2015-2016名校运筹学考研考博试题存储论题目解析

2(中国科技大学 2015 年考研试题) 根据下列条件推导并建立一个经 济订货批量的公式并求解: (a)订货必须在每个月月初的第一天提出； (b)订货提前期为零； （c)每月需求量为 R，均在各月中的 15 日一天内 发生；(d)不允许发生供货短缺；(e)存储费为每件每月 C 元； （f)每次 订货的费用为 V 元。
900 400
Hale Waihona Puke Baidu
1 1 C Q = *5*400=1000 元。(每件年持有费用 C 是 5 元) 2 2
（注意：此处用
1 C Q 这个计算式子，可参考运筹学教材编写组编写 2
的第三版运筹学 350 页的内容）
4(山东科技大学 2016 年考研试题)某电子设备厂对一种元件需求为 R=2000 件/年， 订货提前期为 0， 能够瞬时到货， 每次订货费为 25 元。 该元件每件成本为 50 元，年存贮费为成本的 20% . (1)如果不允许缺货，推导并计算经济订货批量及其最小全年总费用。 (2)如发生供应短缺， 可在下批货到达时补上， 但缺货损失为每件每年 30 元，重新求经济订货批量，并分析结果的变化。 解：(1) 经济订货批量公式的推导课本上都有详细介绍，这儿就不重 复了，但考生必须知道这是个常考的考点，会推导么？ 此处已知 R=2000 件/年，C3=25 元，C1=50*0.2=10 元 经济订货批量为 Q =
每次订货费用是 10 元，该零件的每件年持有费用是 5 元。请回答下 述问题:(1)计算经济订货批量。 (2)应选择哪个供应商? (3)确定最优订货批量及全年库存总费用。 分析：此题属于有折扣的存储问题。
(1) 此处已知 R=75 件/月，C3=10 元，C1=5/12 元 (注意：题目是每件年持有费用) 经济订货批量为 Q =
1 2
n2 n(n 1) 1 = C*nR+ CR= CR 2 2 2
那么分摊到一个月的费用为 C(Q)= [ V +
1 n
1 C*Q + C*(Q─R) + C*(Q─2R) 2
C*(Q─(n-1)R)]
n2 1 = [ V + CR] 2 n
对 n 求导数并令其为 0 得
dC (Q) V 1 2 CR =0 dn n 2
每次订购费 C3 为 500 元， 购置费 K 为每吨 1000 元， 每吨材料每月保 管费 C1 为 50 元，单位缺货费 C2 为每吨每月 1500 元。 (1)试求(s，S)最优存储策略； (2)若该厂上月末库存该种材料 50 吨，则本月运营费用为多少？又若 上月末库存量为 70 吨呢？这两种情况下各应采用什么存储策略？
2C3 R 2 10 75 = =60 件 5 / 12 C1
(2) 设零件单价为 K(Q)，则一个周期内所需总的费用为
Q 1 C1 Q + C3 +K(Q)Q 2 R
平均每个零件所需费用 C(Q)为
1 Q C3 C1 + +K(Q) 2 R Q
若选择 A 供应商， 分别计算 60、 100、 400 的平均每个零件所需费用。 C(60)= *
1 5 60 10 * + +13 = 13.33 元。 2 12 75 60 1 5 300 10 * + +11 = 11.87 元。 300 2 12 75
C(300)= *
应选择 A 供应商，订购 400 件，平均每个零件所需费用最小。 (3) 选择 A 供应商，最优订货批量为每次订购 400 件。 因月需求量为 75 件，因此，每年总需求量为 900 件，一年订购 =2.25 次。 全年库存总费用为
2C3 R 2 25 2000 = =100 件 0.2 50 C1
最小全年总费用 C= 2C1C3 R = 2 10 25 2000 =1000 元 (2)已知 C2=30 元 经济订货批量 Q= =
2C3 R C1
C1 C2 C2
2 25 2000 10 30 =115.5 件 10 30 C2 最小费用为 C= 2C1C3 R C1 C2
2015-2016 年名校运筹学考研考博试题详析
浪花一点点
选择一组运筹学试题中存储论的题目来讲解。 1(国防科技大学 2015 年考博试题) 某厂对某种材料每月需求量的概 率为 需求量(吨) 概率 50 60 70 80 90 0.2 100 110 120
0.05 0.10 0.15 0.25
0.10 0.10 0.05
有n=
2V 2VR ，Q = nR = CR C
3(北京航空航天大学 2014 年考研试题)已知某产品的月需求量为 75 件，该产品可从 A 公司或 B 公司购买，但这两个公司分别提供不同 的数量价格折扣，如下表所示。
公司 A 数量 1-99 100-399 >399 价格（元） 15.00 12.00 10.00 数量 1-49 50-299 >299 公司 B 价格（元） 16 13 11
1 5 60 10 * + +15 = 15.33 元。 2 12 75 60 1 5 100 10 * + +12 = 12.378 元。 2 12 75 100 1 5 400 10 * + +10 = 11.11 元。 400 2 12 75
C(100)= * C(400)= *
若选择 B 供应商，分别计算 60、300 的平均每个零件所需费用。 C(60)= *
= 2 10 25 2000
30 =886.03 元 10 30
与(1)相比，允许缺货的经济订货批量比不允许缺货的订货批量要大， 而成本反而变小了。因为允许缺货，订货次数减少了。
分析：此题没有课本上的现成公式照搬。订货量与存储量变化情况图 如下。
R R Q R R n 个月
设两次订货之间的间隔期为 n 个月，Q 为每次订购批量。 n 个月只订货一次，订购费为 V 元。 每月需求量为 R，n 个月后库存量为 0，则有等式 Q=nR; 开始的订购批量为 Q，半个月后降为 Q─R； 所以，前 15 天的存储费为 C*Q（因存储费为每件每月 C 元，所以 半个月每件 C 元） 。 之后从本月的 15 号到下月的 15 号一个月时间内，存储量为 Q─R， 存储费为 C*(Q─R)元（注意：此处时间是一个月，需求不是连续型 的，只在每月 15 日一天发生，可看作瞬时发生） 。 因此，n 个月的订购费和存储费之和为 V+
分析：(1)此题是属于需求是离散型随机变量的(s,S)存储模型。 首先计算临界值 N=
C2 K 1500 1000 =0.323 C1 C2 50 1500
再选择使不等式 P(r ) N 成立的 Si 最小值为 S；
r Si
明显 P(50)+P(60)+P(70)=0.30，而 P(50)+P(60)+P(70)+P(80)=0.55 因此，S=80 计算 s 的方法，考查不等式 Ks+ C1 ( s r ) P(r ) + C2 (r s) P(r ) ≤ C3+KS+ C1 (S r ) P(r ) +
r s r s
r S
C (r S ) P(r )
r S 2
把 50 作为 s 代入上式左端得 50*1000+1500*[(60-50)*0.1+(70-50)*0.15+(80-50)*0.25+(90-50)*0.2 +(100-50)*0.1+(110-50)*0.1+(120-50)*0.05] =101000； 把 80 作为 S 代入上式右端得 500+80*1000+50*[(80-50)*0.05+(80-60)*0.1+(80-70)*0.15] +1500*[(90-80)*0.2+(100-80)*0.1+(110-80)*0.1+(120-80)*0.05] =108500 右端大于左端，不等式成立。且 50 已是 r 的最小值，故 s=50 (2) 若该厂上月末库存该种材料 50 吨， 要补充库存量使其达到 80 吨， 因此，要订货 30 吨。 这时运营费用为 500+30*1000+50*[(80-50)*0.05+(80-60)*0.1 +(80-70)*0.15]=30750 元。 （小编此处运营费理解为会计成本上的费用， 缺货费不计为会计费用） 若上月末库存量为 70 吨，大于 s=50 吨，就不必补充存储，即本月不 订货。
1 2
1 2
1 C*Q + C*(Q─R) + C*(Q─2R) C*(Q─(n-1)R) 2
又因为 Q=nR，那么 C*(Q─(n-1)R)=C*R 依此类推，可得
1 C*Q + C*(Q─R) + C*(Q─2R) C*(Q─(n-1)R) 2
= C*nR+ C*(n─1)R C*R