AB、CD不被P平分。
(2)若函数是偶函数，则函数的图象关于y轴对称，这是真 命题。 (3)若两个平面垂直于同一平面，则这两个平面互相平行。 这是假命题。
命题及其关系
1.1.2 四种命题
回顾

交换原命题的条件和结论，所得的命题是 逆命题。 ________
同时否定原命题的条件和结论，所得的命 否命题。 题是________ 交换原命题的条件和结论，并且同时否定， 逆否命题。 所得的命题是__________
(4)若平面上两条直线不相交,
则这两条直线平行. （是，真）
( 2) 2 2 (5)
（是，假）
(6)x>15. （不是命题）
练习
（2） x
2
判断下列语句是否是命题 .
2 x 1 0.
（1）求证 3 是无理数。
（3）你是高二学生吗？
（4）并非所有的人都喜欢苹果。
（5）一个正整数不是质数就是合数。 （6）若
王新敞
奎屯
新疆
例 证明：若p2＋q2＝2，则p＋q≤2.
分析:直接证不好下手.
将“若p2＋q2＝2，则p＋q≤2”看成原命 题。由于原命题和它的逆否命题具有相同 的真假性，要证原命题为真命题，可以证 明它的逆否命题为真命题。
2 2 即证明 为真命题 “若p q 2, 则p q 2.”

（2） 3是12的约数; （4）对顶角相等; （6）若x2=1,则x=1.
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句 叫做命题。 判断为真的语句叫做真命题。 判断为假的语句叫做假命题。 理解： 1）命题定义的核心是判断，切记：判断的标准 必 须确定，判断的结果可真可假，但真假必居其一。 2）含有变量且在未给定变量的值之前无法确定语句的 真假。
x R ，则 x 2 4 x 7 0.
（7）x+3>0. (1)(3)(7)不是命题，(2)(4)(5)(6)是命题。
“若p则q”形式的命题
命题“若整数a是素数，则a是奇数。”具 q 有“若p则q”的形式。 p 通常,我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条 件,q叫做命题的结论。 “若p则q”形式的命题是命题的一种形式而不是 唯一的形式,也可写成“如果p,那么q” “只要p,就 有q”等形式。 其中p和q可以是命题也可以不是命题. “若p则q”形式的命题的优点是条件与结论容易 辨别,缺点是太格式化且不灵活.
“若p则q”形式的命题的书写
了解命题表示的判断,明确与判断有关的条件与 结论。 对于一些条件与结论不明显的命题,一般采取先 添补一些命题中省略的词句, 确定条件与结论。 如命题:“垂直于同一条直线的两个平面平行”。 写成“若p则q”的形式为： 若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平 面平行。

例2 指出下列命题中的条件p和结论q：
1) 2)
若整数a能被2整除，则a是偶数； 菱形的对角线互相垂直且平分。
解：1) 条件p：整数a能被2整除， 结论q：整数a 是偶数。 2) 写成若p，则q 的形式：若四边形是菱形， 则它的对角线互相垂直且平分。 条件p：四边形是菱形， 结论q：四边形的对角线互相垂直且平分。
（假） （假） （假） （假）
练习：分别写出下列命题的逆命题、否命 题、逆否命题，并判断它们的真假。
（1）若q<1,则方程
（3）若 m 0 或n
x 2x q 0 有实根。
2
（2）若ab=0,则a=0或b=0.
0，则 m n 0 。 2 2 （4）若 x y 0，则x,y全为零。
这说明，原命题的逆否命题为真命题，从而原 命题为真命题。
可能出现矛盾四种情况：
与题设矛盾； 与反设矛盾； 与公理、定理矛盾； 在证明过程中，推出自相矛盾的结论。



例
用反证法证明： 如果a>b>0，那么 a b .
证明: 假设
a 不大于 b 则 a< b 或 a= b 因为 a > 0,b > 0 所以
要证明某一结论A是正确的，但不直接证 明，而是先去证明A的反面（非A）是错 误的，从而断定A是正确的。 即反证法就是通过否定命题的结论而导出 矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的 论证的一种数学证明方法。

反证法的步骤：
1. 假设命题的结论不成立，即假设结论的
反面成立。 推理过程中一定要用到才行 2. 从这个假设出发，通过推理论证，得出 矛盾。 显而易见的矛盾(如和已知条件矛盾). 3. 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题 的结论正确。
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句 叫做命题。如何判断一个语句是不是命题？
7是23的约数吗? 2) X>5. 3) -2<a<3. 4) 画线段AB=CD.
1)
疑问句 开语句
祈使句
判断一个语句是不是命题，关键看这ຫໍສະໝຸດ Baidu句是否符 合“是陈述句”和“可以判断真假” 这两个条件。
有些语句中含有变量，在不给定变量的值之前，我们无法 确定这语句的真假，这样的语句叫开语句，以后会专门研 究。
其原命题、逆否命题不一定为真。
想一想？ 由以上三例及总结我们能发现什么？ 即 原命题与逆否命题同真假。 原命题的逆命题与否命题同真假。 (两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系).
练一练
1.判断下列说法是否正确。 （对） 1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真；
2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。 3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。 4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。 2.四种命题真假的个数可能为（ ）个。 答：0个、2个、4个。 如：原命题：若A∪B=A, 则A∩B=φ。 逆命题：若A∩B=φ，则A∪B=A。 否命题：若A∪B≠A，则A∩B≠φ。 逆否命题：若A∩B≠φ，则A∪B≠A。 （对） （错） （错）
你能分析此故事中歌德与批评家 的言行语句吗？
常用逻辑用语
“数学是思维的科学”
逻辑是研究思维形式和规律的科学.
逻辑用语是我们必不可少的工具.
通过学习和使用常用逻辑用语,掌握常用逻辑 用语的用法,,纠正出现的逻辑错误,体会运用常用 逻辑用语表述数学内容的准确性、简捷性.
命题及其关系
1.1.1 命题
思考
这表明原命题的逆否命题为真命题,从而原命 题也为真命题.
变式练习
p3 q3 2 。求证：p q 2. 1、已知
解：假设p+q>2,那么q>2-p, 根据幂函数
y x 的单调性，得 q (2 p) ,
3
3 3
q3 8 12 p 6 p2 p3 , 即 1 2 3 3 2 p q 8 12 p 6 p 6 ( p 1) , 3 p3 q3 2. 因此 p3 q3 2. 所以
看下面的例子：
2.四种命题的真假
1）原命题：若x=2或x=3, 则x2-5x+6=0。 逆命题：若x2-5x+6=0, 则x=2或x=3。 否命题：若x≠2且x≠3, 则x2-5x+6≠0 。 逆否命题：若x2-5x+6≠0，则x≠2且x≠3。 2）原命题：若a=0, 则ab=0。 (真) (假) 逆命题：若ab=0, 则a=0。 否命题：若a≠ 0, 则ab≠0。 (假) 逆否命题：若ab≠0,则a≠0。 (真) 3）原命题：若x∈A∪B，则x∈ U A∪ UB。 假 逆命题： x∈ UA∪ UB ，x∈A∪B 。 假 假 否命题： xA∪B，x UA∪ UB。
例3 把下列命题改写成“若p则q”的 形式,并判定真假。
(1) 负数的平方是正数. (2) 偶函数的图像关于y轴对称.
(3)垂直于同一条直线的两条直线平行
(4) 面积相等的两个三角形全等. (5) 对顶角相等.
真命题 真命题 假命题 假命题 真命题
练习
1、将命题“a>0时，函数y=ax+b的值随x值的增 加而增加”改写成“p则q”的形式，并判断命题 的真假。 解答:a>0时，若x增加，则函数y=ax+b的值也随之 增加，它是真命题．
原命题,逆命题,否命题,逆否命题
四种命题形式: 原命题: 若 p, 逆命题: 若 q, 否命题: 若┐p, 逆否命题: 若┐q, 则 q 则 p 则┐q 则┐p
观察与思考
？
1）若f ( x)是正弦函数，则f ( x)是周期函数。
2）若f ( x)是周期函数，则f ( x)是正弦函数。
总结
在直接证明某一个命题为真命题有困难 时,可以通过证明它的逆否命题为真命题,来 间接证明原命题为真命题.
──这是一种很好的尝试,它往往具有 正难则反,出奇制胜的效果.
──它其实是反证法的一种特殊表现:从命 题结论的反面出发, 引出矛盾(如证明结论的条 件不成立),从而证明命题成立的推理方法.
反证法：
在本题中，a>0是大前提，应单独给出， 不能把大前提也放在命题的条件部分内．
2、把下列命题改写成“若p,则q”的形式， 并判断它们的真假.
（1）等腰三角形两腰的中线相等；
（2）偶函数的图象关于y轴对称；
（3）垂直于同一个平面的两个平面平行。
(1)若三角形是等腰三角形，则三角形两边上的中线相等。 这是真命题。
看看下列语句是不是命题？
1) 今天天气如何？ 不是（疑问句）
2) 你是不是作业没交？ 不是（疑问句） 3) 这里景色多美啊！ 4) -2不是整数。 5) 4>3。 6) x>4。 不是（感叹句） 是（否定陈述句） 是（肯定陈述句） 不是（开语句）
例1 判断下面的语句是否为命题?若是命题， 指出它的真假。 (1) 空集是任何集合的子集. （是，真） （是，假） (2)若整数a是素数,则a是奇数. (3)指数函数是增函数吗?（不是命题）